Предложен метод оптимальной параметрической коррекции для исследования дифференциальных уравнений и их систем с неустойчивой динамикой. Теоретической основой метода является принцип оптимальности Лагранжа. Формулируется задача оптимального управления с помощью корректирующих функций. Приводятся теоремы об условиях оптимальности. В случае существенно неустойчивой динамики на динамическую систему накладываются фазовые ограничения, а метод коррекции дополняется процедурой штрафования за их нарушение. Метод апробирован на системах Ван дер Поля, Дуффинга, Дуффинга-Холмса, Матье, Лоренца, Ресслера, связанных осцилляторах.
Пусть имеется неустойчивая по Ляпунову динамическая система, описываемая дифференциальными уравнениями:
, , , , , (1.1)
момент времени и числа () заданы, а момент времени может быть задан произвольно. Требуется перевести систему (1.1) в устойчивое состояние. Такой перевод будем называть коррекцией.
Проведем коррекцию системы (1.1) вектор-функцией , , компоненты которой назовём корректирующими функциями. Тогда получаем систему дифференциальных уравнений:
, , , , , , . (1.2)
Принципиально, что коррекция проводится способом или по доступному для этого параметру . При этом разумно требовать, чтобы функции были оптимальными в смысле минимума затрат энергии на коррекцию:
. (1.3)
Пусть в системе (1.2) фазовые ограничения отсутствуют. Составим функцию Гамильтона ( – вектор-функция сопряжённых переменных):
.
Теорема 1. Если – оптимальная корректирующая вектор-функция, – соответствующая траектория, то существуют ненулевые функции , удовлетворяющие уравнениям
, , ,
и выполняются условия стационарности:
, .
При наличии фазовых ограничений вида , , их учёт может производиться методом штрафных функций. А именно, составляется штрафная функция:
,
где – коэффициент штрафа, которая добавляется в гамильтониан:
Введем функционал:
Теорема 2. Для любого решение задачи:
существует, и имеют место равенства:
Теорема 3. Если – оптимальная корректирующая вектор-функция, – соответствующая траектория, то существуют ненулевые функции и значение параметра штрафа , что:
, , ,
и выполняются условия стационарности:
, .
Теорема 3 расширяет алгоритм метода оптимальной параметрической коррекции. Оптимальная траектория находится интегрированием следующих уравнений и подбором :
К задаче (1.2)-(1.3) применима теорема IV (см.: Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука 1966, стр. 485), адаптированную формулировку которой мы приводим ниже. Введем функцию ( – функция Ляпунова):
.
Теорема 4. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.2) можно найти допускающую бесконечно малый низший предел определенно-положительную функцию и вектор-функцию , , удовлетворяющие в области условиям: 1) справедливо равенство ; 2) какова бы ни была функция , справедливо неравенство , то функция разрешает задачу об оптимальной устойчивости системы (1.1). При этом выполняются равенства
.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобразования РФ.