Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

EFFECTIVENESS OF DELTA TRANSFORMATION AT MODELING SECOND ORDER ELEMENTS

Andreev V.S. 1 Butusov D.N. 1 Karimov T.I. 1 Lipkin S.M. 2 Sotnin M.I. 3
1 Saint-Petersburg State Electrotechnical University
2 South-Russian State Technical University
3 Novgorod State University
The article made of the efficiency of the delta - transformation in the transition from a continuous description of systems of differential equations to discrete form by the example of the different units of the second-order model. The short description the delta-operator is given and ways of equivalent transition from transfer functions in z- and s- form to transfer functions in the delta-form are described. Generalized model of a dynamical system n-th order, described Delta-operator, is realized by method of joint integration. For an assessment the delta-systems in time and frequency domain was used the environment of model design of NI LabVIEW, which has implemented a number of models of transfer functions in the various forms of representation. The simulation results are presented graphically. It is shown that application the delta-transformation and joint integration at calculations with the fixed point allows to raise degree of equivalence of digital and continuous systems.
integration error.
z - transform
delta - transform
second order element
computer modeling

Введение

Дельта-преобразование является, наряду с более известным z-преобразованием, одним из методов математического описания дискретных систем. Разработанное практически одновременно с z-преобразованием, оно долгое время оставалось мало востребованным, так как невысокое быстродействие вычислительных машин прошлого, применяемых при реализации систем автоматического управления и при цифровой обработке сигналов, не позволяло проявляться главному недостатку z-преобразования, а именно: при стремлении периода дискретизации к нулю корни и полюса системы в z-области стремятся к единице [4]. При ограниченной точности машинного представления чисел различные корни стремятся «слиться» друг с другом и с единицей; динамическая характеристика такой цифровой системы не повторяет характеристику непрерывной и может существенно отличаться от нее [5]. Этим эффектом можно пренебречь, если использовать представление чисел с плавающей точкой. Однако на аппаратном уровне его поддерживает довольно ограниченное число контроллеров. Использование же чисел с плавающей точкой на программном уровне приводит к существенному увеличению времени выполнения программы. В результате разработка цифровой системы управления с малым периодом дискретизации становится труднореализуемой задачей.

В то же время дельта-преобразование не имеет вышеописанного недостатка. При уменьшении периода дискретизации динамическая характеристика такой цифровой системы стремится к характеристике непрерывной. Еще больше повысить эффективность дельта- преобразования можно путем реализации программы не каноническими формами программирования, а так называемым совместным интегрированием, описанным в работе [2]. При этом становится возможным использование 16-битного и даже 8-битного контроллера там, где в случае z-преобразования приемлемую точность давал бы только 32-битный.

Преобразование непрерывных и z-систем в дельта-системы

Основная идея дельта-преобразования – использование метода Эйлера для вычисления производной:

, (1)

где – период дискретизации.

Как аналог оператора введем оператор , который имеет следующий смысл:

, (2)

Выведем связь с z-преобразованием. Как известно, его суть состоит в переходе от операции дифференцирования к операции сдвига во времени. Переменная при этом обозначает сдвиг во времени на 1 шаг вперед:

(3)

Исходя из (2) и (3), можно записать связь между переменными и :

(4)

Одним из наиболее удобных способов аппроксимации непрерывной системы, сохраняющей ее устойчивость, является билинейное преобразование, или преобразование Тастина. С учетом выражения (3), можно записать формулу перехода по методу Тастина из s-области в дельта-область:

(5)

В данном случае – период дискретизации при дифференцировании методом Эйлера, а – период дискретизации интегрирования, причем они необязательно равны.

С точки зрения инженерной практики, удобно сперва перевести непрерывную систему в z-систему, а затем преобразовать ее коэффициенты таким образом, чтобы заменить оператор на. Допустим, у нас имеется дискретная передаточная функция второго порядка:

(6)

Из формулы (4) известна связь и , откуда следует связь и :

(7)

Используя выражения (4) или (7), мы можем преобразовать передаточную функцию дискретной системы к виду:

(8)

Связь коэффициентов функций в и форме представлена в таблице 1.

Таблица 1. Связь коэффициентов дельта и для передаточных функций 2-го порядка

Функции более высокого порядка, чем 2-й, на практике лучше реализовать как последовательное соединение функций 1-го и 2-го порядка для уменьшения эффектов округления и переполнения разрядной сетки [1].

Совместное интегрирование

В работе [2] показано, что совместное интегрирование имеет более высокую точность при реализации численных методов интегрирования. Рассмотрим этот метод подробно.

Пусть имеется передаточная функция -го порядка, которая была преобразована в систему дифференциальных уравнений 1-го порядка:

(9)

Приведем ее к виду для совместного интегрирования:

(10)

Теперь перейдем от непрерывной системы к дельта-системе. Для этого оператор интегрирования заменим на . Учитывая, что , можно записать:

(11)

Подставляя выражение для из системы (10), получим окончательно:

(12)

Проделав аналогичные выкладки для всех уравнений системы (10), нетрудно записать общий вид матриц пространства состояний совместного интегрирования для дельта-системы:

,,, (13)

Сравнение z-преобразования и дельта-преобразования на простейшем звене

Возьмем в качестве примера простейшее колебательное звено второго порядка:

(14)

Пусть период дискретизации и . Тогда в z-области система будет выглядеть так:

(15)

Отсюда, используя формулы из таблицы 1, получим дельта-форму:

(16)

Точные значения коэффициентов переведем в значения с фиксированной точкой при длине машинного слова 16 бит (при этом 14 бит отводятся на запись единицы, то есть ).

1. Реакция на ступенчатое воздействие

Для анализа дельта-оператора были построены графики z-системы в форме прямого программирования, дельта-системы в форме совместного интегрирования и непрерывной системы. График ошибки моделирования цифровых систем представлен на рисунке 1.

 

Рисунок 1. Погрешность моделирования переходной характеристики цифровых систем относительно непрерывной системы

Устоявшаяся ошибка в дельта-системе имеет порядок , тогда как в z-системе она имеет порядок . В то же время при длине машинного слова 16 бит (и из них 14 отведено под дробную часть), коэффициенты системы задаются с точностью порядка. Таким образом, можно заключить, что одновременное использование дельта-преобразования и совместного интегрирования дает точность выходного сигнала, лишь на два порядка уступающую машинной точности представления чисел, и при этом на порядок точнее, чем использование z-преобразования.

2. Реакция на гармоническое воздействие

Далее исследуем реакцию системы на синусоидальное воздействие. Этот эксперимент особенно показателен в связи с тем, что при конструировании цифровых фильтров чаще всего приходится иметь дело именно с этим классом сигналов.

Пусть период дискретизации и параметр; частота входного синусоидального сигнала выбрана (период равен 100 периодам дискретизации). Моделирование проводится при длине машинного слова 16 бит.

На рисунке 2 приведены графики погрешности моделирования z- и дельта-систем относительно выходного сигнала непрерывной системы.

 

Рисунок 2. Погрешность реакции цифровых систем относительно реакции непрерывной

Для дельта-системы используется совместное интегрирование как более точный метод. Ошибка в этом случае меньше на порядок, как и в случае реакции на единичный скачок.

Сравнения частотных характеристик z- и дельта-систем

Одной из часто используемых систем второго порядка является режекторный фильтр. Он задается передаточной функцией:

(17)

где - вырезаемая частота (рад/с), а - ширина полосы заграждения. На практике режекторный фильтр применяются чаще всего для отсечения помехи частотой 50±2 Гц. Соответственно, возьмем и . Тогда функция (34) примет вид:

(18)

Используя преобразование Тастина, найдем функцию в z-форме:

(19)

Произведем дельта-преобразование, опираясь на выражение (19):

(20)

Период дискретизации и параметр . Моделирование вновь проводится при длине машинного слова 16 бит.

 

Рисунок 3. АЧХ непрерывного и цифровых режекторных фильтров

Анализ графика АЧХ показывает, что z-система ведет себя неудовлетворительно:

а) подавляемая ею частота составляет 48 Гц, а не 50 Гц;

б) на частоте 51 Гц (входит в область подавления) ее коэффициент усиления больше единицы;

в) АЧХ неровная, имеет побочные пики (например, на частоте 93 Гц).

Таким образом, при 16-битном машинном представлении режекторный фильтр, построенный на основе z-преобразования, имеет неудовлетворительную АЧХ. В то же самое время АЧХ фильтра, построенного на основе дельта-преобразования, очень близка к АЧХ непрерывного фильтра. Более того, в работе [5] показано, что, используя дельта-преобразование, возможна реализация подобного режекторного фильтра даже на 8-битном контроллере.

Заключение

В статье было дано определение дельта-преобразования и рассмотрены способы перехода от непрерывных и z-систем к дельта-системам. Также был предложено объединить метод совместного интегрирования с дельта-преобразованием, позволяющий реализовать дельта-систему на вычислительном устройстве с наиболее высокой точностью.

Было показано, что применение дельта-преобразования и совместного интегрирования при вычислениях с фиксированной точкой позволяет повысить точность вычислений и приблизить цифровую систему по своим характеристикам к непрерывной. В частности, характеристика цифрового запаздывающего звена, построенного на основе дельта-преобразования, на порядок ближе к характеристике непрерывной системы при ступенчатом и синусоидальном воздействиях, чем характеристика z-системы.

Преимущества дельта-преобразования отчетливо проявляются при малых периодах дискретизации. Так, с помощью дельта-преобразования был реализован цифровой режекторный фильтр, который показал значительно лучшие характеристики, чем фильтр на основе z-преобразования.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы» (Государственный контракт № 14.B37.21.2021 от 11 ноября 2012 г.).

Рецензенты:

Анисимов Владимир Иванович, д.т.н., профессор кафедры cистем автоматизированного проектирования. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)», г. Санкт-Петербург.

Сольницев Ремир Иосифович, д.т.н., профессор кафедры cистем автоматизированного проектирования. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина)», г. Санкт-Петербург.