Сетевое издание
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ СИММЕТРИРОВАНИЯ АЧХ ПРИ СИНТЕЗЕ НЕРЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ НИЖНИХ ЧАСТОТ

Меркучева Т.В. 1 Каплун Д.И. 2 Шеленок Е.А. 3 Канатов И.И. 3
1 ГОУ ВПО «СПбГЭТУ «ЛЭТИ» им. В.И. Ленина (Ульянова), Россия, г. Санкт-Петербург
2 ГОУ ВПО «СПбГУТ им. проф. М.А.Бонч-Бруевича, Россия, Санкт-Петербург
3 ГОУВПО «Тихоокеанский государственный университет», г. Хабаровск
В статье рассматриваются вопросы, посвящённые разработке нерекурсивных цифровых фильтров с симметричными амплитудно-частотными характеристиками, эффективными по критерию минимума вычислительной сложности и аппаратных затрат. Анализируются различные типы нерекурсивных цифровых фильтров и способы их симметрирования, выполняются оценки эффективности симметрирования.
цифровые фильтры
КИХ-фильтр
импульсная характеристика
амплитудно-частотная характеристика
фильтр с симметричной АЧХ
полуполосный фильтр
1. Каплун Д. И., Ланнэ А. А., Меркучева Т. В. «Новый метод синтеза линейных цифровых нерекурсивных цепей и алгоритмов с линейными фазо-частотными характеристиками» // 10-ая Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и её применение» (сборник трудов конференции).- 2009. - С.166-169.
2. Каплун Д. И., Меркучева Т.В. Исследование реализации цифровых фильтров с симметричными амплитудными функциями // Компоненты и технологии. - СПб.: Издательство «Файнстрит», 2009. - №10. - С.108-114.
3. Бернштейн С. Н. «Экстремальные свойства полиномов», ОНТИ НКПГ, 1937.
4. Ланнэ А.А., Меркучева Т.В. «Синтез нерекурсивных фильтров и корректоров с симметричными амплитудно-частотными характеристиками» // Информация и космос. - 2007. - №4. - С.10-16.; 2008. - №1. - С. 45-55.
5. Ланнэ А. А. «Синтез нерекурсивных цифровых фильтров с симметричными характеристиками» // Радиоэлектроника. - 1995. - Т.38 - № 3 - 4. - С. 38-60.
В работах, посвящённых проблеме полуполосных фильтров [1, 2],  показано, что импульсные характеристики (ИХ) фильтров, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) которых обладает свойством симметрии относительно частоты fs/4, имеют почти половину нулевых коэффициентов, тогда как при условии двойной симметрии АЧХ ИХ могут содержать до трёх четвертей нулевых коэффициентов. Данное свойство показывает возможность двух-трёх кратного сокращения аппаратной сложности и быстродействия цифровых фильтров (ЦФ). Обнулить часть коэффициентов ИХ, при определённых условиях, позволяет использование обобщённой леммы Бернштейна [3]. Однако, условие симметричности частотной характеристики (ЧХ) - настолько жёсткое условие, что на практике это известное свойство используется крайне редко. Например, для наиболее часто применяемых фильтров - полоса пропускания, как правило, значительно уже  fs/4. Поэтому задачу исследования в данной области сформулируем как задачу расширения границ использования свойств симметрии. Решение этой задачи позволит использовать потрясающие качества симметричных фильтров и в многоканальных структурах, где их преимущества будут многократно усилены.

Симметричные требования к фильтрам

Рассмотрим требования, которым должна удовлетворять АЧХ фильтра, чтобы её можно было назвать симметричной.

Введём обозначения:  - частота дискретизации; ,  - левая и правая граничные частоты полосы пропускания (ПП); ,  - левая и правая граничные частоты полосы задерживания (ПЗ); d1 и d2 - неравномерности в полосах пропускания и задерживания (рис. 1).

Условия симметричных требований к АЧХ для различных типов избирательности:

  • фильтры нижних и фильтры верхних частот (ФНЧ и ФВЧ): d1=d2 и ;
  • режекторные и полосовые фильтры (ПЗФ и ППФ): одинаковые неравномерности в ПП (для ПЗФ) и в ПЗ (для ППФ),  и .

Рис. 1. Типы фильтров и их характеристики

Частным случаем симметрии амплитудной функции (АФ) является двойная симметрия. Свойством двойной симметрии могут обладать амплитудные функции ППФ и ПЗФ. Фильтры с двойной симметрией АФ должны удовлетворять следующим условиям:

  • ППФ или ПЗФ должны быть симметричны;
  • ;
  • неравномерности во всех полосах должны быть одинаковыми [4].

Предлагается применять симметрирование характеристики АЧХ. Однако симметрирование может быть применимо только к ЧХ фильтров, обладающих определёнными особенностями, которые указаны в таблице 1.

Таблица 1. Возможность симметрирования характеристик АЧХ

Тип фильтра

Условия положения относительно fs/4

Возможность симметрирования АЧХ

ФНЧ, ФВЧ

fs/4 лежит в полосе расфильтровки

ужесточение требований к АЧХ, то есть сдвиг граничных частот в область полосы расфильтровки

ППФ, ПЗФ

fs/4 лежит в полосе пропускания или задерживания соответственно

ФНЧ, ФВЧ

fs/4 лежит в полосе задерживания

возможность представления в виде каскада двух симметричных фильтров: РФ,  ФНЧ или ФВЧ соответственно

ППФ

fs/4 лежит правее или левее всех граничных частот

возможность представления в виде каскада двух симметричных фильтров

Симметрирование с использованием каскадной структуры

Условия симметричных требований к АЧХ фильтров накладывают жёсткие ограничения на применимость метода симметрирования. Это относится, в первую очередь, к требованию симметрии частотной характеристики относительно четверти частоты дискретизации [5], поскольку это требование не позволяет использовать метод симметрирования для узкополосных фильтров, у которых граничные частоты ПП и ПЗ лежат левее четверти частоты дискретизации. Рассмотрим, как можно применить метод симметрирования АЧХ к подобным фильтрам, расширив, таким образом, область применимости метода.

Для того чтобы применить метод симметрирования АЧХ к узкополосным фильтрам, у которых граничные частоты ПП и ПЗ лежат левее четверти частоты дискретизации на оси частот, представим их каскадной структурой (рис.2). В данном случае можно разбить фильтр нижних частот (рис.2а) на два фильтра, ФНЧ и ПЗФ, соединённых последовательно, каждый из которых будет иметь симметричную АЧХ. ПЗФ будет иметь полосы пропускания от нуля до  и от  до  и полосу задерживания от  до . Фильтр нижних частот будет иметь полосу пропускания от нуля до  и полосу задерживания от  до .

Так как полосы пропускания ФНЧ и ФВЧ перекрываются на участке от нуля до fpass, то неравномерность в ПП каскадных фильтров может быть рассчитана, как:

,    (1)

где d11 неравномерность в ПП каскадно-включённого ПЗФ, d12 - ФНЧ.

Слагаемым d11d12 можно пренебречь в силу его малого значения. Тогда неравномерности в полосе пропускания для ФНЧ и ПЗФ равняются:

                      (2)

Неравномерность в полосе задерживания для каскадно-включённых фильтров остаётся такой же, как и для исходного фильтра.

Необходимо учесть, что ПЗФ может быть прямо синтезирован по полученным требованиям (рис.2б), тогда как ФНЧ, для того чтобы быть симметричным, должен иметь одинаковые неравномерности в ПП и ПЗ. В данном случае имеет смысл выбрать минимальное значение (рис.2в).

Следует добавить, что помимо простого симметрирования характеристик, можно попытаться добиться двойной симметрии для ПЗФ.

Экспериментальным путём было получено, что симметрирование с применением каскадной структуры выгодно, если |fstop - fpass| /fs /2 < 0,2.

График, иллюстрирующий эффективность симметрирования с использованием каскадной структуры при разной ширине полосы расфильтровки, приведён на рис.3.

Рассмотрим пример симметрирования требований к ФНЧ с использованием каскадной структуры.

Исходные требования: fs = 2000 Гц, fpass = 50 Гц, fstop = 150 Гц, d1 = d2 = 0.01.

Фильтр: длина фильтра 44, для его реализации необходимо 23 умножителя.

Этот фильтр можно представить каскадом из ПЗФ и ФНЧ. Характеристики этих фильтров приведены ниже.

Симметричные требования к ПЗФ: fs = 2000 Гц, fpass1 = 50 Гц, fpass2 = 950 Гц, fstop1 = 150 Гц, fstop2= 850 Гц, d1 = 0.005, d2 = 0.01.

Длина фильтра 48, для его реализации необходимо 13 умножителей.

Симметричные требования к ФНЧ: fs = 2000 Гц, fpass = 150 Гц, fstop = 850 Гц, d1 = d2 = 0.005.

Длина фильтра 6,  для его реализации необходимо 3 умножителя.

Результирующий фильтр имеет 16 умножителей, что составляет 69,6 % от числа умножителей исходного фильтра

Рис. 2. Симметрирование ФНЧ с применением каскада

Условия применимости метода симметрирования АЧХ

Симметрирование требований путем сужения полосы расфильтровки (переходной полосы) ведет к увеличению порядка симметричного фильтра по сравнению с исходным. Несмотря на это, обнуление около половины коэффициентов симметричного фильтра позволяет предположить, что в результате замены задачи аппроксимации симметричной будет получен выигрыш по числу умножителей.

Рис.3. Зависимость количества умножителей в фильтре от ширины полосы расфильтровки при каскадной структуре

Будем оценивать эффективность симметрирования характеристик  (выигрыш в числе умножителей) отношением Nисх/Kсимм, где Nисх - длина фильтра с заданными (несимметричными) характеристиками, Kсимм - число ненулевых коэффициентов симметричного фильтра, которое связано с его длиной Nсимм соотношением:

  • Kсимм = , для ФНЧ, ФВЧ
  • Kсимм = , для ППФ, ПЗФ

Ясно, что выигрыш (отношение Nисх/Kсимм) будет максимальным, когда исходные требования к АЧХ фильтра заданы близкими к симметричным, т.е. когда точка fs/4 лежит близко к середине полосы расфильтровки (рассматриваются ФНЧ и ФВЧ).

Для фильтров верхних и нижних частот экспериментальным путем получена зависимость выигрыша по числу умножителей Nисх/Kсимм от асимметрии полосы расфильтровки e. За аргумент взято отношение меньшей части полосы расфильтровки к половине её ширины:

где D1- часть переходной полосы, лежащая слева от fs/4; D2- часть переходной полосы, лежащая справа от fs/4; D=D1+D2 - ширина полосы расфильтровки.

В результате симметрирования переходная полоса сужается со значения D=D1+D2, до значения  (рис. 4).

Рис. 4. Изменение переходной полосы фильтра

Значения асимметрии лежат в пределах от нуля до единицы.

Была получена экспериментальная зависимость Nисх/Kсимм( e), представленная на рис. 5.

Рис. 5. Зависимость выигрыша от асимметрии полосы расфильтровки

На рис.6 приняты следующие обозначения: 1 - зависимость для D = 0,5; 2 - для D = 0,25; 3 - для D = 0,125 (в нормированной шкале частот).

Из графика видно, что при исходных требованиях, близких к симметричным, когда значение асимметрии близко к единице, симметрирование наиболее эффективно. Если же асимметрия (e < 0,5 - 0,6), то заменять задачу симметричной не стоит, так как число ненулевых коэффициентов может превысить первоначальную длину фильтра, спроектированного по исходным несимметричным требованиям.

Зависимость на рис. 5 дает возможность заранее по исходным требованиям к фильтру оценить выигрыш, который может быть получен в результате замены задачи аппроксимации симметричной.

Рассмотрим пример.

Исходные требования: fs = 2000 Гц, fpass = 450 Гц, fstop = 575 Гц,  d1= d2 = 0.01

Фильтр: длина фильтра 34, для его реализации необходимо 18 умножителей.

Симм. требования к ФНЧ:  fs = 2000 Гц, fpass = 450 Гц, fstop = 550 Гц,  d1= d2 = 0.01

Фильтр: длина фильтра 42, для его реализации необходимо 12 умножителей.

ФНЧ синтезированный по симметричным требованиям имеет 12 умножителей, что составляет 66,7 % от числа умножителей исходного фильтра.

Рецензенты:

  • Поляхов Н.Д., д.т.н., профессор, профессор кафедры САУ ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ленина (Ульянова), г. Санкт-Петербург.
  • Водяхо А.И., д.т.н., профессор, профессор кафедры ВТ ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ленина (Ульянова), г. Санкт-Петербург.

Работа получена 12.11.2011.


Библиографическая ссылка

Меркучева Т.В., Каплун Д.И., Шеленок Е.А., Канатов И.И. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ СИММЕТРИРОВАНИЯ АЧХ ПРИ СИНТЕЗЕ НЕРЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ НИЖНИХ ЧАСТОТ // Современные проблемы науки и образования. – 2011. – № 5. ;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=4808 (дата обращения: 28.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074