Scientific journal

Modern problems of science and education

ISSN 2070-7428

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 0,936

При постоянных и синусоидальных токах и напряжениях для определения в нагрузке линейной исходной цепи комплекса действующего значения тока  часто применяется метод эквивалентного генератора [1-2, 5], когда вся внешняя к нагрузке цепь как активный двухполюсник заменяется одним эквивалентным генератором с комплексом действующего значения ЭДС  и комплексным внутренним сопротивлением , где  - комплексное сопротивление нагрузки;  - комплекс действующего значения напряжения нагрузки.

В результате ток в нагрузке рассчитывается так

,                       (1)

причем ЭДС  равна напряжению холостого хода  при  и , а сопротивление  эквивалентного генератора находится с учетом тока короткого замыкания  при  и :

.                                 (2)

Однако метод эквивалентного генератора не позволяет определять суммарные с учетом нагрузки значения активной P и реактивной Q мощностей в исходной цепи, которые могут потребоваться, например, для определения оптимального значения сопротивления , обеспечивающего максимальную эффективность передачи  в нагрузку активной энергии:

,                                 (3)

где  - действующее значение тока нагрузки;  - активная мощность нагрузки.

Наряду с этим существуют методы, основанные на энергетическом подходе, когда сохраняется мощность, но не сохраняется ток [2].

Таким образом, актуальность расширения возможностей метода эквивалентного генератора с целью определения мощностей в исходной цепи не вызывает сомнений.

Описание метода

Рассмотрим вначале расширенный метод эквивалентного генератора при постоянных напряжениях и токах.

На рис. 1 представлена схема замены активного двухполюсника расширенным эквивалентным генератором с ЭДС E_Г, сопротивлением R_Г, источником тока генератора J_Г и дополнительным сопротивлением R₀. Предположим, что в исходной схеме известны для режимов:

• холостого хода (I_Н=0, R_Н=∞) напряжение в нагрузке U_H=U_ХХ и вырабатываемая мощность P_ХХ;
• короткого замыкания (U_H=0, R_Н=0) ток в нагрузке I_H=I_КЗ и вырабатываемая мощность P_КЗ.

Рис. 1. Схема расширенного эквивалентного генератора

В режиме холостого хода (рис. 1) U_ХХ и P_ХХ равны:

,                            (4)

.                           (5)

Из режима короткого замыкания очевидно, что:

,                  (6)

.                   (7)

Определим параметры расширенного эквивалентного генератора ,  и R₀. При этом сопротивление генератора R_Г определяем общепринятым способом [1-2, 5]:

,                             (8)

тогда уравнения (4) и (6) объединяются. Таким образом, вместо системы из четырех уравнений необходимо решить систему из трех уравнений (4), (5) и (7).

Из уравнения (4) выразим E_Г, а из уравнения (5) выразим дополнительное сопротивление R₀:

,                                              (9)

.                                                     (10)

Подставим полученные выражения (9) и (10) в уравнение (7):

.                                               (11)

Из уравнения (11) выразим ток генератора J_Г:

,                          (12)

Подставим полученное выражение в (9) и определим E_Г:

  .                                   (13)

После определения параметров генератора переходим к определению тока в нагрузке I_Н и мощности Р_Н. Записав уравнение по второму закону Кирхгофа для контура с участием тока нагрузки и используя выражение (4) или (9) с учетом (8), легко доказать, что ток в нагрузке определяется по формуле (14):

  .                                    (14)

Суммарная мощность в схеме расширенного эквивалентного генератора будет равна:

  ,                              (15)

где  (рис. 1).

Для иллюстрации работы метода рассмотрим схему, приведенную на рисунке 2, а. Преобразуем ее к схеме расширенного эквивалентного генератора (рис. 1).

а                                                б

Рис. 2. Схема замещения цепи с параметрами: а)  E₁=150 В, E₂=200 B, E₃=150 B, J=1 A, R₁=70 Ом, R₂=20 Ом, R₃=40 Ом, R₄=10 Ом; б)  (В);  (В);  (В);  (А);  (Ом);  (Ом);  (Ом);  (Ом)

По формулам (8), (10), (12) и (13) определяем параметры расширенного эквивалентного генератора: R_Г=26,92 Ом; R₀=561,211 Ом, J_Г=-0,771 А и E_Г=169,231 В. Используя найденные параметры генератора, определяем ток в нагрузке и потребляемую мощность по формулам (14) и (15). Для сравнения определим вырабатываемую мощность P₁ и ток в нагрузке I₁=I_Н1 в исходной схеме, изменяя сопротивление нагрузки R_Н от 0 до ∞ и вырабатываемую мощность P₂ и ток в нагрузке I₂=I_Н в схеме расширенного эквивалентного генератора (рис. 3).

Ток в нагрузке, определенный в исходной схеме и методом расширенного эквивалентного генератора, совпал (рис. 4, а). Вырабатываемая мощность и КПД, определенные в исходной схеме, совпали с расчетами по методу расширенного эквивалентного генератора и не совпали с расчетами по методу эквивалентного генератора (рис. 3).

Рис. 3. Графики зависимостей мощностей от I_Н: P₁ - вырабатываемой в исходной схеме, P₂ - вырабатываемой в схеме эквивалентного генератора, P₃ - вырабатываемой в схеме расширенного эквивалентного генератора, Р_Н - мощность, потребляемая в нагрузке

Рис. 4. Графики зависимости: а) тока в нагрузке от R_Н: I₁ - в исходной схеме, I₂ - в схеме расширенного эквивалентного генератора, б) КПД от I_Н: η₁ - в исходной схеме, η₂ - в схеме эквивалентного генератора, η₃ - в схеме расширенного эквивалентного генератора

Рассмотрим работу расширенного метода эквивалентного генератора при гармонических напряжениях и токах.

Введем в схему эквивалентного генератора (рис. 5) дополнительное комплексное сопротивление , которое совместно с сопротивлениями  и  будет задавать мощности P и Q исходной цепи (рис. 5), причем величины  и  сохраняют свои значения.

Рис. 5. Комплексная схема замещения расширенного эквивалентного генератора

В результате ток будет рассчитываться согласно (1), а сопротивление  найдем из баланса активной P и реактивной мощности Q в схеме рис. 5:

 ; ,                   (16)

где  - действующее значение напряжения холостого хода.

С учетом (1) действующее значение тока нагрузки составит

   ,                                           (17)

тогда на основании формул (16) и (17) получаем расчетный параметр

   ,                            (18)

реактивную составляющую дополнительного сопротивления

,                     (19)

активную составляющую дополнительного сопротивления

   .                               (20)

В формулах (18-20) мощности P и Q являются суммарными мощностями в исходной цепи при конкретном значении сопротивления нагрузки . Очевидно, что при изменении сопротивления  будут меняться мощности P, Q и параметры дополнительного сопротивления λ, , . Поэтому из режимов холостого хода и короткого замыкания находим расчетом или экспериментально значения напряжения холостого хода  и тока короткого замыкания , по формуле (2) вычисляем сопротивление . При заданном режиме изменения нагрузки для нескольких значений сопротивления  рассчитываем или определяем экспериментально соответствующие значения мощностей P и Q, а затем вычисляем по формулам (18-20) параметры λ, R_Д, X_Д. Далее можно проводить исследования в схеме расширенного эквивалентного генератора (рис.4, б) с целью нахождения тока (1), мощностей P, Q и эффективности (3). Рассчитанные составляющие дополнительного сопротивления R_Д и X_Д могут задаваться графически или приближенными аналитическими зависимостями.

Для иллюстрации применения расширенного метода эквивалентного генератора в качестве примера рассмотрим линейную исходную цепь, комплексная схема замещения которой приведена на рис. 2, б.

Из режимов холостого хода ( ) и короткого замыкания ( ) определяем:  (В);  (В);  (А);  (Ом). Для заданных значений сопротивления нагрузки  в табл. 1 и на рис. 6 приведены полученные по формулам (1-3, 16-20) с использованием  системы Mathcad [4] результаты расчета параметров расширенного эквивалентного генератора.

Таблица 1. Параметры расширенного эквивалентного генератора

Рис. 6. Зависимость эффективности передачи в нагрузку активной энергии η от действующего значения тока нагрузки  

Точки пересечения нелинейной внешней характеристики эквивалентного генератора  с линейными зависимостями  позволяют найти действующие значения напряжения  и тока  нагрузки с фиксированным модулем сопротивления . Таким образом, для исследованной исходной цепи максимальная эффективность передачи активной энергии в нагрузку  достигается при действующем значении тока  (А). Этот ток будет при оптимальном сопротивлении нагрузки равном  (Ом), которое отличается от сопряженного значения сопротивления , т. е.  (Ом), когда наблюдается максимум активной мощности нагрузки  [2]. Следует отметить, что во многих учебниках, например, в [2], считают, что при максимуме активной мощности нагрузки эффективность (КПД) передачи активной энергии в нагрузку составляет . Это утверждение неверно для исходной сложной цепи и справедливо лишь для одноконтурной схемы, состоящей из ЭДС источника  и сопротивлений , .

Выводы

В данной работе предложен расширенный метод эквивалентного генератора при постоянных и синусоидальных токах, позволяющий определить не только ток и напряжение в нагрузке, но и активную и реактивную мощности в исходной цепи, а также эффективность (КПД) передачи активной энергии от всех источников исходной цепи в нагрузку, что может быть использовано для оптимизации параметров сложных электрических цепей.

Расширенный метод эквивалентного генератора дает возможность найти оптимальное комплексное сопротивление нагрузки для получения реального значения максимальной эффективности передачи в нагрузку активной энергии.

Для обеспечения заданной активной мощности в исходной линейной цепи величина активной составляющей дополнительного сопротивления может принимать при определенных значениях сопротивления нагрузки отрицательные значения, что свидетельствует о том, что дополнительное сопротивление расширенного эквивалентного генератора является математическим приемом для учета реальных физических процессов в электрических цепях.

Рецензенты:

Усов Юрий Петрович, д.т.н., профессор каф. ЭСиЭ ЭНИН ФГБОУ ВПО НИ ТПУ, Национальный исследовательский Томский политехнический университет, г. Томск.

Федор Юрьевич Канев, д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник института оптики атмосферы им. В. Е. Зуева СО РАН, г. Томск.