Добавление в линейные уравнения с частными производными членов с функцией Хэвисайда от искомой функции приводит к новому классу квазилинейных уравнений по свойствам близких, но отличающихся от класса линейных уравнений. Краевые задачи для этого класса квазилинейных уравнений в настоящее время не исследованы, нет эффективных численных методов решения. В связи с этим возникает необходимость в исследовании и решении краевых задач для таких уравнений. Данная статья посвящена численному решению краевых задач для квазилинейных уравнений математической физики, содержащих функцию Хэвисайда.
§ 1. Квазилинейные уравнения параболического типа с функцией Хэвисайда
1. Математическая постановка задачи
Рассмотрим уравнение:
(1)
со следующими краевыми условиями:
1) граничные условия:
(2)
2) начальное условие:
(3)
3) условия согласования граничных условий:
(4)
4) условия согласования граничных и начальных условий:
(5)
2. Явный метод численного решения
1. Дискретизация. Область 
разбивается с шагом 
, 
и по t с шагом 
. Для простоты в дальнейшем рассматривается частный случай 
и, кроме того, будем использовать одинаковые обозначения для исходных функции и, соответствующих им, разностных функций.
Вводятся массивы четыре одномерных и три двумерных массива соответствующей размерности: 
, 
:
При фиксированном t вычисляем массив 
по формуле 
. Аналогично вычисляются массивы 
. Через 
будем обозначать значения функции S на прошлом слое по t, а через Sn - на текущем слое по времени.
2. Вычислим связь Sp, Sn из уравнения для 
, используя явную схему.
Для этого переходим от дифференциальных уравнений к разностным, заменяя производные конечными разностями по формулам:
,
,
,
,
.
Подставим эти выражения в уравнение, тогда:
,
,
где 
- дискретный оператор дивергенции, который вычисляется по формуле:
.
Разрешим эти уравнения относительно 
, тогда получим:
при :
, (6)
здесь:
3. Присваивание значений на границах:
(7)
3. Алгоритм численного решения
1 шаг. t=0, присвоение начальных значений:
, где 
2 шаг. 
, переход на следующий слой:
a) рассчитывается по формуле (6), при .
b) рассчитываются массивы 
по формулам:
c) рассчитываются 
, 
, 
, 
по формулам (7):
d) Выводим график .
3 шаг. Проверка достижения заданного конечного времени tk
Если 
, то 
, 
, и переход к шагу 2,
иначе выход.
§ 2. Различные обобщения
2.1 Рассмотрим для уравнения (1) другую краевую задачу, а именно, вместо условия 
используется условие: 
. Тогда вместо 
используется другое условие 
.
2.2 Полунеявная схема
Заменим производные 
конечными разностями по тем же формулам, что и выше, но производные 
заменим конечными разностями с использование значений сеточной функции Sn на текущем слое, т.е.:
После подстановки в уравнение (1), получится система уравнений для 
, которую можно решать, например, с помощью продольно-поперечной прогонки [5].
2.3 Неявная схема (метод итераций)
Если все производные заменить конечными разностями на текущем слое, то получим систему «квазилинейных» алгебраических уравнений относительно Sn вида:
, (8)
где 
некоторые известные матрицы, причем функция Хэвисайда применяется к матрице покомпонентно. Для решения уравнения (8) можно использовать следующий метод итераций:
, 
, (9)
Уравнения (9) можно решать, например, продольно-поперечной прогонкой, причем в качестве начального приближения можно рассматривать значения функции на предыдущем слое, т.е. 
. При дискретизации нужно использовать различные балансовые соотношения для обеспечения регуляризации разностной схемы.
2.4 Квазилинейные уравнения эллиптического типа с функцией Хэвисайда
Рассмотрим уравнение:
или, по-другому:
Для этого уравнения поставим граничные условия вида (2).
Данную краевую задачу можно решать с помощью метода установления, тогда все сводится к § 1, а если решать непосредственно, то полунеявным методом или методом итераций.
2.5 Квазилинейные уравнения гиперболического типа с функцией Хэвисайда
Рассмотрим уравнение:
или
Для этого уравнения поставим соответствующие граничные условия.
Данную краевую задачу также можно решать полунеявным методом или методом итераций.
§ 3. Некоторые результаты численного решения
Ниже для сравнения приводятся решения уравнения (1) и уравнений:
, (10)
, (11)
с 
и одинаковыми краевыми условиями:
(12)
В задаче (10), (12) изменение функции происходит только за счет диффузии, в задаче (11), (12) - за счет диффузии и переноса, а в задаче (1), (12) - частично за счет диффузии и частично за счет переноса.
Рис. 1. График решение краевой задачи (1), (2)-(5), (12) при t =0,01.
Сравнение решений уравнений (1), (10), (11) с одинаковыми краевыми условиями показывает, что в случае, когда изменения происходят только за счет диффузии (рис. 1, рис. 2 и рис. 3), то график функции , как и следует, ожидать, более сглажен. Существенное различие решений краевых задач на границе объясняется тем, что именно вдоль границы функция изменяет свой знак, а в средней части области функция имеет положительный знак.
Рис. 2. График разности между решениями краевых задач (1), (2) - (5), (12) и (10), (2) - (5), (12) при t=0,01
Рис. 3. График разности между решениями краевых задач (1), (2) - (5), (12) и (11), (2) -(5), (12) при t =0,01
По итогам проведенного выше исследования можно сделать следующие выводы:
- член уравнения, содержащий функцию Хэвисайда, оказывает существенное влияние на решение, так как при изменении знак искомой функции может меняться, например, механизм переноса. В задачах мембранной электрохимии это означает, например, превалирование в различных частях области исследования уравнения с функцией Хэвисайда процессов диффузии или конвективного переноса [4, 5]. Учет этих особенностей позволяет модифицировать схемы очистки воды в электродиализных аппаратах водоподготовки для парогенераторов АЭС и ТЭС [2];
- численные расчеты, проведенные выше, показывают, что явная схема оказывает автоматическое регуляризующее воздействие на решение на линии разрыва члена с функцией Хэвисайда. Эти же свойства сохраняются для полуявной схемы. Однако при использовании неявной схемы необходимо использовать и специальные балансовые соотношения для разностной схемы.
Рецензенты:
- Атрощенко В. А., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой информатики Кубанского государственного технологического университета, г. Краснодар.
- Красина И. Б., д.т.н., профессор кафедры ТХМиКП Кубанского государственного технологического университета, г. Краснодар.
- Попов Ф. А., д.т.н., профессор, зам. директора по ИТ. Бийский технологический институт (филиал) ГОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова», г. Бийск.
Библиографическая ссылка
Коваленко А.В., Уртенов М.Х., Чубырь Н.О., Узденова А.М. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ С ФУНКЦИЕЙ ХЭВИСАЙДА // Современные проблемы науки и образования. – 2012. – № 2. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=5919 (дата обращения: 12.10.2024).