Наряду с классическим представлением управляемых систем массового обслуживания [3,4], модели СМО могут быть описаны в терминах точечных процессов [2], при которых поведение СМО описывается некоторым случайным процессом, а наличие управляемых воздействий приводит к изменению его траекторий.
В настоящей
работе рассматривается оптимальное управление интенсивностью входящего
пуассоновского потока заявок многоканальной СМО с роутером при эпизодически
наблюдаемой длине очереди на приборах. Рассматриваются две модели СМО: в первой
эпизодический процесс длины очереди строится по наблюдениям в моменты остановки
; вторая модель строится аналогично
первой, но с введенным процессом телеграфного типа.
Задача нахождения оптимального управления интенсивностью входящего потока двух моделей СМО решается путем нахождения экстремума функционала, зависящего от средней длины очереди на приборах, цены наблюдения и времени моделирования. Решение задачи оптимального управления представлено методами имитационного стохастического моделирования, включающими формальное представление модели, её алгоритмизация, численное нахождение экстремума функционалов, сравнение результатов.
Математическая модель
Рассмотрим
систему массового обслуживания с двумя обслуживающими устройствами с входящим
пуассоновским потоком и моделью роутера (4.2) (детальное описание см. [1]). Введем
процессы 
,
.
Значения данных процессов соответствуют значениям 
соответственно,
в моменты остановок , 
, где 
. Обозначим 
как
неубывающее непрерывное справа семейство 
-
алгебр 
. Тогда процесс 
для
первого обслуживающего устройства принимает вид:
(1)
Соответственно, для второго обслуживающего устройства процесс записывается как
(2)
Где
.
Процессы
, характеризуют
значения очереди в моменты остановок, т.е. фактическое значение длины очереди
на приборе определяется лишь после того, как заявка была распределена в
соответствующую очередь в момент времени 
.
Задача заключается в нахождении оптимальной интенсивности наблюдений
в модели с двумя обслуживающими
устройствами и роутером.
Запишем функционал системы:
(3)
Умножив правую часть на
, получим функцию 
(3’)
Где 
заданная константа – цена наблюдения, - время моделирования.
Модель (1), (2) с функционалами (3), (3’) можно интерпретировать следующим образом.
Предположим,
что на 
-ом обслуживающем устройстве определение
длины очереди происходит только при отправке роутером на соответствующий прибор. Тогда при 
достигается наилучшая аппроксимация 
по наблюдениям 
,
.[7] Однако, при 
второе
слагаемое уравнения (3) 
. В то же время, при
, 
.
Таким
образом, оптимизационная задача заключается в нахождении такого параметра системы, при котором значение
функционала (3) было бы наименьшим.
(4)
Рассмотрим
аналогичную модель СМО за исключением того, что в момент остановки (т.е.
прихода заявки на распределительное устройство) у нас есть возможность
определить значение очереди только на одном обслуживающем устройстве. Введем
процесс телеграфного типа 
, тогда значение
процессов ,
будет определено следующим образом:
(5)
Эксперимент, результаты моделирования
Построим
для моделей (2-3), (5) при фиксированном значении 
график
функционала (3) в зависимости от с шагом 
. Для каждой точки 
, где 
рассчитаем
значение функционала 
.
График 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Заключение
Целью настоящей работы являлось
построение задачи и нахождение оптимального управления интенсивностью входящего потока многоканальной СМО с
роутером при эпизодически наблюдаемой длине очереди на приборах и сравнение
экстремумов двух моделей (2-3) и (5). Численное решение функционала (3) для
моделей (2-3), (5) продемонстрировано на рисунке. Согласно графику, при
заданных параметрах 
, для
модели (5)
, для модели (2-3) 
, при которых значение 
,
соответственно.
Модель (5) эффективнее модели (2-3), т.е. при 
выполнено
. Таким образом, представленная
имитационная модель позволяет находить оптимальную интенсивность наблюдений в задаче распределения заявок роутером в
системе из двух обслуживающих подсистем.
Рецензенты:
Мищенко С.П., д.ф.-м.н., профессор ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», г. Ульяновск;
Андреев А.С., д.ф.-м.н., профессор ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», г. Ульяновск.