Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,813

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

Лесев В.Н. 1 Шарданова М.А. 1
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ
В работе сформулирована краевая задача для вырождающегося неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом. Отклонение аргумента в уравнении носит иволютивный характер. Уравнение рассмотрено на симметричном относительно начала координат интервале, причем в точке t = 0 исходное дифференциальное уравнение вырождается в функциональное. Решение задачи найдено в виде полинома четвертой степени. В работе показано, что проблема нахождения коэффициентов многочлена, определяющего решение задачи, редуцируется к вопросу разрешимости соответствующей системы алгебраических уравнений. После представления последней в матричной форме было установлено условие гарантирующее существование единственного решения системы алгебраических уравнений. В результате получено аналитическое решение исходной задачи, принадлежащее требуемому классу функций. Найденное решение позволяет проводить численный анализ задачи с последующей визуализацией решения.
полиномиальное решение
отклоняющийся аргумент
вырождающееся уравнение
краевая задача
1. Абрамов С.А., Хмельнов Д.Е. Особые точки решений линейных обыкновенных дифференциальных систем с полиномиальными коэффициентами // Фундаментальная и прикладная математика. — 2012. — Т. 17. — В. 1. — С. 3–21.
2. Абрамов С.А., Рябенко А.А. Определяющие рациональные функции линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами // Фундаментальная и прикладная математика. — 2008. — Т. 14. В. 4. — С. 15–34.
3. Боташева Д.Р. Доказательство разрешимости классической краевой задачи для уравнения с отклоняющимся аргументом при старшей производной // Естественные и математические науки в современном мире. — 2014. — № 18. — С. 8–13.
4. Карачик В.В. Метод построения решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // ЖВМиМФ. — 2012. — Т. 52. — № 2. — С. 237–252.
5. Карачик В.В., Антропова Н.А. Построение полиномиальных решений некоторых задач для уравнения Пуассона // Труды МФ-ТИ. — 2011. — Т. 3. — № 3. — С. 132–145.
6. Bzheumikhova O.I., Lesev V.N. Application of Fourier method to investigation of the Dirichlet problem for partial differential equations with deviating arguments // International Journal of Differential Equations and Applications, 2013. – Vol. 12, № 2. – Р. 103–120.
7. Lesev V.N., Bzheumikhova O.I. On the unique solvability of the classical boundary value problem for the partial differential equations with the deviating argument // Far East Journal of Mathematical Sciences, 2015. – V. 97. Issue 7. – P. 793–807.

Полиномиальным решениям дифференциальных уравнений посвящено немало работ (например, [1,2,4,5]). Вместе с тем исследования, посвященные доказательству разрешимости дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом таким методом, практически отсутствуют. Тем более остаются мало исследованы вырождающиеся уравнения с отклоняющимся аргументом, которые возникают при редукции вопросов разрешимости уравнений в частых производных к вопросу разрешимости, соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений [3,6,7].

В настоящей работе предложено полиномиальное решение для модельного неоднородного вырождающегося дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом нейтрального типа.

Цель исследования

Доказать разрешимость двухточечной краевой задачи для дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом методом посредством построения полиномиального решения.

Постановка задачи. На отрезке рассмотрим уравнение

(1)

где причем

Для уравнения (1) исследуем следующую задачу.

Задача 1. Найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям:

(2)

где

Доказательство разрешимости. Решение задачи 1 будем искать в виде

(3)

где

Подставляя (3) в (1), получим:

(4)

Отсюда при находим:

(5)

Для определения коэффициентов положим в (4) а затем . В результате будем иметь:

или

(6)

С другой стороны, удовлетворяя (3) условиям (2), получим:

(7)

Подставляя систему (6), (7) в матричной форме, будем иметь:

(8)

где

Из (8) очевидно находим:

(9)

В силу легко устанавливаемого неравенства:

убеждаемся в том, что задача 1 допускает построение приближенного аналитического решения в виде (3), где определяются соотношениями (5) и (9).

Исследование частного случая

В качестве частного случая рассмотрим уравнение (1), когда

Таким образом, уравнение (1) принимает вид:

(10)

где причем

Для уравнения (10) на интервале исследуем следующую задачу.

Задача 2. Найти регулярное решение уравнения (10), удовлетворяющее условиям:

(11)

Решение задачи 2 будем искать описанным выше методом, в виде полинома (3).

Подставляя выбранные значения для с и b в соотношение (5), находим:

(14)

Для определения коэффициентов получаем систему уравнений:

(15)

где

Разрешая (15) относительно столбца неизвестных, будем иметь:

(16)

Легко убедиться в том, что:

 

Таким образом, из (16) с учетом (14) получим:

(17)

На основе соотношения (17) в пакете MathCad были проведены вычислительные эксперименты.

Результаты вычислительного эксперимента, связанного с построением графика функции, определяющей решение задачи 2, представлены на следующем рисунке.

График функции у(t)

Расчеты показывают, что полученное решение удовлетворяет всем условиям сформулированной задачи.

Заключение

Таким образом, в работе предложен метод построения полиномиального решения задачи 1 в виде (3). Данное решение является приближенным аналитическим решением исходной задачи, принадлежит требуемому классу функций и позволяет провести численный анализ с визуализацией решения практически без временных затрат.

Рецензенты:

Журтов А.Х., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой геометрии и высшей алгебры Кабардино-Балкарского государственного университета, г. Нальчик;

Хаширова Т.Ю., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой САКТУ Кабардино-Балкарского государственного университета, г. Нальчик.


Библиографическая ссылка

Лесев В.Н., Шарданова М.А. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2-2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=22411 (дата обращения: 25.02.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074