В работе проводится исследование краевой задачи со свободными границами, описывающей динамику температурного поля при деструкции тканей плоскопараллельными аппликаторами. Рассмотрена задача гипотермии, когда отсутствует замороженная область и, следовательно, определению подлежат только функции 
и свободная граница 
. Для решения задачи в работе применяются методы нелинейных интегральных, интегро-дифференциальных уравнений, метод Ротэ, метод эквивалентной линеаризации, а также проведена конечномерная аппроксимация [4, 3].
Получено точное аналитическое решение соответствующей стационарной задачи, которое определяет очень важные для хирурга максимальные размеры замораживания, криопоражения и теплового возмущения.
Конечномерной аппроксимацией решение полученной системы сведено к решению системы нелинейных алгебраических уравнений.
Постановка задачи
В различных областях медицины при деструкции тканей применяются достаточно протяженные плоские аппликаторы. Определение динамики температурного поля в этом случае сводится к решению следующей задачи со свободными границами для нелинейных эволюционных уравнений [6, 5]:
(1)
(2)
(3)
В задаче (1)-(3) искомыми являются температурное поле 
и границы 
остальные параметры и функции известные, 
.
Аналитическое решение соответствующей стационарной задачи (1)–(3) имеет вид:
(4)
где
(5)
Задача гипотермии биологической ткани
Динамика охлаждения описывается решением задачи со свободной границей [1]:
(6)
Аналитическое решение соответствующей стационарной задачи (6) имеет вид:
(7)
где 
— положительный корень уравнения
(8)
При 
, вводя сетку 
с достаточно малым шагом 
и заменяя, оператор 
конечно-разностным аналогом, для определения приближенного значения 
и 
функций 
в точках 
получаем следующую аппроксимацию краевой задачи (6) в виде системы краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений:
(9)
где индекс 
опущен, а знак 
означает значения соответствующих величин на 
-м временном слое; 
.
С помощью функции Грина и формулы Грина на каждом временном слое осуществлено их сведение к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра [1, 3]:
(10)
и уравнению
(11)
где 
и 
— значения на данном, а 
и 
— на предыдущем временных слоях.
Вводя равномерную сетку 
и заменяя входящие в (10), (11) интегралы приближенными выражениями
(12)
приходим к системе нелинейных уравнений относительно узловых значений 
и числа :
(13)
где
При 
получаем:
(14)
Простейшие приближенные решения системы (10), (11) можно получить полагая
(15)
Для 
и 
при этом получаем систему нелинейных уравнений
(16)
где
(17)
Считая, что 
, и воспользовавшись приближениями вида (12), приходим к задаче определения 
по 
и 
из условия перемены знака следующей функции целочисленного аргумента:
(18)
где
(19)
При интегралы (17) вычисляются и мы получаем:
(20)
Если к тому же 
, то 
.
Приближенное решение можно искать в виде [1]:
. (21)
Краевые условия выполняются для любой функции 
. Потребуем, чтобы конструкция (21) удовлетворяла дифференциальному уравнению в смысле равенства нулю интегральной невязки.
В результате приходим к задаче Коши для определения 
. (22)
Заменяя производную 
конечной разностью, получаем нелинейное уравнение для значения 
на данном временном слое:
. (23)
Численные расчеты показывают, что вполне удовлетворительные результаты дают простейшие приближенные решения.
Рецензенты:
Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН «Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН», г. Нальчик;
Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор Высокогорного Геофизического Института, г. Нальчик.
Библиографическая ссылка
Кайгермазов А.А., Кудаева Ф.Х., Кармоков М.М., Нахушева Ф.М. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОЙ КРИОДЕСТРУКЦИИ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ТКАНИ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2-2. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=21683 (дата обращения: 17.01.2025).