В настоящей работе исследуется поведение решения краевой задачи первого рода
,
,
где
коэффициенты и правая часть уравнения удовлетворяют
условиям 
всюду
на 
.
Как известно, при условиях , 
,
задача 
однозначно
разрешима в классе функций 
и
для её решения имеет место априорная оценка в равномерной метрике
Знание
верхних оценок 
и
,
в случае знакоопределенности правой части 
,
позволяет получить поточечную оценку 
,
которая применяется для усиления оценки 
Получим
оценку решения задачи в
точке 
.
С этой целью воспользуемся представлением этого решения [3],[4]
,
где
функция
Грина первой краевой задачи для уравнения .
Функция 
определяется
по формуле:
где
решения
задач
,
(6)
,
(7)
Постоянная
в
определяется
по формуле
.
В силу краевых условий,
.
Рассмотрим два уравнения:
(9)
(10)
где
функции 
и
вещественны
и непрерывны на
интервале
и
При
этих условиях уравнение (10)
называется мажорантой Штурма [5] для уравнения (9).
Теорема
1. Пусть коэффициенты уравнений (9) и (10) непрерывны на 
и пусть уравнение 
является мажорантой
Штурма уравнения (9). Предположим, что 
и 
являются решениями
уравнений (9) и соответственно, всюду
на отрезке удовлетворяют
соотношениям:
, 
, (11)
и в точке 
выполнено неравенство
. (12)
Тогда всюду на
(13)
где
Доказательство этой теоремы приводится в [1].
Пусть
–
решение задачи
Применив к задачам (6) и (14) теорему 1, получаем оценку
,
Для решения задачи (7) имеет место оценка
, 
Пусть
–
решение задачи
Применяя
на отрезке 
тождество
Лагранжа к задачам (6) и (17), получаем оценку
Для решения задачи (7) имеет место оценка
Теорема
2. Пусть 
всюду на . Тогда для решения
задачи имеет место оценка
Доказательство. Воспользуемся представлением решения
задачи с
помощью функции Грина:
где
и
решения
задач (6) и (7), а постоянная вычисляется
по формуле (8).
Из (21) получаем с учетом оценок (15), (16), (18), (19):
Теорема доказана.
Правая
часть неравенства 
примет
наибольшее значение при 
.
Следовательно, для всех 
имеет
место оценка
откуда для задачи следует априорная оценка
Рецензенты:
Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор,ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН г. Нальчик;
Ашабоков Б.А. д.ф.-м.н., профессорВысокогорного Геофизического Институт, г. Нальчик.