Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

OPTIMAL CONTROL OF ARRIVAL RATE IN THE MULTI-SERVER QUEUEING SYSTEMS WITH ROUTER AND OCCASIONALLY OBSERVED QUEUE LENGTH ON DEVICES

Butov A.A. 1 Galimov L.A. 1
1 Ulyanovsk State University
The article deals with optimal control of arrival rate in the multi-server queueing systems with router and occasionally observed queue length on devices. Two processes of queue length are considered: episodic process of queue length built on observations at stopping time, and the similar model with the added telegraph process. A solution of the problem reduced to finding extreme point of a functional model that depends on average length queue, cost of observations and modeling time. Mathematical model of multi- server queueing systems in term of point processes, construction of algorithm, numerical experiments, resulting graph of system performance are presented in this article. In summary lessons learned about selection of the optimal control of arrival rate for a given occasionally observed queue length on servers.
occasionally observations
optimal control
multi-server queueing system
simulation modeling
          Модели и методы теории массового обслуживания находят широкие применения в задачах организации производства, при построении систем связи и вычислительных систем в военном деле, авиационной отрасли и т.п. Задачи оптимального управления, постоянно возникающие в этих областях, привели к формированию понятия управляемой системы массового обслуживания и постановке задач оптимального управления системами массового обслуживания [5]. Критерием оптимального управления СМО в зависимости от целей исследования могут служить ее различные характеристики: производительность системы, среднее количество требований в системе или среднее время ожидания, вероятности потерь, коэффициент загрузки системы или среднее время простоя приборов и т.п.[5].

Наряду с классическим представлением управляемых систем массового обслуживания [3,4], модели СМО могут быть описаны в терминах точечных процессов [2], при которых поведение СМО описывается некоторым случайным процессом, а наличие управляемых воздействий приводит к изменению его траекторий.

          В настоящей работе рассматривается оптимальное управление  интенсивностью входящего пуассоновского потока заявок многоканальной СМО с роутером при эпизодически наблюдаемой длине очереди на приборах. Рассматриваются две модели СМО: в первой эпизодический процесс длины очереди строится по наблюдениям в моменты остановки ; вторая модель строится аналогично первой, но с введенным процессом телеграфного типа.

Задача нахождения оптимального управления интенсивностью входящего потока  двух моделей СМО решается путем нахождения экстремума  функционала, зависящего от средней длины очереди на приборах, цены наблюдения и времени моделирования. Решение задачи оптимального управления представлено методами имитационного стохастического моделирования, включающими формальное представление модели, её алгоритмизация, численное нахождение экстремума функционалов, сравнение результатов.

Математическая модель

Рассмотрим  систему массового обслуживания с двумя обслуживающими устройствами с входящим пуассоновским потоком и моделью роутера (4.2) (детальное описание см. [1]). Введем процессы ,. Значения данных процессов соответствуют значениям  соответственно, в моменты остановок , , где . Обозначим как неубывающее непрерывное справа семейство - алгебр    . Тогда процесс  для первого обслуживающего устройства принимает вид:

                                                 (1)

Соответственно, для второго обслуживающего устройства процесс записывается как

                                                (2)

Где .

Процессы , характеризуют значения очереди в моменты остановок, т.е. фактическое значение длины очереди на приборе определяется лишь после того, как заявка была распределена в соответствующую очередь в момент времени . Задача заключается в нахождении оптимальной интенсивности наблюдений в модели с двумя обслуживающими устройствами и роутером.

Запишем функционал системы:

                                                           (3)

Умножив правую часть на , получим функцию

                                           (3’)

Где  заданная константа – цена наблюдения, - время моделирования.

Модель (1), (2) с функционалами (3), (3’) можно интерпретировать следующим образом.

Предположим, что на -ом обслуживающем устройстве определение длины очереди происходит только  при отправке роутером на соответствующий  прибор. Тогда при  достигается наилучшая аппроксимация  по наблюдениям ,.[7] Однако, при  второе слагаемое уравнения (3) . В то же время, при  , .

Таким образом, оптимизационная задача заключается в нахождении такого параметра  системы, при котором значение функционала (3) было бы наименьшим.

                                                            (4)

Рассмотрим аналогичную модель СМО за исключением того, что в момент остановки (т.е. прихода заявки на распределительное устройство)  у нас есть возможность определить значение очереди только на одном обслуживающем устройстве.  Введем процесс телеграфного типа , тогда значение процессов ,  будет определено следующим образом:

       (5)

Эксперимент, результаты моделирования

Построим для моделей (2-3), (5) при фиксированном значении график функционала (3) в зависимости от  с шагом .  Для каждой точки , где рассчитаем значение функционала .

График , , , , ,

Заключение

          Целью настоящей работы являлось построение задачи и нахождение оптимального управления интенсивностью  входящего потока многоканальной СМО с роутером при эпизодически наблюдаемой длине очереди на приборах и сравнение экстремумов двух моделей (2-3) и (5). Численное решение функционала (3) для моделей (2-3), (5) продемонстрировано на рисунке. Согласно графику, при заданных параметрах ,  для модели (5), для модели (2-3) ,  при которых значение ,соответственно. Модель (5) эффективнее модели (2-3), т.е. при  выполнено  . Таким образом, представленная имитационная модель позволяет находить оптимальную интенсивность  наблюдений  в задаче распределения заявок роутером в системе из двух обслуживающих подсистем.

 

Рецензенты:

Мищенко С.П., д.ф.-м.н., профессор ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», г. Ульяновск;

Андреев А.С., д.ф.-м.н., профессор ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», г. Ульяновск.