Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE DEGENERATING DIFFERENTIAL EQUATION WITH THE DEVIATING ARGUMENT

Lesev V.N. 1 Shardanova M.A. 1
1 FGBOU VPO «Kabardin-Balkar state university n.a. Kh. M. Berbekov»
В работе сформулирована краевая задача для вырождающегося неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом. Отклонение аргумента в уравнении носит иволютивный характер. Уравнение рассмотрено на симметричном относительно начала координат интервале, причем в точке t = 0 исходное дифференциальное уравнение вырождается в функциональное. Решение задачи найдено в виде полинома четвертой степени. В работе показано, что проблема нахождения коэффициентов многочлена, определяющего решение задачи, редуцируется к вопросу разрешимости соответствующей системы алгебраических уравнений. После представления последней в матричной форме было установлено условие гарантирующее существование единственного решения системы алгебраических уравнений. В результате получено аналитическое решение исходной задачи, принадлежащее требуемому классу функций. Найденное решение позволяет проводить численный анализ задачи с последующей визуализацией решения.
The paper formulates a boundary-value problem for a second-order degenerate heterogeneous ordinary differential equation with deviating argument. Argument deviation in the equation is of an evolutive character. The equation is considered at an origin-symmetric interval. Besides, in the point t = 0, the initial differential equation degenerates into a functional equation. Solution of the problem is found in the form of a fourth-degree polynomial. The paper demonstrates that the problem of finding coefficients of a polynomial determining the solution of the problem is reduced to a question of solvability of corresponding system of algebraic equations. After presenting the system in a matrix form, the condition ensuring existence of a single solution of the systemwas established. This resulted in obtaining an analytical solution of the initial problem, belonging to the required function class. The solution found allowscarrying out of a numerical analysis of a problem with the subsequent visualization of the solution.
polynomial decision
deviating argument
degenerating equation
boundary value problem

Полиномиальным решениям дифференциальных уравнений посвящено немало работ (например, [1,2,4,5]). Вместе с тем исследования, посвященные доказательству разрешимости дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом таким методом, практически отсутствуют. Тем более остаются мало исследованы вырождающиеся уравнения с отклоняющимся аргументом, которые возникают при редукции вопросов разрешимости уравнений в частых производных к вопросу разрешимости, соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений [3,6,7].

В настоящей работе предложено полиномиальное решение для модельного неоднородного вырождающегося дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом нейтрального типа.

Цель исследования

Доказать разрешимость двухточечной краевой задачи для дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом методом посредством построения полиномиального решения.

Постановка задачи. На отрезке рассмотрим уравнение

(1)

где причем

Для уравнения (1) исследуем следующую задачу.

Задача 1. Найти регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям:

(2)

где

Доказательство разрешимости. Решение задачи 1 будем искать в виде

(3)

где

Подставляя (3) в (1), получим:

(4)

Отсюда при находим:

(5)

Для определения коэффициентов положим в (4) а затем . В результате будем иметь:

или

(6)

С другой стороны, удовлетворяя (3) условиям (2), получим:

(7)

Подставляя систему (6), (7) в матричной форме, будем иметь:

(8)

где

Из (8) очевидно находим:

(9)

В силу легко устанавливаемого неравенства:

убеждаемся в том, что задача 1 допускает построение приближенного аналитического решения в виде (3), где определяются соотношениями (5) и (9).

Исследование частного случая

В качестве частного случая рассмотрим уравнение (1), когда

Таким образом, уравнение (1) принимает вид:

(10)

где причем

Для уравнения (10) на интервале исследуем следующую задачу.

Задача 2. Найти регулярное решение уравнения (10), удовлетворяющее условиям:

(11)

Решение задачи 2 будем искать описанным выше методом, в виде полинома (3).

Подставляя выбранные значения для с и b в соотношение (5), находим:

(14)

Для определения коэффициентов получаем систему уравнений:

(15)

где

Разрешая (15) относительно столбца неизвестных, будем иметь:

(16)

Легко убедиться в том, что:

 

Таким образом, из (16) с учетом (14) получим:

(17)

На основе соотношения (17) в пакете MathCad были проведены вычислительные эксперименты.

Результаты вычислительного эксперимента, связанного с построением графика функции, определяющей решение задачи 2, представлены на следующем рисунке.

График функции у(t)

Расчеты показывают, что полученное решение удовлетворяет всем условиям сформулированной задачи.

Заключение

Таким образом, в работе предложен метод построения полиномиального решения задачи 1 в виде (3). Данное решение является приближенным аналитическим решением исходной задачи, принадлежит требуемому классу функций и позволяет провести численный анализ с визуализацией решения практически без временных затрат.

Рецензенты:

Журтов А.Х., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой геометрии и высшей алгебры Кабардино-Балкарского государственного университета, г. Нальчик;

Хаширова Т.Ю., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой САКТУ Кабардино-Балкарского государственного университета, г. Нальчик.