Опыт работы показывает, что часто сложный вид уравнения пугает школьников, и многие из них даже не приступают к решению, те же, кто всё-таки приступил к решению, пытаются безуспешно использовать известные методы решения без учета анализа самого уравнения. Ознакомление обучающихся с некоторыми методическими рекомендациями позволит избежать этой проблемы и вооружит их определенными приемами решения нестандартных уравнений.
Цель исследования – разработка методических рекомендаций по обучению учащихся поиску решения нестандартных уравнений.
Материал и методы исследования. Методы исследования носили комплексный характер, среди них выделялись теоретические методы: анализ научно-методических статей и учебных пособий, анализ учебников и задачников по алгебре, алгебре и началам анализа и эмпирические методы: анкетирование школьников и учителей математики, наблюдение за процессом поиска решения нестандартных уравнений, а также педагогический эксперимент.
Проведенный анализ показал, что существует ряд исследований, посвященных обучению решению нестандартных уравнений (Ю.М. Колягин, И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев, Г.В.Дорофеев, Г.К. Муравин, А.Г. Мерзляк, О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев и др.). Однако проблема обучения поиску решения нестандартных уравнений в научно-методической и учебной литературе не достаточно разработана. Многочисленные задачники [1-3] содержат различные примеры решения нестандартных уравнений без подробного их анализа и методических рекомендаций по организации поиска их решения.
Одна из важных рекомендаций методистов [4-6] при решении задач: прежде чем приступить к решению задачи, следует начать с анализа данных, представленных в этой задаче. Не является исключением и процесс поиска решения нестандартных уравнений. Если стандартные уравнения еще допускают поспешных действий, то при решении нестандартных уравнений такая спешка ни к чему хорошему не приведет. Необходимы не только стандартные, но и нестандартные приемы решения уравнений.
Анализ литературы показал, что под нестандартным приемом решения уравнений в методической литературе [7; 8] понимают прием решения уравнений, в котором основную роль при переходе к равносильным уравнениям и неравенствам играют свойства функций (монотонность, четность, нечетность, периодичность и др.). Л.К.Садыкова [9], Л.С. Капкаева [10] выделяют функциональные приемы решения уравнений и неравенств, знакомство с которыми позволит учащимся быть более успешными при решении нестандартных уравнений.
Приведем материалы выступления автора статьи перед учителями и учащимися 10-11 классов на семинаре по подготовке к ЕГЭ, некоторые рекомендации приведены автором в статье [5, с. 214].
· Решить уравнение: +
=
.
Как видим, в уравнении участвуют три различные функции. Применение известных методов не позволило школьникам найти решение самостоятельно. Действия тех, кто приступил к решению, сводились только к возведению обеих частей уравнения в квадрат, что, конечно, ни к чему хорошему не привело. Наличие показательной функции не позволяет упростить уравнение возведением в квадрат. И только с помощью наводящих вопросов, организованных в ходе поиска решения уравнения и анализа его данных, некоторые обучающиеся начали выделять функции, входящие в него, и обдумывать условия существования решения уравнения, т.е. приступили к анализу области определения.
После нахождения области определения обучающиеся выяснили:
а)существует при х, принадлежащих промежутку [2; 3];
б)– при х из промежутка [π, +∞);
в) – при х из промежутка (–∞,
].
Данные промежутки не пересекаются, следовательно, данное уравнение решений не имеет.
Ответ: решений нет.
1. Решить уравнение: =
– 1.
Окрыленные успехами после первого уравнения, большинство учащихся начинали свое решение с анализа области допустимых значений. Этот поиск привел к тому, что область допустимых значений состоит всего лишь из одного числа 3. Это свидетельствует о том, что если решение существует, то только при х=3. Простая проверка с помощью подстановки х=3 в уравнение позволяет найти окончательный ответ: х=3 – корень уравнения.
Ответ: х=3.
2. Решить уравнение: 2=
+
.
Аналогичные действия при решении данного уравнения не дают ожидаемого результата, так как область определения – это все числа, кроме 0. Но часть обучающихся не спешит сразу использовать известные методы и после наводящих вопросов приходит к выводу, что можно анализировать не только область определения, но и область значений функций, входящих в уравнение.
Оценивая левую часть уравнения, ученики приходят к выводу, что 2≤ 2, т.е. левая часть не больше 2. Аналогичный анализ правой части дает неравенство:
+
≥ 2, т.е. правая часть не меньше 2. Единственно возможное решение, когда левая часть равна правой части и равна 2. Решим уравнение:
+
= 2. Корни уравнения: х1 = 1, х2 = –1. Подставив их в левую часть уравнения, убеждаемся, что эти числа не удовлетворяют, т.е. уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Далее ученикам были предложены шесть уравнений:
3. 5x – 2sinxcosx – 3
x = 0.
4. – 2xy –
= 0.
5. – 7*
= 18*
.
6. 11
y –
x – 18
= 0.
7. + 6 – 4
= 8 – 4x.
8. – 2*
– 3
x = 0.
Все уравнения являются однородными, но, к сожалению, никто из школьников этого не заметил. Большинство учеников решили первое уравнение, однако не смогли заметить, что остальные пять уравнений также являются однородными. Безуспешные попытки применить различные методы решения привели школьников к мысли, что снова следует начать с анализа уравнения. Однако анализ области определения и области значений не дал желаемого результата. Но часть школьников, уяснивших основную идею – прежде чем начать решение нестандартного уравнения, проанализируй его – пришли к выводу, что следует изучить сами уравнения и функции, входящие в них.
Наводящие вопросы подвели школьников к поиску сходства между предложенными уравнениями. В ходе обсуждения общего вида однородного тригонометрического уравнения и выделения алгоритма его решения ученики пришли к общему виду однородного уравнения второй степени: A(x) + Bf(x)g(x) + C
(x) = 0 и способа решения таких уравнений.
После такой предварительной работы школьники смогли решить предложенные уравнения.
Рассмотрим решение уравнения: – 2xy –
= 0.
1) При = 0, x = 0, т.е. (0, 0) – решение уравнения.
2) Пусть теперь ≠ 0, разделим обе части уравнения на
:
3– 2
–
= 0, преобразуем уравнение к виду:
3– 2
– 1 = 0 и введем замену.
Пусть = t. Тогда 3
– 2t – 1 = 0.
= 1 + 3 = 4, тогда t1 = 1, t2 = –
, возвращаясь к замене, получим следующие корни уравнения:
= 1 или
= –
.
Ответ: x = y, x = –y.
Рассмотрим уравнение: – 7*
– 18*
= 0. Преобразуем уравнение к виду:
– 7*
*
– 18*
= 0. Разделим обе части уравнения на
≠ 0.
Получим уравнение: – 7
– 18 = 0. Преобразуем уравнение к виду:
– 7
– 18 = 0.
Пусть t =, t> 0. Получим уравнение:
– 7t – 18 = 0.
По т. Виета найдем корни: t1 = 9, t2 = – 2 – не удовлетворяет.
Вернемся к замене = 9, x = –1.
Ответ: х = –1.
В ходе обсуждения с учениками аналогично приходим к общему виду однородного уравнения третьей степени: A(x) + B
(x)g(x) + Cf(x)
(x) + D
(x) = 0.
Решение уравнения 11
y –
x – 18
= 0 уже не вызывает особой трудности, так как учениками теперь усвоен способ их решения:
1) Если х = 0, то у = 0, т.е. (0, 0) – решение уравнения.
2) Пусть x ≠ 0, разделим обе части уравнения на
+ 11
–
– 18 = 0.
Пусть , тогда получим кубическое уравнение:
8–
+ 11t – 18 = 0.
Можно угадать один корень: t=1 и разделить многочлен
–
+ 11t – 18 на одночлен (t – 1).
Получим квадратное уравнение: + 7t + 18 = 0.
D = 49 – 32*18 < 0 – других решений нет
Таким образом, t = 1, следовательно,= 1, т.е. y = x.
Ответ: у = х.
Иногда полезно самим ввести однородность в уравнение.
Рассмотрим уравнение:
10. 4+ 12х
= 27(1 + х).
Пусть t = , с помощью данной замены получим однородное уравнение: 4
+ 12хt – 27
= 0.
Так как х = –1 не является корнем уравнения (при этом значении переменная t обращается в нуль), разделим обе части уравнения на
4+ 12
– 27 = 0.
Пусть = n, получим уравнение 4
+ 12n – 27 = 0.
= 36 + 108 = 144.
n1 = =
, n2 =
=
.
Вернемся к замене: =
или
= –
. Отсюда с учетом замены
=
(1) или
= –
(2).
Рассмотрим уравнение (1): =
.
Корни данного уравнения:
x1 = 3 – удовлетворяет условию х ≥ 0,
х2 = –– не удовлетворяет.
Аналогично решается уравнение (2): = –
.
Корни уравнения:
х1 = – удовлетворяет условию х < 0,
х2 = – не удовлетворяет условию.
Ответ: х1 = 3, х2 = .
Рассмотрим функционально-аналитический метод. Часто, анализируя уравнение, можно угадать его корень или корни. Но этого не достаточно для решения уравнения, важным моментом является и доказательство, что других корней нет.
В этом может помочь теорема о корне или ее следствие.
Теорема о корне.
Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) на множестве Х из D(f), число a – любое из значений, принимаемых f(x) на множестве X, тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на множестве X.
Следствие из теоремы о корне.
Если функция y=f(x) возрастает, а функция y=g(x) убывает и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один.
Алгоритм решения уравнений функционально-аналитическим методом:
- угадать корень;
- доказать, что других корней нет.
Рассмотрим следующие уравнения:
11. +
=
.
12. +
+
= (3 + х)
.
Решим первое из предложенных уравнений. Можно угадать корень: х = 1. Левая часть уравнения содержит возрастающую функцию (как сумма двух возрастающих функций). Справа находится убывающая функция, поэтому данное уравнение по следствию из теоремы о корне имеет не более одного решения.
Ответ: х = 1.
Решим второе уравнение. Можно угадать корень: х = 0. Докажем, что других корней нет. Рассматривая уравнение в данном виде, ничего нельзя сказать о монотонности функций, входящих в левую и правую части уравнения. Преобразуем уравнение, для этого разделим обе части уравнения на . Получим:
+
+
= 3 + х.
Слева убывающая функция, справа – возрастающая.
Тогда по теореме о корне других корней, кроме х = 0, нет.
Ответ: х = 0.
Рассмотрим нестандартные замены. Решим следующее уравнение:
13. (3х + 4)(х + 1) = 6.
Преобразуем уравнение, стараясь выделить общие части в множителях:
*
(6х + 8)*
(6х + 6) = 6,
(6х + 8)(6х + 6) = 72.
Введем замену, пусть 6х + 7 = у, тогда (у + 1)(у – 1) = 72, тогда
–
– 72 = 0.
По теореме Виета найдем корни уравнения:
= – 8 – решений нет,
= 9, т.е. у = ± 3.
Вернемся к замене:
6х + 7 = 3 или 6х + 7 = – 3. Найдем корни уравнения:
х = – или х = –
Ответ: х = –, х = –
.
Выводы. Резюмируя все вышесказанное, можно сделать вывод. Решая нестандартные уравнения, не следует торопиться, и прежде чем приступить к его решению, полезно сделать подробный анализ самого уравнения: проанализировать вид уравнения, попытаться отнести его к известному типу уравнений; выделить функции, входящие в уравнение; проанализировать область определения (ОДЗ); оценить область значений левой и правой частей уравнения. И только после этого приступать к решению самого уравнения. Ведь довольно часто уже этих мер бывает достаточно, чтобы решить довольно сложные на первый взгляд уравнения.
Библиографическая ссылка
Воистинова Г.Х. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ НЕСТАНДАРТНЫХ УРАВНЕНИЙ // Современные проблемы науки и образования. – 2021. – № 6. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=31403 (дата обращения: 06.02.2025).