Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,813

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОЙ КРИОДЕСТРУКЦИИ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ТКАНИ

Кайгермазов А.А. 1 Кудаева Ф.Х. 1 Кармоков М.М. 1 Нахушева Ф.М. 1
1 Кабардино-Балкарский Государственный Университет им. Х.М. Бербекова
Работа посвящена исследованию задачи со свободными границами для нелинейного эволюционного уравнения, возникающая при математическом моделировании проблем криохирургии. В работе рассмотрена задача гипотермии, когда отсутствует замороженная область биологической ткани. Для решения задачи в предлагаемой работе применяются методы нелинейных интегральных, интегро-дифференциальных уравнений, метод Ротэ, метод эквивалентной линеаризации, а также проведена конечномерная аппроксимация. Исследуемая задача с помощью функции Грина и формулы Грина на каждом временном слое сведена к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра и уравнению для определения свободной границы, которые с помощью конечномерной аппроксимации сведены к системе нелинейных алгебраических уравнений. В работе получены точное аналитическое решение стационарной задачи, а также приближенное решение нестационарной задачи. Полученное точное аналитическое решение соответствующей стационарной задачи позволяет определить очень важные для хирурга максимальные размеры замораживания, криопоражения и теплового возмущения. Также полученные в работе результаты можно использовать при конструировании и совершенствовании криоинструментов.
начально-краевая задача
одномерная задача
условие сопряжения
дифференциальное уравнение
задача со свободными границами
криодеструкция
гипотермия
температурное поле
1. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. С. 548.
2. Березовский А.А. Двумерные модели криодеструкции биоткани // Мат. моделирование физических процессов. Сб. научных трудов. — Киев, Ин-т математики АН УССР, 1989, С. 14–38.
3. Березовский А.А. Одномерные математические модели криодеструкции биоло-гической ткани // Дифференциальные уравнения с частными производными в прикладных задачах. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1987.
4. Березовский А.А., Кудаева Ф.Х. Канонический вид задач со свободными границами в проблемах гипотермии и криодеструкции биоткани //Асимптотическое интегрирование нелинейных уравнений. Киев: Институт математики АИ Украины, 1992.
5. Кайгермазов А.А., Кудаева Ф.Х. Двумерные задачи со свободными границами в медицине. Южно-Сибирский научный вестник. 2014. № 3 (7). С. 16–18.
6. Кайгермазов А.А., Кудаева Ф.Х., Мамбетов М.Ж. Двумерная плоскопараллельная задача криохирургии. European Applied Sciences. #10, 2014. P. 28–30.

В работе проводится исследование краевой задачи со свободными границами, описывающей динамику температурного поля при деструкции тканей плоскопараллельными аппликаторами. Рассмотрена задача гипотермии, когда отсутствует замороженная область и, следовательно, определению подлежат только функции и свободная граница . Для решения задачи в работе применяются методы нелинейных интегральных, интегро-дифференциальных уравнений, метод Ротэ, метод эквивалентной линеаризации, а также проведена конечномерная аппроксимация [4, 3].

Получено точное аналитическое решение соответствующей стационарной задачи, которое определяет очень важные для хирурга максимальные размеры замораживания, криопоражения и теплового возмущения.

Конечномерной аппроксимацией решение полученной системы сведено к решению системы нелинейных алгебраических уравнений.

Постановка задачи

В различных областях медицины при деструкции тканей применяются достаточно протяженные плоские аппликаторы. Определение динамики температурного поля в этом случае сводится к решению следующей задачи со свободными границами для нелинейных эволюционных уравнений [6, 5]:

(1)

(2)

(3)

В задаче (1)-(3) искомыми являются температурное поле и границы остальные параметры и функции известные, .

Аналитическое решение соответствующей стационарной задачи (1)–(3) имеет вид:

(4)

где

(5)

Задача гипотермии биологической ткани

Динамика охлаждения описывается решением задачи со свободной границей [1]:

(6)

Аналитическое решение соответствующей стационарной задачи (6) имеет вид:

(7)

где — положительный корень уравнения

(8)

При , вводя сетку с достаточно малым шагом и заменяя, оператор конечно-разностным аналогом, для определения приближенного значения и функций в точках получаем следующую аппроксимацию краевой задачи (6) в виде системы краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений:

(9)

где индекс опущен, а знак означает значения соответствующих величин на -м временном слое; .

С помощью функции Грина и формулы Грина на каждом временном слое осуществлено их сведение к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра [1, 3]:

(10)

и уравнению

(11)

где и — значения на данном, а и — на предыдущем временных слоях.

Вводя равномерную сетку и заменяя входящие в (10), (11) интегралы приближенными выражениями

(12)

приходим к системе нелинейных уравнений относительно узловых значений и числа :

(13)

где

При получаем:

(14)

Простейшие приближенные решения системы (10), (11) можно получить полагая

(15)

Для и при этом получаем систему нелинейных уравнений

(16)

где

(17)

Считая, что , и воспользовавшись приближениями вида (12), приходим к задаче определения по и из условия перемены знака следующей функции целочисленного аргумента:

(18)

где

(19)

При интегралы (17) вычисляются и мы получаем:

(20)

Если к тому же , то .

Приближенное решение можно искать в виде [1]:

. (21)

Краевые условия выполняются для любой функции . Потребуем, чтобы конструкция (21) удовлетворяла дифференциальному уравнению в смысле равенства нулю интегральной невязки.

В результате приходим к задаче Коши для определения

. (22)

Заменяя производную конечной разностью, получаем нелинейное уравнение для значения на данном временном слое:

. (23)

Численные расчеты показывают, что вполне удовлетворительные результаты дают простейшие приближенные решения.

Рецензенты:

Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН «Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН», г. Нальчик;

Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор Высокогорного Геофизического Института, г. Нальчик.


Библиографическая ссылка

Кайгермазов А.А., Кудаева Ф.Х., Кармоков М.М., Нахушева Ф.М. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОЙ КРИОДЕСТРУКЦИИ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ТКАНИ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2-2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=21683 (дата обращения: 06.04.2020).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074