Scientific journal

Modern problems of science and education

ISSN 2070-7428

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,006

Опыт работы показывает, что часто сложный вид уравнения пугает школьников, и многие из них даже не приступают к решению, те же, кто всё-таки приступил к решению, пытаются безуспешно использовать известные методы решения без учета анализа самого уравнения. Ознакомление обучающихся с некоторыми методическими рекомендациями позволит избежать этой проблемы и вооружит их определенными приемами решения нестандартных уравнений.

Цель исследования – разработка методических рекомендаций по обучению учащихся поиску решения нестандартных уравнений.

Материал и методы исследования. Методы исследования носили комплексный характер, среди них выделялись теоретические методы: анализ научно-методических статей и учебных пособий, анализ учебников и задачников по алгебре, алгебре и началам анализа и эмпирические методы: анкетирование школьников и учителей математики, наблюдение за процессом поиска решения нестандартных уравнений, а также педагогический эксперимент.

Проведенный анализ показал, что существует ряд исследований, посвященных обучению решению нестандартных уравнений (Ю.М. Колягин, И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев, Г.В.Дорофеев, Г.К. Муравин, А.Г. Мерзляк, О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев и др.). Однако проблема обучения поиску решения нестандартных уравнений в научно-методической и учебной литературе не достаточно разработана. Многочисленные задачники [1-3] содержат различные примеры решения нестандартных уравнений без подробного их анализа и методических рекомендаций по организации поиска их решения.

Одна из важных рекомендаций методистов [4-6] при решении задач: прежде чем приступить к решению задачи, следует начать с анализа данных, представленных в этой задаче. Не является исключением и процесс поиска решения нестандартных уравнений. Если стандартные уравнения еще допускают поспешных действий, то при решении нестандартных уравнений такая спешка ни к чему хорошему не приведет. Необходимы не только стандартные, но и нестандартные приемы решения уравнений.

Анализ литературы показал, что под нестандартным приемом решения уравнений в методической литературе [7; 8] понимают прием решения уравнений, в котором основную роль при переходе к равносильным уравнениям и неравенствам играют свойства функций (монотонность, четность, нечетность, периодичность и др.). Л.К.Садыкова [9], Л.С. Капкаева [10] выделяют функциональные приемы решения уравнений и неравенств, знакомство с которыми позволит учащимся быть более успешными при решении нестандартных уравнений.

Приведем материалы выступления автора статьи перед учителями и учащимися 10-11 классов на семинаре по подготовке к ЕГЭ, некоторые рекомендации приведены автором в статье [5, с. 214].

· Решить уравнение: + = .

Как видим, в уравнении участвуют три различные функции. Применение известных методов не позволило школьникам найти решение самостоятельно. Действия тех, кто приступил к решению, сводились только к возведению обеих частей уравнения в квадрат, что, конечно, ни к чему хорошему не привело. Наличие показательной функции не позволяет упростить уравнение возведением в квадрат. И только с помощью наводящих вопросов, организованных в ходе поиска решения уравнения и анализа его данных, некоторые обучающиеся начали выделять функции, входящие в него, и обдумывать условия существования решения уравнения, т.е. приступили к анализу области определения.

После нахождения области определения обучающиеся выяснили:

а)существует при х, принадлежащих промежутку [2; 3];

б)– при х из промежутка [π, +∞);

в) – при х из промежутка (–∞, ].

Данные промежутки не пересекаются, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

1. Решить уравнение: = – 1.

Окрыленные успехами после первого уравнения, большинство учащихся начинали свое решение с анализа области допустимых значений. Этот поиск привел к тому, что область допустимых значений состоит всего лишь из одного числа 3. Это свидетельствует о том, что если решение существует, то только при х=3. Простая проверка с помощью подстановки х=3 в уравнение позволяет найти окончательный ответ: х=3 – корень уравнения.

Ответ: х=3.

2. Решить уравнение: 2= + .

Аналогичные действия при решении данного уравнения не дают ожидаемого результата, так как область определения – это все числа, кроме 0. Но часть обучающихся не спешит сразу использовать известные методы и после наводящих вопросов приходит к выводу, что можно анализировать не только область определения, но и область значений функций, входящих в уравнение.

Оценивая левую часть уравнения, ученики приходят к выводу, что 2≤ 2, т.е. левая часть не больше 2. Аналогичный анализ правой части дает неравенство: + ≥ 2, т.е. правая часть не меньше 2. Единственно возможное решение, когда левая часть равна правой части и равна 2. Решим уравнение: + = 2. Корни уравнения: х1 = 1, х2 = –1. Подставив их в левую часть уравнения, убеждаемся, что эти числа не удовлетворяют, т.е. уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Далее ученикам были предложены шесть уравнений:

3. 5x – 2sinxcosx – 3x = 0.

4. – 2xy – = 0.

5. – 7*= 18*.

6. 11y – x – 18= 0.

7. + 6 – 4= 8 – 4x.

8. – 2*– 3x = 0.

Все уравнения являются однородными, но, к сожалению, никто из школьников этого не заметил. Большинство учеников решили первое уравнение, однако не смогли заметить, что остальные пять уравнений также являются однородными. Безуспешные попытки применить различные методы решения привели школьников к мысли, что снова следует начать с анализа уравнения. Однако анализ области определения и области значений не дал желаемого результата. Но часть школьников, уяснивших основную идею – прежде чем начать решение нестандартного уравнения, проанализируй его – пришли к выводу, что следует изучить сами уравнения и функции, входящие в них.

Наводящие вопросы подвели школьников к поиску сходства между предложенными уравнениями. В ходе обсуждения общего вида однородного тригонометрического уравнения и выделения алгоритма его решения ученики пришли к общему виду однородного уравнения второй степени: A(x) + Bf(x)g(x) + C(x) = 0 и способа решения таких уравнений.

После такой предварительной работы школьники смогли решить предложенные уравнения.

Рассмотрим решение уравнения: – 2xy – = 0.

1) При = 0, x = 0, т.е. (0, 0) – решение уравнения.

2) Пусть теперь ≠ 0, разделим обе части уравнения на :

3– 2– = 0, преобразуем уравнение к виду:

3– 2– 1 = 0 и введем замену.

Пусть = t. Тогда 3– 2t – 1 = 0.

= 1 + 3 = 4, тогда t1 = 1, t2 = –, возвращаясь к замене, получим следующие корни уравнения: = 1 или = –.

Ответ: x = y, x = –y.

Рассмотрим уравнение: – 7*– 18*= 0. Преобразуем уравнение к виду:

– 7**– 18*= 0. Разделим обе части уравнения на ≠ 0.

Получим уравнение: – 7– 18 = 0. Преобразуем уравнение к виду:

– 7– 18 = 0.

Пусть t =, t> 0. Получим уравнение: – 7t – 18 = 0.

По т. Виета найдем корни: t1 = 9, t2 = – 2 – не удовлетворяет.

Вернемся к замене = 9, x = –1.

Ответ: х = –1.

В ходе обсуждения с учениками аналогично приходим к общему виду однородного уравнения третьей степени: A(x) + B(x)g(x) + Cf(x)(x) + D(x) = 0.

Решение уравнения 11y – x – 18= 0 уже не вызывает особой трудности, так как учениками теперь усвоен способ их решения:

1) Если х = 0, то у = 0, т.е. (0, 0) – решение уравнения.

2) Пусть x ≠ 0, разделим обе части уравнения на

+ 11– – 18 = 0.

Пусть , тогда получим кубическое уравнение:

8– + 11t – 18 = 0.

Можно угадать один корень: t=1 и разделить многочлен

– + 11t – 18 на одночлен (t – 1).

Получим квадратное уравнение: + 7t + 18 = 0.

D = 49 – 32*18 < 0 – других решений нет

Таким образом, t = 1, следовательно,= 1, т.е. y = x.

Ответ: у = х.

Иногда полезно самим ввести однородность в уравнение.

Рассмотрим уравнение:

10. 4+ 12х= 27(1 + х).

Пусть t = , с помощью данной замены получим однородное уравнение: 4+ 12хt – 27= 0.

Так как х = –1 не является корнем уравнения (при этом значении переменная t обращается в нуль), разделим обе части уравнения на

4+ 12– 27 = 0.

Пусть = n, получим уравнение 4+ 12n – 27 = 0.

= 36 + 108 = 144.

n1 = = , n2 = = .

Вернемся к замене: = или = –. Отсюда с учетом замены

= (1) или

= – (2).

Рассмотрим уравнение (1): = .

Корни данного уравнения:

x1 = 3 – удовлетворяет условию х ≥ 0,

х2 = –– не удовлетворяет.

Аналогично решается уравнение (2): = –.

Корни уравнения:

х1 = – удовлетворяет условию х < 0,

х2 = – не удовлетворяет условию.

Ответ: х1 = 3, х2 = .

Рассмотрим функционально-аналитический метод. Часто, анализируя уравнение, можно угадать его корень или корни. Но этого не достаточно для решения уравнения, важным моментом является и доказательство, что других корней нет.

В этом может помочь теорема о корне или ее следствие.

Теорема о корне.

Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве Х из D(f), число a – любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X, тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.

Следствие из теоремы о корне.

Если функция y=f(x) возрастает, а функция y=g(x) убывает и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один.

Алгоритм решения уравнений функционально-аналитическим методом:

- угадать корень;

- доказать, что других корней нет.

Рассмотрим следующие уравнения:

11. + = .

12. + + = (3 + х).

Решим первое из предложенных уравнений. Можно угадать корень: х = 1. Левая часть уравнения содержит возрастающую функцию (как сумма двух возрастающих функций). Справа находится убывающая функция, поэтому данное уравнение по следствию из теоремы о корне имеет не более одного решения.

Ответ: х = 1.

Решим второе уравнение. Можно угадать корень: х = 0. Докажем, что других корней нет. Рассматривая уравнение в данном виде, ничего нельзя сказать о монотонности функций, входящих в левую и правую части уравнения. Преобразуем уравнение, для этого разделим обе части уравнения на . Получим:

+ + = 3 + х.

Слева убывающая функция, справа – возрастающая.

Тогда по теореме о корне других корней, кроме х = 0, нет.

Ответ: х = 0.

Рассмотрим нестандартные замены. Решим следующее уравнение:

13. (3х + 4)(х + 1) = 6.

Преобразуем уравнение, стараясь выделить общие части в множителях:

*(6х + 8)*(6х + 6) = 6,

(6х + 8)(6х + 6) = 72.

Введем замену, пусть 6х + 7 = у, тогда (у + 1)(у – 1) = 72, тогда – – 72 = 0.

По теореме Виета найдем корни уравнения:

= – 8 – решений нет,

= 9, т.е. у = ± 3.

Вернемся к замене:

6х + 7 = 3 или 6х + 7 = – 3. Найдем корни уравнения:

х = – или х = –

Ответ: х = –, х = – .

Выводы. Резюмируя все вышесказанное, можно сделать вывод. Решая нестандартные уравнения, не следует торопиться, и прежде чем приступить к его решению, полезно сделать подробный анализ самого уравнения: проанализировать вид уравнения, попытаться отнести его к известному типу уравнений; выделить функции, входящие в уравнение; проанализировать область определения (ОДЗ); оценить область значений левой и правой частей уравнения. И только после этого приступать к решению самого уравнения. Ведь довольно часто уже этих мер бывает достаточно, чтобы решить довольно сложные на первый взгляд уравнения.