Данная работа посвящена математическому моделированию гармонических колебаний круговой цилиндрической оболочки в идеальной жидкости. В основе алгоритма решения этой задачи лежат аналитические и аналитико-численные методы. Аналогичный алгоритм применялся при решении задач гидроупругости в [2].
Пусть идеальная баротропная жидкость занимает безграничное пространство, массовые силы отсутствуют. В жидкости находится упругая круговая цилиндрическая оболочка, совершающая малые изгибные осесимметричные колебания. Длина, радиус и толщина оболочки равны, соответственно, 2a, R и h (h<<a). Будем рассматривать цилиндрическую систему координат r,θ,z, ось Oz которой направлена вдоль оси оболочки. Тогда уравнение движения оболочки, взаимодействующей с жидкостью, будет иметь вид [3]:
(1)
Здесь 
- радиальное перемещение точек срединной поверхности оболочки, 
- жесткость оболочки при изгибе, 
- модуль Юнга, v - коэффициент Пуассона, ρ - плотность оболочки, t - время, 
- гидродинамическое давление. Перемещения, направленные к оси оболочки, считаются положительными. Оболочка совершает гармонические колебания под действием изгибающих моментов M0 и поперечных сил Q0, равномерно распределенных по ее торцам. В этом случае должны выполняться следующие граничные условия [3]:
(2)
где ω - круговая частота колебаний, i - мнимая единица.
Движение жидкости будем считать безвихревым. При условии малости возмущений давления, плотности и скорости жидкости потенциал скоростей 
удовлетворяет волновому уравнению [4]:
(3)
Здесь c- скорость звука в покоящейся жидкости. Давление p связано с функцией φ линеаризованным интегралом Лагранжа-Коши:
(4)
где 
и 
- давление и плотность покоящейся жидкости, соответственно.
На оболочке должны выполняться условия безотрывности ее обтекания жидкостью:
(5)
С удалением от оболочки вносимые ею возмущения должны затухать. Решение задачи должно удовлетворять условию излучения на бесконечности Зоммерфельда [5].
Учитывая граничные условия (2), представим функции w и φ в следующем виде:
(6)
Занимаемую жидкостью область разобьем на две области, которые определяются условиями:
Функцию φ в этих областях будем обозначать через φ с соответствующим индексом 1 или 2. На границе областей 1) и 2) вне оболочки должны выполняться условия непрерывности движения жидкости:
(7)
Тогда из (1)-(5) с учетом (6) вытекают следующие уравнения и граничные условия для функций 
, 
и 
:
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Применение обобщенного интегрального преобразования Фурье к уравнению (11) позволяет получить следующее представление функций и с учетом их ограниченности в области определения:
(13)
Здесь 
, 
- цилиндрические функции мнимого аргумента, 
и 
- произвольные достаточно гладкие функции,
(14)
Контур интегрирования 
на плоскости комплексной переменной 
в (13) выбирается таким образом, чтобы в соответствии с принципом Зоммерфельда полученное решение содержало лишь волны, уходящие на бесконечность.
Для определения функций и рассмотрим следующие граничные условия:
(15)
Функцию 
в (15) временно будем считать заданной и представимой в виде:
Тогда с учетом (7) и (9) формула обратного преобразования, выражающая G через γ, будет иметь вид:
(18)
Отметим, что из условия непрерывности давления в области, занятой жидкостью, следует:
(19)
Внося интегральные представления функций φ1, φ2 и γ(z) в (15), получим с учетом свойств интегрального преобразования Фурье систему двух алгебраических уравнений относительно A(ξ) и B(ξ), из которой легко найти
(18)
С учетом (16), (18) формулы (13), определяющие φ1 и φ2, преобразуются к виду:
(19)
Граничное условие (12) с использованием представлений (19) позволяет получить следующее интегральное уравнение, связывающее функции γ и w*, которые для исходной задачи являются неизвестными:
(20)
Контур интегрирования в (20) в соответствии с принципом Зоммерфельда в левой полуплоскости должен обходить точку ветвления подынтегральной функции 
сверху, в правой полуплоскости точку ветвления 
- снизу [5]. Следовательно, при переходе в (20) к интегрированию по действительной оси нужно выбирать значения k по следующей формуле:
(21)
В полученных уравнениях (8) и (20) введем безразмерные переменные и новые обозначения по формулам:
(22)
Из (8), (10), (20) с учетом (21) получим
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
В формулах (23)-(26) и последующих формулах знаки «штрих» и «крышка» опущены.
Из граничных условий (26) следует, что w(z) должна быть четной функцией. В этом случае функцию w(z) представим в виде разложения в ряд по собственным формам колебаний оболочки со свободными концами в вакууме:
(28)
Коэффициенты Xn(n=0,1,2...) подлежат определению. Функции 
образуют полную ортогональную систему функций. Эти функции определяются формулами [6]:
(29)
где 
- неотрицательные корни уравнения
При больших n числа εn мало отличаются от 
. Функции удовлетворяют условиям
(30)
Из (28) и (30) следует, что граничные условия (24) будут выполняться при любых значениях коэффициентов Xn.
На основании линейности уравнения (25) может быть получено представление функции γ(z), аналогичное (28):
(31)
где функции u(z) и 
(n=0,1,...) определяются из следующих интегральных уравнений с известными правыми частями:
(32)
Интегральные уравнения (32) целесообразно решать методом ортогональных многочленов [7]. При этом функцию u(z) следует искать в виде
(33)
где Tm(z) - многочлены Чебышева первого рода. Аналогичный вид имеют представления функций γn(z). Процедура метода ортогональных многочленов сводит решение каждого из уравнений (32) к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложений вида (33) [7].
Из (26) и (31) будем иметь
(34)
(35)
В (35) Um(z) - многочлены Чебышева второго рода. Аналогичный вид имеют представления функций vn(z).
Внесем разложения в ряды функций w(z) и g(z) в (23). Умножим затем преобразованное уравнение (23) на 
и проинтегрируем по z в пределах от -1 до 1. В результате получим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно Xn:
(36)
- символ Кронекера. Бесконечную систему уравнений (36) целесообразно решать методом редукции.
После определения функции в области, занятой жидкостью, может быть найдена объемная плотность энергии акустических волн E по формуле [8]:
(37)
В (37) берется действительная часть функции
В таблице 1 приведены значения собственных частот ω в несжимаемой жидкости при 
.
Таблица 1 - Зависимость значений собственных частот в несжимаемой жидкости при различных 
,
|
λ |
ω1 |
ω2 |
ω3 |
ω4 |
ω5
|
|
2 |
4,1703 |
8,9306 |
15,229 |
31,652 |
63,952 |
|
3 |
4,2581 |
8,9416 |
15,237 |
31,661 |
63,953 |
|
5 |
4,3157 |
8,9490 |
15,240 |
31,661 |
63,952 |
|
10 |
4,3472 |
8,9510 |
15,240 |
31,661 |
63,953 |
На рис. 1 и 2 представлены графики функции 
для 
Рис. 1. График функции 
при t=0, S=1, ω=10
Рис. 2. График функции при t=0, S=1, ω=30
Как показывают проведенные вычисления, с увеличением частоты увеличивается число смены знаков значений перемещений по длине оболочки.
На рис. 3 и 4 представлены графики зависимости приведенной плотности энергии акустических волн 
от z для значений 
и частоты 
.
Рис. 3. Графики функции E* для частоты ω=10.
Рис. 4. Графики функции E* для частоты ω=15.
Выводы
При реализации данного алгоритма в явном виде учитывается особенность функции γ(z), связанной с давлением жидкости на оболочку. Это, в отличие от построения решения численными методами, позволяет более точно определять характеристики движения оболочки и жидкости (скорость, давление и др.).
В рассмотренном диапазоне изменения параметров при построении решения в разложениях искомых функций в ряды достаточно ограничиться 8-10 членами.
Наличие жидкости существенно уменьшает значения собственных частот колебаний оболочки.
При 
значения первых двух собственных частот увеличиваются с увеличением λ (изменения частот не превышают 5%), значения остальных частот практически не меняются.
С увеличением частоты увеличивается число смены знаков значений перемещений по длине оболочки.
Из рис. 3 и 4 следует, что с удалением от оболочки в радиальном направлении степень затухания энергии относительно мало зависит от значения z. С удалением от оболочки в осевом направлении степень затухания энергии также относительно мало зависит от значения r.
Анализ полученных значений объемной плотности энергии акустических волн позволяет сделать вывод о том, что наименьшее затухание этой энергии с удалением от оболочки будет происходить в некоторой окрестности поверхности r=R. Этот факт следует учитывать при использовании оболочки в качестве виброисточника в жидкости.
Рецензенты:
- Косинцев В.И., д.т.н., профессор, Федеральное агентство по образованию, НИУ РЭТ «Томский политехнический университет», г. Томск.
- Бичурин М.И., ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой «Проектирование и технология радиоаппаратуры», Новгородский государственный университет, Министерство образования и науки РФ, г. Великий Новгород.
- Соболь Б.В., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Информационные технологии», ГОУ ВПО «Донской государственный технический университет», г. Ростов-на-Дону.
- Айзикович С.М., д.ф.-м.н., с.н.с, зав. лабораторией «Функционально-градиентные и композиционные материалы» при научно-образовательном центре «Материалы», ГОУ ВПО «Донской государственный технический университет», г. Ростов-на-Дону.