Добавление в линейные уравнения с частными производными членов с функцией Хэвисайда от искомой функции приводит к новому классу квазилинейных уравнений по свойствам близких, но отличающихся от класса линейных уравнений. Краевые задачи для этого класса квазилинейных уравнений в настоящее время не исследованы, нет эффективных численных методов решения. В связи с этим возникает необходимость в исследовании и решении краевых задач для таких уравнений. Данная статья посвящена численному решению краевых задач для квазилинейных уравнений математической физики, содержащих функцию Хэвисайда.
§ 1. Квазилинейные уравнения параболического типа с функцией Хэвисайда
1. Математическая постановка задачи
Рассмотрим уравнение:
(1)
со следующими краевыми условиями:
1) граничные условия:
(2)
2) начальное условие:
(3)
3) условия согласования граничных условий:
(4)
4) условия согласования граничных и начальных условий:
(5)
2. Явный метод численного решения
1. Дискретизация. Область 
разбивается с шагом 
, 
и по t с шагом 
. Для простоты в дальнейшем рассматривается частный случай 
и, кроме того, будем использовать одинаковые обозначения для исходных функции и, соответствующих им, разностных функций.
Вводятся массивы четыре одномерных и три двумерных массива соответствующей размерности: 
, 
:
При фиксированном t вычисляем массив 
по формуле 
. Аналогично вычисляются массивы 
. Через 
будем обозначать значения функции S на прошлом слое по t, а через Sn - на текущем слое по времени.
2. Вычислим связь Sp, Sn из уравнения для 
, используя явную схему.
Для этого переходим от дифференциальных уравнений к разностным, заменяя производные конечными разностями по формулам:
,
,
,
,
.
Подставим эти выражения в уравнение, тогда:
,
,
где 
- дискретный оператор дивергенции, который вычисляется по формуле:
.
Разрешим эти уравнения относительно 
, тогда получим:
при :
, (6)
здесь:
3. Присваивание значений на границах:
(7)
3. Алгоритм численного решения
1 шаг. t=0, присвоение начальных значений:
, где 
2 шаг. 
, переход на следующий слой:
a) рассчитывается по формуле (6), при .
b) рассчитываются массивы 
по формулам:
c) рассчитываются 
, 
, 
, 
по формулам (7):
d) Выводим график .
3 шаг. Проверка достижения заданного конечного времени tk
Если 
, то 
, 
, и переход к шагу 2,
иначе выход.
§ 2. Различные обобщения
2.1 Рассмотрим для уравнения (1) другую краевую задачу, а именно, вместо условия 
используется условие: 
. Тогда вместо 
используется другое условие 
.
2.2 Полунеявная схема
Заменим производные 
конечными разностями по тем же формулам, что и выше, но производные 
заменим конечными разностями с использование значений сеточной функции Sn на текущем слое, т.е.:
После подстановки в уравнение (1), получится система уравнений для 
, которую можно решать, например, с помощью продольно-поперечной прогонки [5].
2.3 Неявная схема (метод итераций)
Если все производные заменить конечными разностями на текущем слое, то получим систему «квазилинейных» алгебраических уравнений относительно Sn вида:
, (8)
где 
некоторые известные матрицы, причем функция Хэвисайда применяется к матрице покомпонентно. Для решения уравнения (8) можно использовать следующий метод итераций:
, 
, (9)
Уравнения (9) можно решать, например, продольно-поперечной прогонкой, причем в качестве начального приближения можно рассматривать значения функции на предыдущем слое, т.е. 
. При дискретизации нужно использовать различные балансовые соотношения для обеспечения регуляризации разностной схемы.
2.4 Квазилинейные уравнения эллиптического типа с функцией Хэвисайда
Рассмотрим уравнение:
или, по-другому:
Для этого уравнения поставим граничные условия вида (2).
Данную краевую задачу можно решать с помощью метода установления, тогда все сводится к § 1, а если решать непосредственно, то полунеявным методом или методом итераций.
2.5 Квазилинейные уравнения гиперболического типа с функцией Хэвисайда
Рассмотрим уравнение:
или
Для этого уравнения поставим соответствующие граничные условия.
Данную краевую задачу также можно решать полунеявным методом или методом итераций.
§ 3. Некоторые результаты численного решения
Ниже для сравнения приводятся решения уравнения (1) и уравнений:
, (10)
, (11)
с 
и одинаковыми краевыми условиями:
(12)
В задаче (10), (12) изменение функции происходит только за счет диффузии, в задаче (11), (12) - за счет диффузии и переноса, а в задаче (1), (12) - частично за счет диффузии и частично за счет переноса.
Рис. 1. График решение краевой задачи (1), (2)-(5), (12) при t =0,01.
Сравнение решений уравнений (1), (10), (11) с одинаковыми краевыми условиями показывает, что в случае, когда изменения происходят только за счет диффузии (рис. 1, рис. 2 и рис. 3), то график функции , как и следует, ожидать, более сглажен. Существенное различие решений краевых задач на границе объясняется тем, что именно вдоль границы функция изменяет свой знак, а в средней части области функция имеет положительный знак.
Рис. 2. График разности между решениями краевых задач (1), (2) - (5), (12) и (10), (2) - (5), (12) при t=0,01
Рис. 3. График разности между решениями краевых задач (1), (2) - (5), (12) и (11), (2) -(5), (12) при t =0,01
По итогам проведенного выше исследования можно сделать следующие выводы:
- член уравнения, содержащий функцию Хэвисайда, оказывает существенное влияние на решение, так как при изменении знак искомой функции может меняться, например, механизм переноса. В задачах мембранной электрохимии это означает, например, превалирование в различных частях области исследования уравнения с функцией Хэвисайда процессов диффузии или конвективного переноса [4, 5]. Учет этих особенностей позволяет модифицировать схемы очистки воды в электродиализных аппаратах водоподготовки для парогенераторов АЭС и ТЭС [2];
- численные расчеты, проведенные выше, показывают, что явная схема оказывает автоматическое регуляризующее воздействие на решение на линии разрыва члена с функцией Хэвисайда. Эти же свойства сохраняются для полуявной схемы. Однако при использовании неявной схемы необходимо использовать и специальные балансовые соотношения для разностной схемы.
Рецензенты:
- Атрощенко В. А., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой информатики Кубанского государственного технологического университета, г. Краснодар.
- Красина И. Б., д.т.н., профессор кафедры ТХМиКП Кубанского государственного технологического университета, г. Краснодар.
- Попов Ф. А., д.т.н., профессор, зам. директора по ИТ. Бийский технологический институт (филиал) ГОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова», г. Бийск.