Сетевое издание

Современные проблемы науки и образования

ISSN 2070-7428

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,006

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Сметанин Б.И. 1 Тарасов А.Е. 1

---

1 Министерство образования и науки РФ, ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», Ростов-на-Дону

Разработан алгоритм решения задачи о взаимодействии упругой круговой цилиндрической оболочки конечной длины с идеальной баротропной сжимаемой жидкостью в линейной постановке. Задача сведена к решению системы дифференциального и интегрального уравнений. Основу алгоритма составляют использование метода интегральных преобразований, а также разложения основных искомых функций в функциональные ряды по собственным формам колебаний оболочки в вакууме и по ортогональным многочленам. Исследовать механические характеристики движения оболочки и жидкости можно лишь после решения этой системы. В результате численной реализации алгоритма для некоторых значений параметров задачи определены радиальные перемещения точек оболочки, значения объемной плотности энергии волн в жидкости, а также собственные частоты колебаний оболочки.

Статья в формате PDF

208 KB

круговая цилиндрическая оболочка

идеальная баротропная жидкость

гармонические колебания

1. Горшков А.Г. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Морозов, А.Т. Пономарев и др. – М. : Физматлит, 2000. – 592 с.

2. Сметанин Б.И. Метод ортогональных многочленов в некоторых задачах гидроупругости // Современные проблемы механики сплошной среды : труды Х Междунар. конф. (Ростов-на-Дону, 5–9 дек. 2006 г.). – 2006. – С. 260–263.

3. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. – М. : Физматгиз, 1963. – 636 с.

4. Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. – Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. – 296 с.

5. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. – М. : Изд-во иностр. лит., 1962. – 280 с.

6. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – М.–Л. : ГИТТЛ, 1952. – 696 с.

7. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. – М. : Физматлит, 1993. – 224 с.

8. Исакович М.А. Общая акустика. – М. : Наука, 1973. – 495 с.

Данная работа посвящена математическому моделированию гармонических колебаний круговой цилиндрической оболочки в идеальной жидкости. В основе алгоритма решения этой задачи лежат аналитические и аналитико-численные методы. Аналогичный алгоритм применялся при решении задач гидроупругости в [2].

Пусть идеальная баротропная жидкость занимает безграничное пространство, массовые силы отсутствуют. В жидкости находится упругая круговая цилиндрическая оболочка, совершающая малые изгибные осесимметричные колебания. Длина, радиус и толщина оболочки равны, соответственно, 2a, R и h (h<<a). Будем рассматривать цилиндрическую систему координат r,θ,z, ось Oz которой направлена вдоль оси оболочки. Тогда уравнение движения оболочки, взаимодействующей с жидкостью, будет иметь вид [3]:

  (1)

Здесь  - радиальное перемещение точек срединной поверхности оболочки,  - жесткость оболочки при изгибе,  - модуль Юнга, v - коэффициент Пуассона, ρ - плотность оболочки, t - время,  - гидродинамическое давление. Перемещения, направленные к оси оболочки, считаются положительными. Оболочка совершает гармонические колебания под действием изгибающих моментов M₀ и поперечных сил Q₀, равномерно распределенных по ее торцам. В этом случае должны выполняться следующие граничные условия [3]:       

  (2)

где ω - круговая частота колебаний, i - мнимая единица.

Движение жидкости будем считать безвихревым. При условии малости возмущений давления, плотности и скорости жидкости потенциал скоростей  удовлетворяет волновому уравнению [4]:

  (3)

Здесь  c- скорость звука в покоящейся жидкости. Давление p связано с функцией φ линеаризованным интегралом Лагранжа-Коши:

 (4) 

где  и  - давление и плотность покоящейся жидкости, соответственно.

На оболочке должны выполняться условия безотрывности ее обтекания жидкостью:

 (5) 

С удалением от оболочки вносимые ею возмущения должны затухать. Решение задачи должно удовлетворять условию излучения на бесконечности Зоммерфельда [5].

Учитывая граничные условия (2), представим функции  w и φ в следующем виде:

  (6)

Занимаемую жидкостью область разобьем на две области, которые определяются условиями:

Функцию φ в этих областях будем обозначать через φ с соответствующим индексом 1 или 2. На границе областей 1) и 2) вне оболочки должны выполняться условия непрерывности движения жидкости:

  (7)

Тогда из (1)-(5) с учетом (6) вытекают следующие уравнения и граничные условия для функций , и :

 (8)

 (9)

 (10)

 (11)

 (12)

Применение обобщенного интегрального преобразования Фурье к уравнению (11) позволяет получить следующее представление функций  и  с учетом их ограниченности в области определения:

 (13)

Здесь ,  - цилиндрические функции мнимого аргумента,  и  - произвольные достаточно гладкие функции,

    (14)

Контур интегрирования  на плоскости комплексной переменной  в (13) выбирается таким образом, чтобы в соответствии с принципом Зоммерфельда полученное решение содержало лишь волны, уходящие на бесконечность.

Для определения функций  и  рассмотрим следующие граничные условия:

 (15) 

Функцию  в (15) временно будем считать заданной и представимой в виде:

Тогда с учетом (7) и (9) формула обратного преобразования, выражающая G через γ, будет иметь вид:

 (18) 

Отметим, что из условия непрерывности давления в области, занятой жидкостью, следует:

 (19)

Внося интегральные представления функций φ₁, φ₂ и γ(z) в (15), получим с учетом свойств интегрального преобразования Фурье систему двух алгебраических уравнений относительно A(ξ) и B(ξ), из которой легко найти

  (18)

С учетом (16), (18) формулы (13), определяющие φ₁ и φ₂, преобразуются к виду:

  (19)

Граничное условие (12) с использованием представлений (19) позволяет получить следующее интегральное уравнение, связывающее функции γ и w_*, которые для исходной задачи являются неизвестными:

  (20)

Контур интегрирования  в (20) в соответствии с принципом Зоммерфельда в левой полуплоскости должен обходить точку ветвления подынтегральной функции  сверху, в правой полуплоскости точку ветвления  - снизу [5]. Следовательно, при переходе в (20) к интегрированию по действительной оси нужно выбирать значения k по следующей формуле:

 (21)

В полученных уравнениях (8) и (20) введем безразмерные переменные и новые обозначения по формулам:

 (22) 

Из (8), (10), (20) с учетом (21) получим

 (23)

(24)

(25)

(26)

(27)

В формулах (23)-(26) и последующих формулах знаки «штрих» и «крышка» опущены.

Из граничных условий (26) следует, что w(z) должна быть четной функцией. В этом случае функцию w(z) представим в виде разложения в ряд по собственным формам колебаний оболочки со свободными концами в вакууме:

 (28) 

Коэффициенты  X_n(n=0,1,2...)  подлежат определению. Функции  образуют полную ортогональную систему функций. Эти функции определяются формулами [6]:

  (29)

где  - неотрицательные корни уравнения

При больших n числа ε_n мало отличаются от . Функции  удовлетворяют условиям

 (30)

Из (28) и (30) следует, что граничные условия (24) будут выполняться при любых значениях коэффициентов X_n.

На основании линейности уравнения (25) может быть получено представление функции γ(z), аналогичное (28):

  (31)

где функции u(z) и  (n=0,1,...) определяются из следующих интегральных уравнений с известными правыми частями:

 (32)

Интегральные уравнения (32) целесообразно решать методом ортогональных многочленов [7]. При этом функцию u(z) следует искать в виде

  (33)

где T_m(z) - многочлены Чебышева первого рода. Аналогичный вид имеют представления функций γ_n(z). Процедура метода ортогональных многочленов сводит решение каждого из уравнений (32) к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложений вида (33) [7].

Из (26) и (31) будем иметь

 (34)

 (35)

В (35) U_m(z) - многочлены Чебышева второго рода. Аналогичный вид имеют представления функций v_n(z).

Внесем разложения в ряды функций w(z) и g(z) в (23). Умножим затем преобразованное уравнение (23) на   и проинтегрируем по z в пределах от -1 до 1. В результате получим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно X_n:

  (36)

- символ Кронекера. Бесконечную систему уравнений (36) целесообразно решать методом редукции.

После определения функции  в области, занятой жидкостью, может быть найдена объемная плотность энергии акустических волн E по формуле [8]:

 (37)

В (37) берется действительная часть функции

В таблице 1 приведены значения собственных частот ω в несжимаемой жидкости при .

Таблица 1 - Зависимость значений собственных частот  в несжимаемой жидкости при различных ,

На рис. 1 и 2 представлены графики функции  для

Рис. 1. График функции  при t=0, S=1, ω=10

Рис. 2. График функции при t=0, S=1, ω=30

Как показывают проведенные вычисления, с увеличением частоты увеличивается число смены знаков значений перемещений по длине оболочки.

На рис. 3 и 4 представлены графики зависимости приведенной плотности энергии акустических волн  от z для значений  и частоты .

Рис. 3. Графики функции E_* для частоты ω=10.

Рис. 4. Графики функции E_* для частоты ω=15.

Выводы

При реализации данного алгоритма в явном виде учитывается особенность функции γ(z), связанной с давлением жидкости на оболочку. Это, в отличие от построения решения численными методами, позволяет более точно определять характеристики движения оболочки и жидкости (скорость, давление и др.).

В рассмотренном диапазоне изменения параметров при построении решения в разложениях искомых функций в ряды достаточно ограничиться 8-10 членами.

Наличие жидкости существенно уменьшает значения собственных частот колебаний оболочки.

При  значения первых двух собственных частот увеличиваются с увеличением λ (изменения частот не превышают 5%), значения остальных частот практически не меняются.

С увеличением частоты увеличивается число смены знаков значений перемещений по длине оболочки.

Из рис. 3 и 4 следует, что с удалением от оболочки в радиальном направлении степень затухания энергии относительно мало зависит от значения z. С удалением от оболочки в осевом направлении степень затухания энергии также относительно мало зависит от значения r.

Анализ полученных значений объемной плотности энергии акустических волн позволяет сделать вывод о том, что наименьшее затухание этой энергии с удалением от оболочки будет происходить в некоторой окрестности поверхности r=R. Этот факт следует учитывать при использовании оболочки в качестве виброисточника в жидкости.

Рецензенты:

• Косинцев В.И., д.т.н., профессор, Федеральное агентство по образованию, НИУ РЭТ «Томский политехнический университет», г. Томск.
•  Бичурин М.И., ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой «Проектирование и технология радиоаппаратуры», Новгородский государственный университет, Министерство образования и науки РФ, г. Великий Новгород.
• Соболь Б.В., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Информационные технологии», ГОУ ВПО «Донской государственный технический университет», г. Ростов-на-Дону.
• Айзикович С.М., д.ф.-м.н., с.н.с, зав. лабораторией «Функционально-градиентные и композиционные материалы» при научно-образовательном центре «Материалы», ГОУ ВПО «Донской государственный технический университет», г. Ростов-на-Дону.

Библиографическая ссылка