Мультичастотная метка радиочастотной идентификации резонансного типа [1], рисунок 1, состоящая из диэлектрической подложки и нанесённой на неё системы плоских концентрических колец - резонаторов, имеет достаточно простую структуру и может быть проанализирована в большинстве соответствующих пакетов САПР, что было неоднократно сделано авторами данной работы. Однако при проектировании и настройке считывающего устройства системы радиочастотной идентификации авторам приходилось сталкиваться с трудностями, связанными непосредственно с физикой процесса считывания.
Рисунок 1. Геометрия системы колец.
Авторами работы было принято решение получить алгоритм аналитического электродинамического анализа системы плоских концентрических колец, который в отличие от чисто численного анализа не только проводится значительно быстрее, но также позволит впоследствии провести электродинамический параметрический синтез данной системы с учётом взаимного влияния кольцевых элементов метки.
2. Теоретические положения.
Приведём основные математические выкладки. В качестве исходных уравнений возьмём связь векторного потенциала и поверхностной плотности электрического тока (1), связь вектора электрического поля и векторного потенциала (2), граничное условие (3) на поверхности металла [2]:
(1)
(2)
(3)
Здесь и далее 
и 
- радиус-векторы точек наблюдения и источника.
Подставив (1) и (2) в (3), получим интегральное уравнение Фредгольма первого рода относительно распределения поверхностной плотности тока 
:
(4)
где 
- волновое число, 
- сопротивление среды, 
- внешнее возбуждающее циркулярно-поляризованное электрическое поле в полярных координатах точки наблюдения на поверхности металла, 
- функция Грина для свободного пространства:
(5)
где 
- функция расстояния между точками наблюдения и источника.
Выразим компоненты вектора 
в координатах точки наблюдения с помощью матрицы поворота 
:
(6)
где 
- разность азимутальных координат.
Опуская аргументы у функции Грина, для краткости вычислим производные в (4):
Тогда система (4) принимает вид:
(7)
где
(8)
Рассмотрим геометрию метки на предмет симметрии. Данная структура симметрична относительно оси z. Поворот метки относительно оси симметрии на произвольный угол 
не должен приводить к изменению выражения (7). Это возможно лишь в том случае, когда азимутальные координаты встречаются только в виде разности Δ. Матрицы 
и 
зависят только от разности Δ, а неизвестная функция 
не может содержать 
, но содержит 
. Для компенсации множителя 
в левой части (7) функция ищется в виде:
Тогда уравнение (7) примет вид:
(9)
Это значит, что (9) решается в два этапа: взятие интеграла по φp:
(10)
куда неизвестная функция 
уже не входит, и решение одномерного уравнения:
Вычтем и добавим в (10) выражение 
:
(11)
где 
- регулярное выражение, тогда первый интеграл можно взять численно в смысле главного значения, а второй с помощью теории вычетов.
Рассмотрим второй интеграл подробнее. Получим явный вид элементов матрицы 
, опуская аргументы функций для краткости:
Приравняем ρq к ρp и сделаем замену переменной интегрирования:
(12)
Тогда:
(13)
где 
, а контур интегрирования γ - единичная окружность, стягивающаяся до контура γ1, рисунок 2.
Рисунок 2. Контуры интегрирования на комплексной плоскости.
Определим степень полюса z=1 в подынтегральном выражении (13). Для этого разложим его по степеням (z-1):
(14)
Видно, что максимальный порядок полюса - 3. Согласно теории вычетов:
(15)
где n≥1 порядок полюса. Подставляя (14) в (15), получаем:
(16)
Вернёмся к выражению (11). Разобьём интервал интегрирования по переменной ρq на сумму интервалов, каждый из которых соответствует одному из колец метки:
где 2l - ширина кольца, Nr - число колец, ρqr - средний радиус кольца с индексом qr. Сделаем замену переменной 
и разложим неизвестную функцию в ряд:
Тогда:
(17)
где
Для индексов qd < 2 во втором интеграле уместно сделать замену:
где 
- некоторая симметричная функция, регулярная на интервале 
.
Представляя значения переменной ρp как множество дискретных значений 
числом, равным Nd Nr, получаем квадратную матрицу коэффициентов 
, что позволяет найти неизвестные коэффициенты 
решая СЛАУ:
(18)
3. Учёт влияния подложки.
В предыдущем разделе рассмотрена задача электродинамического анализа антенны без учёта влияния диэлектрической подложки, являющейся основой для резонансных элементов. Оценку этого влияния удобно провести, вычисляя эффективную диэлектрическую проницаемость структуры 
в приближении компланарной линии (КПЛ), рисунок 3.
Рисунок 3. К определению эффективной диэлектрической проницаемости структуры.
Если мы представим набор из 3-х соседних колец метки в виде регулярной КПЛ на подложке без экрана с обратной стороны, то центральный резонатор будет играть роль проводника линии, а соседние резонаторы - роль экрана в той же плоскости. При этом существует некоторая погрешность вычислений (<1-3%), связанная с тем, что КПЛ рассчитывается в приближении бесконечно широких экранирующих проводников, однако с практической точки зрения точность является вполне достаточной.
Для расчёта в приближении регулярной КПЛ авторами были использованы приближённые аналитические выражения [5].
4. Анализ полученных результатов.
На рисунке 4(а) изображено распределение поверхностной плотности тока поперёк кольцевых элементов при длине волны внешнего поля, равной электрической длине 7-го кольца (от центра метки), и амплитуде поля падающей волны круговой поляризации на поверхности структуры 
. Из графика легко видеть, что амплитуда токов кольца в резонансе значительно больше, чем вне резонанса. На рисунке 4(б) изображено распределение плотностей токов при длине волны внешнего возбуждающего поля, равной среднему электрических длин 7-го и 8-го колец. При переходе через резонанс фаза токов меняется на π.
На рисунке 5 изображены нормированные характеристики отклика метки. Амплитудные диаграммы направленности (ДН) структуры [2] приведены на рисунке 5(а):
, (19)
где 
- максимальное значение поля 
, которому соответствуют координаты 
и 
.
Очевидно, что амплитуда поля на резонансных ДН значительно превосходит амплитуду на средней частоте между резонансами. Отличаются ДН и по форме.
(а)
(б)
Рисунок 4. Графики координатных зависимостей распределения поверхностной плотности тока в поперечном сечении метки: (а) - на резонансной частоте; (б) - на частоте между резонансными.
(а) (б)
(в)
Рисунок 5. Графики отклика мультичастотной метки: (а) - меридиональные ДН;
(б) - азимутальные ДН (метка расположена перпендикулярно плоскости рисунка);
(в) - частотная зависимость амплитуды поля.
Кроме того, в области резонансных частот излучение колец направлено перпендикулярно плоскости метки и имеет осевой характер. Установлено, что в связи с этим поворот плоскости облучения на угол 
от нормали к поверхности метки не приводит к качественному искажению картины резонансных пиков и ДН.
График зависимости амплитуды поля рассеяния RFID-метки от частоты падающей плоской волны круговой поляризации при 
, 
, 
приведён на рисунке 5(в).
По аналогии с рисунком 3 и (19) график представлен в нормированном виде:
, (20)
где 
- максимальное значение поля 
, которому соответствует значение частоты f0.
Результаты, полученные в рамках предлагаемого подхода, подтверждены методом конечных разностей во временной области (англ. Finite Difference Time Domain, FDTD).
Отчётливо видно, что расположение и форма резонансных пиков различаются. Это происходит потому, что при линейном распределении радиусов колец резонансные частоты обратно пропорциональны радиусам, т.е. распределены нелинейно. Каждый пик имеет некоторую частотную полосу, и при сближении радиусов колец полосы могут перекрываться, а соответствующие им пики - частично или полностью «сливаться».
Так как площади колец пропорциональны радиусам, то большие кольца оказывают более существенное влияние на маленькие, чем наоборот. Это приводит не только к изменению амплитуд, но и к искажению формы резонансных пиков.
Выводы по исследованиям
Настоящая работа - это первый шаг к теоретическому решению задачи параметрического синтеза мультичастотной RFID-метки резонансного типа, когда по заданному частотному распределению амплитуды поля рассеяния ищутся значения радиусов, ширин кольцевых резонансных элементов и общая геометрия структуры.
Практически любая электродинамическая задача может быть решена численным электродинамическим моделированием и оптимизацией структуры в многочисленных САПР, предлагаемых на современном рынке. Однако авторы считают первостепенной целью получить именно аналитический алгоритм решения без использования каких-либо численных методов. Именно такой подход, по их мнению, позволит получить результаты с минимальными временными затратами и поможет существенно интенсифицировать процесс разработки и оптимизации новых систем радиочастотной идентификации.
Рецензенты:
- Степанов С.А., д.ф.-м.н., профессор кафедры физики Пензенского государственного университета архитектуры и строительства, г. Пенза.
- Морозов Г.А., д.т.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Казанский национальный исследовательский технический университет им А.Н. Туполева» (КАИ), г. Казань.
- Бичурин М.И., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой «Проектирование и технология радиоаппаратуры», Новгородский государственный университет, Министерство образования и науки РФ, г. Новгород.