Наряду с классическим представлением управляемых систем массового обслуживания [3,4], модели СМО могут быть описаны в терминах точечных процессов [2], при которых поведение СМО описывается некоторым случайным процессом, а наличие управляемых воздействий приводит к изменению его траекторий.
В настоящей
работе рассматривается оптимальное управление интенсивностью входящего
пуассоновского потока заявок многоканальной СМО с роутером при эпизодически
наблюдаемой длине очереди на приборах. Рассматриваются две модели СМО: в первой
эпизодический процесс длины очереди строится по наблюдениям в моменты остановки
; вторая модель строится аналогично
первой, но с введенным процессом телеграфного типа.
Задача нахождения оптимального управления интенсивностью входящего потока двух моделей СМО решается путем нахождения экстремума функционала, зависящего от средней длины очереди на приборах, цены наблюдения и времени моделирования. Решение задачи оптимального управления представлено методами имитационного стохастического моделирования, включающими формальное представление модели, её алгоритмизация, численное нахождение экстремума функционалов, сравнение результатов.
Математическая модель
Рассмотрим
систему массового обслуживания с двумя обслуживающими устройствами с входящим
пуассоновским потоком и моделью роутера (4.2) (детальное описание см. [1]). Введем
процессы ,
.
Значения данных процессов соответствуют значениям
соответственно,
в моменты остановок
,
, где
. Обозначим
как
неубывающее непрерывное справа семейство
-
алгебр
. Тогда процесс
для
первого обслуживающего устройства принимает вид:
(1)
Соответственно, для второго обслуживающего устройства процесс записывается как
(2)
Где
.
Процессы
,
характеризуют
значения очереди в моменты остановок, т.е. фактическое значение длины очереди
на приборе определяется лишь после того, как заявка была распределена в
соответствующую очередь в момент времени
.
Задача заключается в нахождении оптимальной интенсивности наблюдений
в модели с двумя обслуживающими
устройствами и роутером.
Запишем функционал системы:
(3)
Умножив правую часть на
, получим функцию
(3’)
Где заданная константа – цена наблюдения,
- время моделирования.
Модель (1), (2) с функционалами (3), (3’) можно интерпретировать следующим образом.
Предположим,
что на -ом обслуживающем устройстве определение
длины очереди происходит только при отправке роутером на соответствующий
прибор. Тогда при
достигается наилучшая аппроксимация
по наблюдениям
,
.[7] Однако, при
второе
слагаемое уравнения (3)
. В то же время, при
,
.
Таким
образом, оптимизационная задача заключается в нахождении такого параметра системы, при котором значение
функционала (3) было бы наименьшим.
(4)
Рассмотрим
аналогичную модель СМО за исключением того, что в момент остановки (т.е.
прихода заявки на распределительное устройство) у нас есть возможность
определить значение очереди только на одном обслуживающем устройстве. Введем
процесс телеграфного типа , тогда значение
процессов
,
будет определено следующим образом:
(5)
Эксперимент, результаты моделирования
Построим
для моделей (2-3), (5) при фиксированном значении график
функционала (3) в зависимости от
с шагом
. Для каждой точки
, где
рассчитаем
значение функционала
.
График ,
,
,
,
,
,
Заключение
Целью настоящей работы являлось
построение задачи и нахождение оптимального управления интенсивностью входящего потока многоканальной СМО с
роутером при эпизодически наблюдаемой длине очереди на приборах и сравнение
экстремумов двух моделей (2-3) и (5). Численное решение функционала (3) для
моделей (2-3), (5) продемонстрировано на рисунке. Согласно графику, при
заданных параметрах
,
для
модели (5)
, для модели (2-3)
, при которых значение
,
соответственно.
Модель (5) эффективнее модели (2-3), т.е. при
выполнено
. Таким образом, представленная
имитационная модель позволяет находить оптимальную интенсивность наблюдений
в задаче распределения заявок роутером в
системе из двух обслуживающих подсистем.
Рецензенты:
Мищенко С.П., д.ф.-м.н., профессор ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», г. Ульяновск;
Андреев А.С., д.ф.-м.н., профессор ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», г. Ульяновск.
Библиографическая ссылка
Бутов А.А., Галимов Л.А. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА МНОГОКАНАЛЬНОЙ СМО С РОУТЕРОМ ПРИ ЭПИЗОДИЧЕСКИ НАБЛЮДАЕМОЙ ДЛИНЕ ОЧЕРЕДИ НА ПРИБОРАХ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 2-1. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=20360 (дата обращения: 30.06.2024).