Данная работа посвящена разработке методики расчета трехмерных течений вязкого газа на блочно-структурированных эйлеровых сетках с использованием существенно неосциллирующих схем повышенного порядка точности [6]. Методика ориентирована на решение внутренних и внешних задач аэродинамики и является развитием методик, применяемых в пакете программ ЛОГОС [2].
Для описания расчетных методик запишем систему уравнений Навье-Стокса и уравнения модели турбулентности в декартовых координатах в векторном виде:
. (1)
Здесь, 
вектор консервативных переменных, 
вектор конвективных потоков, 
вектор вязких потоков.
Поскольку в данной работе рассматриваются алгоритмы на структурированных сетках, то при описании алгоритмов расчета будем использовать следующее обозначение: текущую ячейку будем обозначать индексом 
, левые и правые грани ячейки относительно рассматриваемой переменной по направлениям 
индексами 
и 
соответственно. При этом направление нормалей на гранях соответствует возрастанию переменной.
Точность получаемых решений во многом зависит от способа вычисления конвективных потоков. Использование блочно-структурированных сеток позволяет осуществлять реконструкции решения на гранях ячеек повышенного порядка точности: линейная, квадратичная и кубическая реконструкции. Эти реконструкции и описание методик расчета на блочно-структурированных сетках приводится в работе [1].
Рассмотрим подробнее одномерную ENO-реконструкцию. Пусть дана сетка
Обозначим ячейки, их центры и шаг сетки
соответственно. Обозначим
Предположим, что в ячейках заданы средние значения некоторой функции
:
Построим полином
степени не больше
который аппроксимирует функцию
с порядком точности
в 
-й ячейке:
Таким образом, можно восстановить значения функции
на границе ячейкис порядком точности
:
Рассмотрим ячейку
и «шаблон» состоящий из
ячеек слева и
ячеек справа от этой ячейки и самой ячейки
:
где
Существует единственный полином
степени не больше
который удовлетворяет условию
Искомый полином запишется в виде [6]:
Запишем выражение для значения функции
на границе ячейки:
где
Далее полагаем что функция
является кусочно-непрерывной. Суть ENO-аппроксимации заключается в том, что для 
-й ячейки «шаблон»
нужно выбрать таким образом, чтобы избежать интерполяции через разрыв.
WENO-реконструкция основана на реконструкции ENO. Основная идея [6] заключается в том, что вместо реконструкции на одном шаблоне используется выпуклая комбинация значений полученных на каждом шаблоне.
Шаблонам
соответствует 
значений
взвешенная сумма которых и принимается за значение, полученное при WENO-реконструкции:
Если функция
гладкая на каждом шаблоне, то найдутся коэффициенты
такие, что
Например, для
получаем:
Если
то[6]
Если функция
имеет разрыв на каком-то шаблоне, то соответствующий коэффициент
должен быть близок к 0, для сохранения свойств ENO.
Предлагается рассматривать следующие весовые коэффициенты [6]:
где
– «индикатор гладкости».
Потребуем, чтобы
тогда
При выполнении этих условий предлагаемая аппроксимация сохраняет свойства ENO.
«Индикаторы гладкости» будем определять следующим образом:
Для
получаем:
для
:
Рассмотренные алгоритмы реконструкций были реализованы в рамках пакета программ ЛОГОС. При вычислении конвективных потоков выполняется одномерная реконструкция параметров в центре грани в направлении ортогональном рассматриваемой грани. Текущая модель памяти ЛОГОС позволяет использовать шаблоны из произвольного числа ячеек. Однако организация параллельных вычислений приводит к необходимости увеличивать ширину ленты обменных ячеек. В качестве компромисса были рассмотрены схемы WENO 3-го порядка и схема WENO 3-го порядка точности с ограничителями требующие только два слоя обменных ячеек.
Разработанные алгоритмы были протестированы на ряде задач из верификационного базиса пакета программ ЛОГОС. В частности: задача о сверхзвуковом обтекании клина, задача об обтекании профиля NACA0012 при различных углах атаки, задача об обтекании профиля RAE2822 и задача об обтекании четырехзвенного профиля NASA с предкрылком и двумя закрылками.
Решалась задача о стационарном сверхзвуковом обтекании клина с числом Маха
На рисунках 1-2 представлены картины распределения числа Маха в продольном сечении расчетной области для неявной и явной схем. На рисунке 3 представлена зависимость полного давления от продольной координаты вдоль сечения 
Рис. 1. – Задача о сверхзвуковом обтекании клина: распределение полного давления (неявная схема, WENO3 без ограничителей).
Рис. 2. – Задача о сверхзвуковом обтекании клина: распределение полного давления (неявная схема, WENO3 с ограничителями).
Рис. 3. – Задача о сверхзвуковом обтекании клина: распределение полного давления (явная схема,
WENO3 без ограничителей).
Рис. 4. – Задача о сверхзвуковом обтекании клина: распределение полного давления (явная схема,
WENO3 с ограничителями).
Рис. 5. – Задача о сверхзвуковом обтекании клина: зависимость полного давления от продольной координаты в сечении y=850, z=500 (WENO3_LIM transient – реконструкция WENO3 с ограничителями, нестационарное течение; WENO3 transient – реконструкция WENO3 без ограничителей, нестационарное течение; WENO3 steady– реконструкция WENO3 без ограничителей, стационарное течение; TVD steady– линейная реконструкция, используемая в методике для произвольных неструктурированных сеток, стационарное течение).
Был выполнен расчет для задачи об обтекании профиля NACA0012 потоком газа с числом Маха 
На рисунке 4 представлена зависимость коэффициента силы сопротивления от коэффициента подъемной силы, а на рисунке 5 зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки. Для сравнения на рисунках 4-5 приведены экспериментальные данные [5].
Рис. 6. – Задача об обтекании профиля NACA0012: зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки (1 – эксперимент; 2 – WENO-рек. без ограничителей, неявная схема; 3 – WENO-рек. с ограничителями, неявная схема; 4 – WENO-рек. с ограничителями, явная схема; 5 – WENO-рек. без ограничителей, явная схема; 6 – расчет на неструктурированной сетке модулем Logos.TVD).
Был выполнен расчет для задачи об обтекании профиля RAE2822 потоком с числом Маха 0,721 и углом атаки 
. На рисунке 7 представлено распределение коэффициента давления на поверхности профиля.
Рис. 7. – Задача об обтекании профиля RAE2822: распределение коэффициента давления по поверхности профиля (Эксперимент – экспериментальные данные [4]; WENO3 – WENO3-рек. без ограничителей; WENO3_LIM – WENO3-рек. с ограничителями; Logos_TVD – расчет на неструктурированной сетке модулем Logos.TVD).
В результате в рамках пакета программ Логос разработаны расчетные алгоритмы и создан программный модуль расчета по явным и неявным разностным схемам вязких сжимаемых течений на блочно-структурированной сетке с использованием существенно неосциллирующих схем WENO 3-го порядка точности без ограничителей и с ограничителями.
Рецензенты:
Щенников В. Н., доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений факультета математики и информационных технологий ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва», г. Саранск.
Малыханов Ю. Б., доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры физики и методики обучения физике физико-математического факультета ФГБОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт имени М.Е. Евсевьева», г. Саранск.