Введение
Электродиализный аппарат имеет периодическую структуру, состоящую из чередующих камер обессоливания и концентрирования, а также двух электродных камер. Изменение концентрации в камере концентрирования можно учесть в граничных условиях. Таким образом, основной задачей является моделирование переноса в камере обессоливания. Пусть 
соответствует условной межфазной границе анионообменная мембрана/раствор, 
соответствует условной межфазной границе катионообменная мембрана/раствор, 
– входу, а 
– выходу из камеры обессоливания, 
– заданная скорость прокачивания раствора. Будем считать, что скорость течения раствора имеет форму параболы Пуазейля или моделируется по-другому.
Для математического моделирования явлений переноса для бинарного электролита в камере обессоливания используется краевая задача для системы уравнений Нернста – Планка и Пуассона [4], которая достаточно сложна для аналитического и численного решения.
2. Постановка задачи. Нами в работе [5], для 1:1 электролита с одинаковыми коэффициентами диффузии катионов и анионов, была выведена упрощенная модельная задача с функцией Хэвисайда [1] и показано, что она достаточна адекватна. В данной работе предлагается асимптотическое решение соответствующей краевой задачи, которая имеет безразмерный вид [1, 2]:
, (1)
, (2)
, (3)
, 
, 
(4)
, 
, 
,
, 
, (5)
где 
– искомая напряженность, 
,
– концентрации катионов и анионов, 
– обобщенная общая «концентрация», 
– плотность тока, 
– функция тока для плотности тока , т.е. 
, 
, 
– безразмерный малый параметр, равный удвоенному квадрату отношения Дебаевской длины к ширине канала, 
, 
– число Пекле, – заданная скорость протока электролита в камере обессоливания, 
– функция Хэвисайда, 
– ток в цепи, 
– длина канала, 
– кососимметрическое скалярное произведение.
При запредельных режимах функция 
меняет знак в области 
по крайней мере, для небольших 
, причем дважды. Из этого следует, что функция 
имеет в разных частях области различные асимптотические представления.
Нами показано, что область 
, где значение функции положительно является областью электронейтральности, а отрицательно 
– пространственного заряда.
Рисунок 1. Область знакопостоянства функции
Особенностью задачи является то, что функция 
из уравнения (1) находится независимо от функций 
и 
.
3. Асимптотическое решение в области электронейтральности
3. 1. Асимптотическое разложение
Используем в области электронейтральности (
) для асимптотического решения следующие разложения:
, 
.
Подставляя данные разложения в систему уравнений и приравнивая коэффициенты при равных степенях 
, получим уравнения, решая которые можно найти все коэффициенты разложения. Для нахождения решения 
-го приближения получаем следующую систему уравнений:
(6)
(7)
где
3. 2. Алгоритм решения начального и первого приближения
Для начального приближения имеем систему уравнений:
,
,
которая после ряда преобразований принимает вид:
(8)
(9)
Из системы уравнений (9)–(10) видно, что вначале из уравнения (9) находится решение 
, далее, используя условие 
, вычисляем 
, затем находим 
.
Для приближения первого порядка получаем систему уравнений:
,
которая после некоторых преобразований преобразуется к виду:
(10)
(11)
Из системы уравнений (10)–(11) видно, что первое приближение находится по такому же алгоритму, что и начальное приближение.
4. Асимптотическое решение в области пространственного заряда
4. 1. Асимптотическое разложение
Сделаем замену: 
, и используем в области пространственного заряда (
) для асимптотического решения следующие разложения тогда
,
,
тогда для -го приближения имеем систему уравнений
(12)
(13)
Система уравнений (12) может быть записана в виде:
,
где 
.
Заметим, что для 
получаем систему линейных уравнений с нулевым определителем 
. Для однозначного определения 
- го приближения используется условие разрешимости 
- го приближения, которое имеет вид
(14)
4. 2. Алгоритм решения начального и первого приближения
Система уравнений для нулевого приближения имеет вид
(15)
(16)
Система уравнений для первого приближения имеет вид
(17)
(18)
Система уравнений для второго приближения для 
имеет вид:
(19)
Уравнение (15) можно записать в виде
(20)
Из этого уравнения не удается однозначно найти 
и 
, поэтому необходимо использовать условие разрешимости уравнения для 
, которое, как следует из (14), имеет следующий вид:
(21)
Решая систему уравнений (20) и (21), получаем однозначное выражение 
через 
:
, (22)
с учетом которого уравнение (18) преобразуется к виду:
(23)
Уравнение (23) является квазилинейным уравнением параболического типа.
Из уравнения (19) имеем следующее условие разрешимости для первого приближения
(24)
Решая систему уравнений (21) и (24), выражаем напряженность электрического поля через плотность тока для первого приближения
, (25)
где 
, 
.
Из уравнений (18) и (19) можно получить выражение для нахождения 
:
,
в которое из (21) подставляем и получаем уравнение для . Соответствующее уравнение не приводится из-за ее громоздкости.
5. Алгоритм численного решения начального приближения
Для численного решения вводится в рассмотрение дифференциальный оператор 
, который определяется следующим образом [3]:
,
Тогда для функций 
и 
получается система уравнений
(26)
(27)
с соответствующими краевыми условиями (4)–(5).
Для численного решения использовался метод установления, для дискретизации применялись явная и неявная разностные схемы. На рисунке 2 приведены графики решений краевой задачи для функции обобщенной концентрации и плотности тока 
.
а)
б)
Рисунок 2. Графики решений краевой задачи: а) 
, б) 
Заключение. Краевая задача (11)–(15) относится к классу «жестких» задач [1] из-за наличия малого параметра и поэтому при численном решении при значениях малого параметра 
порядка 
требуется шаг дискретизации порядка 
, что еще приемлемо по времени решения.
Однако реально меняется в пределах от 
до 
. При таких значениях малого параметра численное решение становится затруднительным. Предлагаемое асимптотическое решение позволяет провести численный анализ краевой задачи при произвольно малых значениях параметра .
Рецензенты:
Осипян Валерий Осипович, д.ф-м.н., доцент, профессор кафедры информационных технологий Кубанского государственного университета, г. Краснодар.
Семенчин Евгений Андреевич, д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой высшей алгебры и геометрии Кубанского государственного университета, г. Краснодар.
Криштоп Виктор Владимирович, д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Физика», Дальневосточный государственный университет путей сообщения, г. Хабаровск, профессор Университета Kwangwoon University, Korea.