По данным статистики ЕГЭ по математике (профиль) только 4,2% абитуриентов решают правильно задачи с параметрами (задание № 18), эти задания относятся к уровню сложности «высокий» и оцениваются максимально 4 баллами [1]; из бесед следует, что большинство абитуриентов не знакомы с методами решения таких задач. Без качественной школьной подготовки невозможно сформировать у подрастающего поколения фундаментальные знания, что является необходимым условием для успешного изучения в технических вузах высшей математики и других базовых дисциплин.
Проблемой обучения школьников решению задач с параметрами занимались М.И. Башмаков, Ю.М. Важенин, В.А. Далингер, А.Г. Мордкович, Г.И. Саранцев и др.
Практика проведения вступительных экзаменов, ЕГЭ и олимпиад по математике показывает, что задачи с параметрами являются для старшеклассников задачами повышенной сложности, при решении которых необходимо не только знание разнообразных методов и приемов, но и гибкость математического мышления. В школьной программе по математике мало времени уделяется решению такого рода задач, и многим абитуриентам они не по силам.
Цель исследования: формирование у абитуриентов фундаментальных знаний по математике посредством изучения нестандартных методов при решении задач с параметрами из повышенного уровня ЕГЭ (профиль).
Материал и методы исследования. В исследовании принимали участие абитуриенты, обучающиеся на подготовительных курсах, ученики школ 10–11-х классов, учителя-предметники, эксперты ЕГЭ. Был проведен анализ литературы, в которой описывались различные методы решения задач с параметрами [2–4].
Разумная классификация задач с параметрами по методам решений достаточно затруднительна, поскольку каждая из них является в определенной степени нестандартной и творческой. Наиболее часто используемые методы решения задач с параметрами: графический метод, метод оценки, метод симметрии, использование ограниченности и монотонности функций и т.п.
Одним из наиболее эффективных методов решения задач с параметрами служит графический способ. Он является более доступным и понятным для старшеклассников в связи со своей наглядностью. Мы остановимся на других методах решения нестандартных задач, в которых требуются логические суждения и умение анализировать различные ситуации. Решение таких задач вызывает у школьников затруднения как в логическом, так и в техническом плане.
Задача 1. Найдите все значения 
, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
Решение. В первую очередь замечаем, что можно ввести замену по параметру: 
. В силу этого уравнение примет симметрический вид:
(1).
Введем функцию 
. Уравнение (1) примет вид:
. Легко проверить, что 
, т.е. функция четная. Следовательно, если 
является корнем уравнения, то и 
также корень данного уравнения. По условию решение должно быть единственным, т.е. может быть только 
Подставим его в уравнение (1): 
.
Корни этого уравнения 
. При этих значениях 
мы гарантируем, что ноль является корнем, но утверждать, что он единственный, не можем. Поэтому надо подставить найденные значения параметра в уравнение (1) и проверить количество решений при каждом из них.
Если 
, то 
.
Получили три решения, следовательно, 
не подходит.
Если 
, то 
.
Поскольку обе части неотрицательны, то возведем в квадрат: 
,
. (2)
Решим уравнение (2), раскрыв модуль по определению:
Получили единственное решение, следовательно, 
подходит. Тогда находим соответствующие значения параметра 
Ответ:
Отметим важные шаги решения. Во-первых, при решении данной задачи нужно было обратить внимание на единственность решения (в общем случае – нечетность количества корней) и четность уравнения относительно неизвестной. Во-вторых, правильно сделать вывод, что нам дает нахождение значений параметра , если ноль является корнем уравнения. Решения уравнения (2) было найдено аналитическим способом. Можно было показать количество решений и графическим способом.
Задача 2. Найдите значения 
, при каждом из которых решение уравнения
принадлежит отрезку 
.
Решение. Введем функцию 
, определенную на интервале 
. Данная функция является непрерывно возрастающей в своей области определения как сумма двух непрерывно возрастающих функций.
Поэтому множеством значений функции 
на отрезке будет являться промежуток 
. Вычислим значения функции в граничных точках отрезка:
; 
.
Получаем, что множество значений функции на данном промежутке 
.
Исходное уравнение можно записать в виде 
, и по условию оно должно иметь решения на промежутке . Это равносильно, что значение 
попадает в множество значений функции 
на данном отрезке, т.е. 
.
Ответ: 
.
Первое впечатление от этого задания – это «нереальность» его решения в общем случае, поэтому надо использовать один из методов нестандартного решения: графический метод, оценка, монотонность функции и т.п. Конкретно к этому типу задания однозначно применяется метод монотонности функции.
В следующем примере также используется этот же метод, но в техническом плане решение будет другим.
Задача 3. Найдите значения , при каждом из которых уравнение
не имеет корней.
Решение. Преобразуем уравнение: 
или
. (3)
Пусть 
, тогда уравнение (3) примет вид: 
.
Введем вспомогательную функцию: 
. Отметим, что данная функция является возрастающей при 
, т.к. 
.
В силу монотонности функции 
имеем 
.
Значит, 
.
По условию уравнение не имеет корней, т.е. дискриминант 
:
.
Ответ: 
.
Задача 4. Найдите значения , при каждом из которых уравнение
имеет на отрезке 
ровно два решения.
Решение. Отметим, что 
существует, если 
, т.е. 
. С учетом нашего промежутка получаем 
.
Введем замену 
. Получим уравнение:
.
По обратной теореме Виета имеем:
Функция 
является возрастающей на своей области определения, поэтому если 1) 
, то 
; 2) если 
, то 
.
Таким образом, если 
, то получим два решения по переменной 
; если 
, то получим одно решение по переменной .
Для выполнения условия задачи возможны два случая:
1. 
Получаем, что если 
, то 
, т.е. уравнение имеет одно решение, что не удовлетворяет условию задачи.
Если 
, то 
, т.е. уравнение имеет два решение. Следовательно, значения подходит.
2. Если 
, то
.
Таким образом, 
Ответ: 
Замечания по задаче:
1) при решении этой задачи сразу «напрашивались» замена переменной и сведение исходного уравнения к квадратному;
2) нахождение корней по обратной теореме Виета не обязательно, можно было вычислить дискриминант, который получился бы полным квадратом;
3) после введения переменой необходимо прописать множество значений новой величины;
4) требуется проанализировать ситуации получения нужного количества корней уравнения.
Следующая задача по структуре очень похожа: замена переменной и сведение к исследованию корней квадратного уравнения, но проверка ограничений (ОДЗ) будет более тщательной.
Задача 5. Найдите значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно два решения.
Решение. Выпишем ОДЗ: 
Введем замену 
.
Получим уравнение: 
. (4)
Вычислим дискриминант
.
Если 
, то 
.
Если 
, то 
Пусть 
– корень уравнения (4). Найдем соответствующее значение неизвестной .
,
,
.
Если 
, то 
система не имеет решения.
Вычислим значения , при которых 
ОДЗ.
1. Если 
, то 
: 
не имеет решения.
2. Если 
, то 
:
3. Если 
, то 
:
Таким образом, ОДЗ по переменной 
:
(5)
По условию нам нужно ровно два решения по переменной , тогда и по переменной тоже должно быть два различных решения, удовлетворяющих ОДЗ (5).
Выше получили, что при 
:
1. 
: 
.
2. 
: 
.
Получаем 
Ответ: 
.
Отличие трех решений заключается в различных способах проверки ограничений.
Для создания математической модели данной задачи требуются гибкость мышления и уверенное владение математическим аппаратом.
Результаты исследования и их обсуждение. Абитуриенты и школьники обучились новым приемам и методам решения сложных нестандартных задач с параметрами. Полученные навыки являются мощным инструментом формирования фундаментальных знаний, а также повышают уровень развития математической культуры.
Выводы. Абитуриенты, способные решать задачи с параметрами, более успешно справляются и с другими заданиями ЕГЭ, умеют конструировать новые способы решения задач, осознанно выбирают рациональные методы решения, решают задачи несколькими способами, более того – увеличиваются скорость и качество техники решения задач.
Заключение. Задачи с параметрами относятся к заданиям повышенного уровня и располагаются в вариантах профильного ЕГЭ по математике на последних позициях. Оцениваются они более высокими первичными баллами и предназначены для тех абитуриентов, которые претендуют на высокий экзаменационный балл. Изучение нестандартных методов на примере решения задач с параметрами [5–7] не только позволяет расширить область успешно решаемых задач по математике, но и способствует развитию у старшеклассников нестандартного, конструктивного математического мышления, которое необходимо для будущих инженеров.