В настоящей работе исследуется поведение решения краевой задачи первого рода
,
,
где коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют условиям
всюду на . Как известно, при условиях , , задача однозначно разрешима в классе функций и для её решения имеет место априорная оценка в равномерной метрике
Знание верхних оценок и , в случае знакоопределенности правой части , позволяет получить поточечную оценку , которая применяется для усиления оценки
Получим оценку решения задачи в точке . С этой целью воспользуемся представлением этого решения [3],[4]
,
где функция Грина первой краевой задачи для уравнения .
Функция определяется по формуле:
где решения задач
, (6)
, (7)
Постоянная в определяется по формуле
.
В силу краевых условий,
.
Рассмотрим два уравнения:
(9)
(10)
где функции и вещественны и непрерывны на
интервале и При этих условиях уравнение (10)
называется мажорантой Штурма [5] для уравнения (9).
Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнений (9) и (10) непрерывны на и пусть уравнение является мажорантой Штурма уравнения (9). Предположим, что и являются решениями уравнений (9) и соответственно, всюду на отрезке удовлетворяют соотношениям:
, , (11)
и в точке выполнено неравенство
. (12)
Тогда всюду на
(13)
где
Доказательство этой теоремы приводится в [1].
Пусть – решение задачи
Применив к задачам (6) и (14) теорему 1, получаем оценку
,
Для решения задачи (7) имеет место оценка
,
Пусть – решение задачи
Применяя на отрезке тождество Лагранжа к задачам (6) и (17), получаем оценку
Для решения задачи (7) имеет место оценка
Теорема 2. Пусть
всюду на . Тогда для решения задачи имеет место оценка
Доказательство. Воспользуемся представлением решения задачи с помощью функции Грина:
где и решения задач (6) и (7), а постоянная вычисляется по формуле (8).
Из (21) получаем с учетом оценок (15), (16), (18), (19):
Теорема доказана.
Правая часть неравенства примет наибольшее значение при . Следовательно, для всех имеет место оценка
откуда для задачи следует априорная оценка
Рецензенты:
Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор,ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН г. Нальчик;
Ашабоков Б.А. д.ф.-м.н., профессорВысокогорного Геофизического Институт, г. Нальчик.
Библиографическая ссылка
Абрегов М.Х., Богатырев А.А., Канчукоев В.З. ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2-2. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=22903 (дата обращения: 23.04.2024).