Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,813

MATHEMATICAL MODEL FLAT CRYODESTRUCTION OF BIOLOGICAL TISSUE

Kaygermazov A.A. 1 Kudaeva F.Kh. 1 Karmokov M.M. 1 Nakhusheva F.M. 1
1 Kabardino-Balkaria State University H.M. Berbekov
Работа посвящена исследованию задачи со свободными границами для нелинейного эволюционного уравнения, возникающая при математическом моделировании проблем криохирургии. В работе рассмотрена задача гипотермии, когда отсутствует замороженная область биологической ткани. Для решения задачи в предлагаемой работе применяются методы нелинейных интегральных, интегро-дифференциальных уравнений, метод Ротэ, метод эквивалентной линеаризации, а также проведена конечномерная аппроксимация. Исследуемая задача с помощью функции Грина и формулы Грина на каждом временном слое сведена к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра и уравнению для определения свободной границы, которые с помощью конечномерной аппроксимации сведены к системе нелинейных алгебраических уравнений. В работе получены точное аналитическое решение стационарной задачи, а также приближенное решение нестационарной задачи. Полученное точное аналитическое решение соответствующей стационарной задачи позволяет определить очень важные для хирурга максимальные размеры замораживания, криопоражения и теплового возмущения. Также полученные в работе результаты можно использовать при конструировании и совершенствовании криоинструментов.
The research deals with problems with free boundaries for nonlinear evolution equations arising in mathematical modeling of problems of cryosurgery. In the paper we consider the problem of hypothermia, when there is no frozen biological tissue. To solve the problem in the present work we apply methods of nonlinear integral and integro-differential equations, the Rote method, the method of equivalent linearization and finite-dimensional approximation. Studied the problem using the green´s function and green´s formula on each temporal layer is reduced to a nonlinear integral equation of Volterra and the equation to determine the free boundary, which by means of a nite-dimensional approximation is reduced to a system of nonlinear algebraic equations.In this paper we obtain an exact analytical solution of the stationary problem and the approximate solution of a nonstationary problem. The obtained exact analytical solution of the corresponding stationary problem, allows to determine very important for the surgeon the maximum dimensions of freezing, and croporate thermal perturbations and obtained results can be used in the design and improvement of cryo-instruments.
the initial-boundary value problem
a one-dimensional problem
the condition of the pairing
the differential equation
the problem with free boundaries
cryotherapy
hypothermia
temperature field

В работе проводится исследование краевой задачи со свободными границами, описывающей динамику температурного поля при деструкции тканей плоскопараллельными аппликаторами. Рассмотрена задача гипотермии, когда отсутствует замороженная область и, следовательно, определению подлежат только функции и свободная граница . Для решения задачи в работе применяются методы нелинейных интегральных, интегро-дифференциальных уравнений, метод Ротэ, метод эквивалентной линеаризации, а также проведена конечномерная аппроксимация [4, 3].

Получено точное аналитическое решение соответствующей стационарной задачи, которое определяет очень важные для хирурга максимальные размеры замораживания, криопоражения и теплового возмущения.

Конечномерной аппроксимацией решение полученной системы сведено к решению системы нелинейных алгебраических уравнений.

Постановка задачи

В различных областях медицины при деструкции тканей применяются достаточно протяженные плоские аппликаторы. Определение динамики температурного поля в этом случае сводится к решению следующей задачи со свободными границами для нелинейных эволюционных уравнений [6, 5]:

(1)

(2)

(3)

В задаче (1)-(3) искомыми являются температурное поле и границы остальные параметры и функции известные, .

Аналитическое решение соответствующей стационарной задачи (1)–(3) имеет вид:

(4)

где

(5)

Задача гипотермии биологической ткани

Динамика охлаждения описывается решением задачи со свободной границей [1]:

(6)

Аналитическое решение соответствующей стационарной задачи (6) имеет вид:

(7)

где — положительный корень уравнения

(8)

При , вводя сетку с достаточно малым шагом и заменяя, оператор конечно-разностным аналогом, для определения приближенного значения и функций в точках получаем следующую аппроксимацию краевой задачи (6) в виде системы краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений:

(9)

где индекс опущен, а знак означает значения соответствующих величин на -м временном слое; .

С помощью функции Грина и формулы Грина на каждом временном слое осуществлено их сведение к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра [1, 3]:

(10)

и уравнению

(11)

где и — значения на данном, а и — на предыдущем временных слоях.

Вводя равномерную сетку и заменяя входящие в (10), (11) интегралы приближенными выражениями

(12)

приходим к системе нелинейных уравнений относительно узловых значений и числа :

(13)

где

При получаем:

(14)

Простейшие приближенные решения системы (10), (11) можно получить полагая

(15)

Для и при этом получаем систему нелинейных уравнений

(16)

где

(17)

Считая, что , и воспользовавшись приближениями вида (12), приходим к задаче определения по и из условия перемены знака следующей функции целочисленного аргумента:

(18)

где

(19)

При интегралы (17) вычисляются и мы получаем:

(20)

Если к тому же , то .

Приближенное решение можно искать в виде [1]:

. (21)

Краевые условия выполняются для любой функции . Потребуем, чтобы конструкция (21) удовлетворяла дифференциальному уравнению в смысле равенства нулю интегральной невязки.

В результате приходим к задаче Коши для определения

. (22)

Заменяя производную конечной разностью, получаем нелинейное уравнение для значения на данном временном слое:

. (23)

Численные расчеты показывают, что вполне удовлетворительные результаты дают простейшие приближенные решения.

Рецензенты:

Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН «Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН», г. Нальчик;

Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор Высокогорного Геофизического Института, г. Нальчик.