Симметричные требования к фильтрам
Рассмотрим требования, которым должна удовлетворять АЧХ фильтра, чтобы её можно было назвать симметричной.
Введём обозначения: 
- частота дискретизации; 
, 
- левая и правая граничные частоты полосы пропускания (ПП); 
, 
- левая и правая граничные частоты полосы задерживания (ПЗ); d1 и d2 - неравномерности в полосах пропускания и задерживания (рис. 1).
Условия симметричных требований к АЧХ для различных типов избирательности:
- фильтры нижних и фильтры верхних частот (ФНЧ и ФВЧ): d1=d2 и
; - режекторные и полосовые фильтры (ПЗФ и ППФ): одинаковые неравномерности в ПП (для ПЗФ) и в ПЗ (для ППФ),
и 
.
Рис. 1. Типы фильтров и их характеристики
Частным случаем симметрии амплитудной функции (АФ) является двойная симметрия. Свойством двойной симметрии могут обладать амплитудные функции ППФ и ПЗФ. Фильтры с двойной симметрией АФ должны удовлетворять следующим условиям:
- ППФ или ПЗФ должны быть симметричны;
;- неравномерности во всех полосах должны быть одинаковыми [4].
Предлагается применять симметрирование характеристики АЧХ. Однако симметрирование может быть применимо только к ЧХ фильтров, обладающих определёнными особенностями, которые указаны в таблице 1.
Таблица 1. Возможность симметрирования характеристик АЧХ
|
Тип фильтра |
Условия положения относительно fs/4 |
Возможность симметрирования АЧХ |
|
ФНЧ, ФВЧ |
fs/4 лежит в полосе расфильтровки |
ужесточение требований к АЧХ, то есть сдвиг граничных частот в область полосы расфильтровки |
|
ППФ, ПЗФ |
fs/4 лежит в полосе пропускания или задерживания соответственно |
|
|
ФНЧ, ФВЧ |
fs/4 лежит в полосе задерживания |
возможность представления в виде каскада двух симметричных фильтров: РФ, ФНЧ или ФВЧ соответственно |
|
ППФ |
fs/4 лежит правее или левее всех граничных частот |
возможность представления в виде каскада двух симметричных фильтров |
Симметрирование с использованием каскадной структуры
Условия симметричных требований к АЧХ фильтров накладывают жёсткие ограничения на применимость метода симметрирования. Это относится, в первую очередь, к требованию симметрии частотной характеристики относительно четверти частоты дискретизации [5], поскольку это требование не позволяет использовать метод симметрирования для узкополосных фильтров, у которых граничные частоты ПП и ПЗ лежат левее четверти частоты дискретизации. Рассмотрим, как можно применить метод симметрирования АЧХ к подобным фильтрам, расширив, таким образом, область применимости метода.
Для того чтобы применить метод симметрирования АЧХ к узкополосным фильтрам, у которых граничные частоты ПП и ПЗ лежат левее четверти частоты дискретизации на оси частот, представим их каскадной структурой (рис.2). В данном случае можно разбить фильтр нижних частот (рис.2а) на два фильтра, ФНЧ и ПЗФ, соединённых последовательно, каждый из которых будет иметь симметричную АЧХ. ПЗФ будет иметь полосы пропускания от нуля до 
и от 
до 
и полосу задерживания от 
до 
. Фильтр нижних частот будет иметь полосу пропускания от нуля до и полосу задерживания от до .
Так как полосы пропускания ФНЧ и ФВЧ перекрываются на участке от нуля до fpass, то неравномерность в ПП каскадных фильтров может быть рассчитана, как:
, (1)
где d11 неравномерность в ПП каскадно-включённого ПЗФ, d12 - ФНЧ.
Слагаемым d11d12 можно пренебречь в силу его малого значения. Тогда неравномерности в полосе пропускания для ФНЧ и ПЗФ равняются:
(2)
Неравномерность в полосе задерживания для каскадно-включённых фильтров остаётся такой же, как и для исходного фильтра.
Необходимо учесть, что ПЗФ может быть прямо синтезирован по полученным требованиям (рис.2б), тогда как ФНЧ, для того чтобы быть симметричным, должен иметь одинаковые неравномерности в ПП и ПЗ. В данном случае имеет смысл выбрать минимальное значение (рис.2в).
Следует добавить, что помимо простого симметрирования характеристик, можно попытаться добиться двойной симметрии для ПЗФ.
Экспериментальным путём было получено, что симметрирование с применением каскадной структуры выгодно, если |fstop - fpass| /fs /2 < 0,2.
График, иллюстрирующий эффективность симметрирования с использованием каскадной структуры при разной ширине полосы расфильтровки, приведён на рис.3.
Рассмотрим пример симметрирования требований к ФНЧ с использованием каскадной структуры.
Исходные требования: fs = 2000 Гц, fpass = 50 Гц, fstop = 150 Гц, d1 = d2 = 0.01.
Фильтр: длина фильтра 44, для его реализации необходимо 23 умножителя.
Этот фильтр можно представить каскадом из ПЗФ и ФНЧ. Характеристики этих фильтров приведены ниже.
Симметричные требования к ПЗФ: fs = 2000 Гц, fpass1 = 50 Гц, fpass2 = 950 Гц, fstop1 = 150 Гц, fstop2= 850 Гц, d1 = 0.005, d2 = 0.01.
Длина фильтра 48, для его реализации необходимо 13 умножителей.
Симметричные требования к ФНЧ: fs = 2000 Гц, fpass = 150 Гц, fstop = 850 Гц, d1 = d2 = 0.005.
Длина фильтра 6, для его реализации необходимо 3 умножителя.
Результирующий фильтр имеет 16 умножителей, что составляет 69,6 % от числа умножителей исходного фильтра
Рис. 2. Симметрирование ФНЧ с применением каскада
Условия применимости метода симметрирования АЧХ
Симметрирование требований путем сужения полосы расфильтровки (переходной полосы) ведет к увеличению порядка симметричного фильтра по сравнению с исходным. Несмотря на это, обнуление около половины коэффициентов симметричного фильтра позволяет предположить, что в результате замены задачи аппроксимации симметричной будет получен выигрыш по числу умножителей.
Рис.3. Зависимость количества умножителей в фильтре от ширины полосы расфильтровки при каскадной структуре
Будем оценивать эффективность симметрирования характеристик (выигрыш в числе умножителей) отношением Nисх/Kсимм, где Nисх - длина фильтра с заданными (несимметричными) характеристиками, Kсимм - число ненулевых коэффициентов симметричного фильтра, которое связано с его длиной Nсимм соотношением:
- Kсимм =
, для ФНЧ, ФВЧ - Kсимм =
, для ППФ, ПЗФ
Ясно, что выигрыш (отношение Nисх/Kсимм) будет максимальным, когда исходные требования к АЧХ фильтра заданы близкими к симметричным, т.е. когда точка fs/4 лежит близко к середине полосы расфильтровки (рассматриваются ФНЧ и ФВЧ).
Для фильтров верхних и нижних частот экспериментальным путем получена зависимость выигрыша по числу умножителей Nисх/Kсимм от асимметрии полосы расфильтровки e. За аргумент взято отношение меньшей части полосы расфильтровки к половине её ширины:
где D1- часть переходной полосы, лежащая слева от fs/4; D2- часть переходной полосы, лежащая справа от fs/4; D=D1+D2 - ширина полосы расфильтровки.
В результате симметрирования переходная полоса сужается со значения D=D1+D2, до значения 
(рис. 4).
Рис. 4. Изменение переходной полосы фильтра
Значения асимметрии лежат в пределах от нуля до единицы.
Была получена экспериментальная зависимость Nисх/Kсимм( e), представленная на рис. 5.
Рис. 5. Зависимость выигрыша от асимметрии полосы расфильтровки
На рис.6 приняты следующие обозначения: 1 - зависимость для D = 0,5; 2 - для D = 0,25; 3 - для D = 0,125 (в нормированной шкале частот).
Из графика видно, что при исходных требованиях, близких к симметричным, когда значение асимметрии близко к единице, симметрирование наиболее эффективно. Если же асимметрия (e < 0,5 - 0,6), то заменять задачу симметричной не стоит, так как число ненулевых коэффициентов может превысить первоначальную длину фильтра, спроектированного по исходным несимметричным требованиям.
Зависимость на рис. 5 дает возможность заранее по исходным требованиям к фильтру оценить выигрыш, который может быть получен в результате замены задачи аппроксимации симметричной.
Рассмотрим пример.
Исходные требования: fs = 2000 Гц, fpass = 450 Гц, fstop = 575 Гц, d1= d2 = 0.01
Фильтр: длина фильтра 34, для его реализации необходимо 18 умножителей.
Симм. требования к ФНЧ: fs = 2000 Гц, fpass = 450 Гц, fstop = 550 Гц, d1= d2 = 0.01
Фильтр: длина фильтра 42, для его реализации необходимо 12 умножителей.
ФНЧ синтезированный по симметричным требованиям имеет 12 умножителей, что составляет 66,7 % от числа умножителей исходного фильтра.
Рецензенты:
- Поляхов Н.Д., д.т.н., профессор, профессор кафедры САУ ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ленина (Ульянова), г. Санкт-Петербург.
- Водяхо А.И., д.т.н., профессор, профессор кафедры ВТ ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ленина (Ульянова), г. Санкт-Петербург.
Работа получена 12.11.2011.