Нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений составляют широкий класс задач, теория которых интенсивно развивается на протяжении нескольких десятилетий [1-7]. Эти задачи представляют как теоретический интерес, так и обладают прикладной значимостью. Они применяются при моделировании процессов тепло- и массопереноса, описании проблем гидродинамики, решении инженерно-технических задач. В настоящей работе исследована нелокальная краевая задача для смешанного уравнения третьего порядка в характеристической области, которая обобщает результаты работ [8-10] и служит продолжением исследований, начатых в работах [11-13].
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается уравнение
(1)
в конечной области 
, ограниченной отрезками 
, 
и 
прямых 
и 
соответственно, а также характеристиками 
и 
уравнения (1).
Пусть 
, 
; 
, 
- аффиксы точек пересечений характеристик уравнения (1), выходящих из точки 
с характеристиками 
, 
соответственно.
Для уравнения (1) в области исследована следующая
Задача 1. Найти функцию 
, обладающую свойствами:
1. - регулярное решение уравнения (1) в , 
;
2. 
; 
; 
;
;
3. — удовлетворяет граничным условиям:
(2)
(3)
(4)
и условиям сопряжения
(5)
, (6)
где 
— внутренняя нормаль. Относительно коэффициентов уравнения (1) и заданных функций здесь и в дальнейшем предполагается, что
Под регулярным будем понимать решение уравнения (1), производные которого до порядка, входящего в уравнение, существуют и непрерывны в рассматриваемой области при .
Искомую функцию представим в виде:
Пусть
(7)
, (8)
тогда условия согласования примут вид
Воспользуемся тем, что любое регулярное решение уравнения (1) при 
представимо в виде:
,
где 
— регулярное решение уравнения
,
а 
— дважды непрерывно дифференцируемая функция, которую можно подчинить условию 
.
Решение уравнения (1) в 
представимо в виде [1]:
, (9)
где 
.
Подставив (9) в краевое условие (3), получим функциональное соотношение между 
и 
, принесенное из гиперболической части на линию 
в виде:
(10)
Переходя к пределу в уравнении (1) при 
, получим соотношение между 
и 
:
. (11)
На основании (7), (8) условия склеивания (5), (6) примут вид:
, (12)
. (13)
Пусть 
, тогда (10) представимо в виде:
, (14)
где 
, 
,
.
Из (12), (13) и (14) найдем :
, (15)
где 
, 
,
.
Подставляя 
из (15) в (11) и учитывая граничные условия (2), приходим к задаче для определения :
, (16)
(17)
где 
, 
.
2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 1
Пусть 
.
Теорема. Если выполняются условия:
(18)
, (19)
тогда 
.
Доказательство. Рассмотрим интеграл
.
С учетом (14) получим:
.
После несложных преобразований этот интеграл можно переписать в виде:
. (20)
Из условий (18) заключаем, что
, 
,
, 
.
Таким образом
. (*)
С другой стороны, из условий склеивания на основании (11) имеем:
.
После преобразований, получим:
. (21)
Из условия (19), заключаем, что
,
и, следовательно,
. (**)
Сравнивая (*) и (**), заключаем, что 
. Тогда
.
По схеме, предложенной в работе [2], доказывается, что 
в области 
.
3. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 1
Интегрируем (16) три раза от 0 до 
, получим:
Откуда 
Обозначая 
,
, 
,
перепишем последнее выражение в виде:
. (22)
Если обозначить через
,
будем иметь:
. (22’)
Обращая (22’) через резольвенту 
ядра 
, получим:
, (23)
или 
.
Откуда 
,
где 
.
Продифференцировав (23), получим:
или 
,
где 
.
Для определения 
воспользуемся третьим условием (17). Будем иметь:
.
Если обозначить через
,
,
то при условии, что 
, найдем 
:
и, следовательно, для определения неизвестного 
будем иметь следующую формулу:
.
После определения функций 
из формул (15), (12), (13) решение задачи 1 в области находится по формуле (9), а в области 
приходим к следующей задаче: (1), (2), 
, существование решения которой доказывается с помощью преобразований Лапласа.
Рецензенты:
Шхануков-Лафишев М. Х., д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН «Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН», г. Нальчик;
Журтов А.Х., д.ф.-м.н., профессор кафедры ГиВА Кабардино-Балкарского государственного университета, г. Нальчик.