Постановка задачи
Пусть – полупространство евклидова пространства точек . Пусть конечная область в , симметричная относительно плоскости и ограниченная поверхностью . Обозначим через часть , расположенную в . Граница области разбивается и , расположенными соответственно на плоскости и в полупространстве . Поверхность является поверхностью класса , когда [3].
Рассмотрим краевую задачу: найти четное по решение уравнения
(1)
в области , раз непрерывно дифференцируемое в и удовлетворяющее граничным условиям
,
где, если и , если , – внешняя нормаль к границе в точке , , – оператор Бесселя, – любое положительное число, . Уравнение вида (1) назовем В-полигармоническим уравнением [1].
Фундаментальное решение
Известно [2], что фундаментальные решения уравнения (1) с особенностью в начале координат имеют вид
где , .
Значения и выберем таким образом, чтобы
(2)
и
(3)
для любой четной по бесконечно дифференцируемой и финитной в функции .
Можно проверить, удовлетворяет условиям (2) и (3) при следующих значениях и :
.
С помощью непосредственного подсчета получаем, что
.
Для получения фундаментального решения с особенностью в произвольной точке применим к функции оператор обобщенного сдвига [4]:
,
где .
Так как операторы и коммутируют, то в силу формальной самосопряженности оператора из формулы (3) следует, что
.
Формулы Грина для функций класса
Пусть и четные по функции класса .
Тогда имеют место тождества
(4)
(5)
при четном , и
(6)
когда – нечетное число.
Нам понадобятся, для четных по функций , первая формула Грина
и вторая формула Грина
. (7)
Интегрируя обе части тождеств (4)–(6) по области и пользуясь формулой (7), получим обобщенные формулы Грина
,
для всех четных и
,
когда – нечетное число, а также имеет место формула
, (8)
где, если и , если , – внешняя нормаль к границе в точке .
Интегральное представление
Пусть – внутренняя точка области . Вырежем эту точку шаром с центром в точке и радиуса , такого что (если , то точку вырежем полушаром ). Поверхность шара обозначим (). Пусть – решение уравнение (1) в области .
Применяя формулу (8) к функциям и в области , с учетом равенства (2), получим
.
Меняя переменную суммирования, и заметив, что и в , последнюю формулу можем записать в следующем виде
. (9)
Используя схему, предложенную в работе [5], докажем, что для и , имеет такую же особенность в точке , что и фундаментальное решение оператора. Вводя обозначение , получим
. (10)
Разность между интегралом (10) и интегралом
является регулярной функцией в точке , то есть для . В последнем интеграле сделаем замену переменной по формуле . В результате будем иметь
.
Непосредственно вычисляется, что
.
Откуда
. (11)
Используя приближенную формулу (11) получаем, что
(12)
где , и
(13)
Из приближенных формул (11)–(13) следует, что в формуле (9) первая сумма левой части не зависит от , во второй сумме все слагаемые, кроме слагаемого при и , сходятся к нулю. Вычислим предел слагаемого при . Его обозначим через . В силу теоремы о среднем значении интеграла, приближенных формул (11)–(13) и с учетом того, что при , получаем
,
то есть .
Таким образом, имеют место следующие интегральные представления для решения уравнения (1):
(14)
Отсюда при имеем, что
.
Заключение
В работе получено интегральное представление (14) найденного решения уравнения (1), необходимое для сведения краевой задачи к системе интегральных уравнений.
Рецензенты:
Игнатьев Ю.Г., доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань.
Сушков С.В., доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теории относительности и гравитации, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань.
Криштоп Виктор Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Физика», Дальневосточный государственный университет путей сообщения, г. Хабаровск, профессор Kwangwoon University, Korea.
Библиографическая ссылка
Денисова М.Ю. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В-ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ // Современные проблемы науки и образования. – 2012. – № 6. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=7417 (дата обращения: 12.12.2024).