В настоящей работе исследуется поведение решения краевой задачи первого рода
,
,
где
коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют
условиям
всюду
на
.
Как известно, при условиях ,
,
задача
однозначно
разрешима в классе функций
и
для её решения имеет место априорная оценка в равномерной метрике
Знание
верхних оценок и
,
в случае знакоопределенности правой части
,
позволяет получить поточечную оценку
,
которая применяется для усиления оценки
Получим
оценку решения задачи в
точке
.
С этой целью воспользуемся представлением этого решения [3],[4]
,
где
функция
Грина первой краевой задачи для уравнения
.
Функция определяется
по формуле:
где
решения
задач
,
(6)
,
(7)
Постоянная
в
определяется
по формуле
.
В силу краевых условий,
.
Рассмотрим два уравнения:
(9)
(10)
где
функции и
вещественны
и непрерывны на
интервале
и
При
этих условиях уравнение (10)
называется мажорантой Штурма [5] для уравнения (9).
Теорема
1. Пусть коэффициенты уравнений (9) и (10) непрерывны на и пусть уравнение
является мажорантой
Штурма уравнения (9). Предположим, что
и
являются решениями
уравнений (9) и
соответственно, всюду
на отрезке
удовлетворяют
соотношениям:
,
, (11)
и в точке выполнено неравенство
. (12)
Тогда всюду на
(13)
где
Доказательство этой теоремы приводится в [1].
Пусть
–
решение задачи
Применив к задачам (6) и (14) теорему 1, получаем оценку
,
Для решения задачи (7) имеет место оценка
,
Пусть
–
решение задачи
Применяя
на отрезке тождество
Лагранжа к задачам (6) и (17), получаем оценку
Для решения задачи (7) имеет место оценка
Теорема
2. Пусть
всюду на
. Тогда для решения
задачи
имеет место оценка
Доказательство. Воспользуемся представлением решения
задачи с
помощью функции Грина:
где
и
решения
задач (6) и (7), а постоянная
вычисляется
по формуле (8).
Из (21) получаем с учетом оценок (15), (16), (18), (19):
Теорема доказана.
Правая
часть неравенства примет
наибольшее значение при
.
Следовательно, для всех
имеет
место оценка
откуда для задачи следует априорная оценка
Рецензенты:
Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор,ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН г. Нальчик;
Ашабоков Б.А. д.ф.-м.н., профессорВысокогорного Геофизического Институт, г. Нальчик.
Библиографическая ссылка
Абрегов М.Х., Богатырев А.А., Канчукоев В.З. ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2-2. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=22903 (дата обращения: 03.10.2023).