Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

INTEGRATED SUBMISSION OF THE SOLUTION OF THE B-POLYHARMONIOUS EQUATION

Denisova M.Yu. 1
1 Kazan Federal University
The degenerating elliptic equations represent one of important sections of the modern theory of the differential equations with private derivatives. In article in n-dimensional Euclidean space fundamental solutions of the differential equation 2m-go about with Bessel´s acting on the last variable the singulyarny operator are under construction. Such equation we call the V-polyharmonious equation. The operator of the generalized shift is applied to obtaining the fundamental solution of this equation with feature in any point. Such fundamental decisions are applied to research of regional tasks with conditions such as parity on a characteristic part of border. Green´s first and second formulas are deduced. Further there is an integrated submission of the found solution of the equation, for data of a regional task to system of the integrated equations.
polyharmonic equation.
differential equation
integrated representation

Постановка задачи

Пусть – полупространство  евклидова пространства  точек . Пусть  конечная область в , симметричная относительно плоскости  и ограниченная поверхностью . Обозначим через  часть , расположенную в . Граница области  разбивается  и , расположенными соответственно на плоскости  и в полупространстве . Поверхность  является поверхностью класса , когда [3].

Рассмотрим краевую задачу: найти четное по  решение уравнения

                                                                                                                                                                     (1)

в области ,  раз непрерывно дифференцируемое в  и удовлетворяющее граничным условиям

,

где, если  и , если ,  – внешняя нормаль к границе  в точке , ,  – оператор Бесселя,  – любое положительное число, . Уравнение вида (1) назовем В-полигармоническим уравнением [1].

Фундаментальное решение

Известно [2], что фундаментальные решения уравнения (1) с особенностью в начале координат имеют вид

 

где , .

Значения  и  выберем таким образом, чтобы

                                                                              (2)

и

                                                        (3)

для любой четной по  бесконечно дифференцируемой и финитной в  функции .

Можно проверить,  удовлетворяет условиям (2) и (3) при следующих значениях  и :

 

 

 

.

 

 

С помощью непосредственного подсчета получаем, что

.

 

 

Для получения фундаментального решения с особенностью в произвольной точке  применим к функции  оператор обобщенного сдвига [4]:

,

 

где .

Так как операторы  и  коммутируют, то в силу формальной самосопряженности оператора  из формулы (3) следует, что

.                                                                      

 

Формулы Грина для функций класса

Пусть  и  четные по  функции класса .

Тогда имеют место тождества

(4)

 

 (5)

 

при четном , и

(6)

 

когда  – нечетное число.

Нам понадобятся, для четных по  функций , первая формула Грина

                                        

 

и вторая формула Грина

.                                   (7)

 

Интегрируя обе части тождеств (4)–(6) по области  и пользуясь формулой (7), получим обобщенные формулы Грина

,

 

для всех четных  и

,                

 

когда  – нечетное число, а также имеет место формула

                 

                                                   

   ,                                                               (8)

где, если  и , если ,  – внешняя нормаль к границе  в точке .

Интегральное представление

Пусть  – внутренняя точка области . Вырежем эту точку шаром  с центром в точке  и радиуса , такого что  (если , то точку  вырежем полушаром ). Поверхность шара обозначим (). Пусть  – решение уравнение (1) в области .

Применяя формулу (8) к функциям  и  в области , с учетом равенства (2), получим

.

Меняя переменную суммирования, и заметив, что  и  в , последнюю формулу можем записать в следующем виде

.                            (9)

 

Используя схему, предложенную в работе [5], докажем, что для  и  , имеет такую же особенность в точке , что и фундаментальное решение оператора. Вводя обозначение , получим

.              (10)

 

Разность между интегралом (10) и интегралом

 

 

является регулярной функцией в точке , то есть для . В последнем интеграле сделаем замену переменной по формуле . В результате будем иметь

.

 

Непосредственно вычисляется, что

.

 

 

Откуда

.                            (11)

 

 

Используя приближенную формулу (11) получаем, что

(12)

 

 

где , и

(13)

 

 

Из приближенных формул (11)–(13) следует, что в формуле (9) первая сумма левой части не зависит от , во второй сумме все слагаемые, кроме слагаемого при  и , сходятся к нулю. Вычислим предел слагаемого при . Его обозначим через . В силу теоремы о среднем значении интеграла, приближенных формул (11)–(13) и с учетом того, что  при , получаем

,

 

 

то есть .

Таким образом, имеют место следующие интегральные представления для решения уравнения (1):

(14)

 

Отсюда при  имеем, что

.

 

Заключение

В работе получено интегральное представление (14) найденного решения уравнения (1), необходимое для сведения краевой задачи к системе интегральных уравнений.

Рецензенты:

Игнатьев Ю.Г., доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань.

Сушков С.В., доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теории относительности и гравитации, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань.

Криштоп Виктор Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Физика», Дальневосточный государственный университет путей сообщения, г. Хабаровск, профессор Kwangwoon University, Korea.