В работе И.Н. Векуа [3, c.69]
в области , звездной относительно начала
координат, получена формула
, (1)
связывающая все регулярные (дважды – непрерывно дифференцируемые) решения метагармонического уравнения
, (2)
где – числовой параметр с гармоническими
функциями
, то есть решениями в D уравнения
Лапласа
.
(3)
В.И. Жегалов [5], К.Б. Сабитов [7] каждому регулярному решению уравнения с комплексным параметром
(4)
сопоставили регулярное
решение уравнения Лаврентьева-Бицадзе
(5)
в области D через интегральное представление
(6)
и указали метод
сведения решения краевых задач для уравнения (4) к соответствующим задачам для
уравнения (5). Там же получена теорема единственности решения задачи Трикоми
для уравнения (4) при .
В исследованиях К.Б.
Сабитова, Н.Г. Шмелёвой [8,9] проверена справедливость интегрального
представления (6) решений уравнения (4) с комплексным параметром и доказана его обратимость, а также
получена теорема единственности решения задачи Трикоми и доказана теорема
существования решения задачи Трикоми при более слабых ограничениях на граничные
данные. Также указаны приложения интегрального представления решений уравнения
(4) при решении задачи Франкля для этого уравнения.
В данной работе нами рассмотрено применение указанного метода к решению обобщенной задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с вещественным параметром (4).
п.1. Рассмотрим уравнение
(4), где в области
, ограниченной кривой Ляпунова Г, лежащей
в полуплоскости y>0, с концами
в точках A=(0,0) и B=(1,0), и при y<0 прямой
(kx+y=0, 0<k<1), и характеристикой
(x-y=1).
Пусть ,
.
Обобщенная задача Трикоми. Найти функцию u(x,y), удовлетворяющую условиям:
;
(7)
,
;
(8)
,
,
(9)
где x=x(s), y=y(s) – параметрические уравнения кривой Г, s – длина дуги отсчитываемая от точки В, l – длина кривой Г;
,
,
(10)
где 0<k<1, ,
и
–
заданные достаточно гладкие функции.
Определение 1. Под регулярным в области решением
уравнения (4) понимается функция u(x,y), удовлетворяющая условиям
(7) и (8) обобщенной задачи Трикоми, и, кроме того, производные
непрерывны в
,
за исключением точек A, B,
где они могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы.
Заметим, что уравнение (6) однозначно обратимо относительно
функции в классе функций
. Действительно, равенство (6) перепишем
в следующем виде:
(11)
где ,
,
.
Тогда, в силу результатов [3,10], решением уравнения (11) является функция вида:
(12)
где – модифицированная
функция Бесселя.
Если функции и
непрерывны в
,
то равенства (11) и (12) являются формулами взаимного обращения [6]. Таким
образом, справедливо следующее:
Теорема 1. Если функции и
являются соответственно регулярными в
решениями уравнений (5) и (4), то
между решениями этих уравнений существует взаимно-однозначное соответствие, которое устанавливается по
формулам (11) и (12).
Теорема 2. Пусть кривая Г – из класса Ляпунова, и на ней отсутствуют точки, при переходе котoрых меняет
знак, а
. Тогда, если в классе регулярных
в
решений уравнения (4)
существует решение обобщенной задачи Трикоми, то оно единственно при всех
, удовлетворяющих неравенству
,
где – единичный вектор внутренней нормали к границе
области,
,
.
Предварительно отметим, что в работе [7] для уравнения типа Чаплыгина
(13)
доказана
Теорема 3 [3]. Пусть: 1)
кривая Г – из класса Ляпунова и
на ней отсутствуют точки, при переходе котoрых меняет
знак, а
; 2)
; 3) функция
такова, что существует решение
уравнения Риккати
(14)
на интервале из
класса
, удовлетворяющее условию
;
и
при y<0.
Тогда, если в классе регулярных в D решений уравнения (13) существует решение обобщенной задачи Трикоми, то оно единственно.
Доказательство теоремы 2.
Умножим уравнение (4) на sgny. Тогда оно примет вид:
. (15)
Теперь покажем, что при некоторых условиях на для уравнения (15) справедлива теорема
3. В случае уравнения (15): K(y)=sgn y,
.
Пусть . Решением
уравнения Риккати (14) на интервале
является
функция
, где постоянная k определяется из условий
,
.
Отсюда вытекает, что функция
,
удовлетворяющая условиям теоремы 3, существует, если
.
При теорему 3 прямо не
удается использовать для получения единственности решения обобщенной задачи
Трикоми для уравнения (4). В этом случае введем функцию
,
которая является решением уравнения
,
(16)
где функция определяется как решение
уравнения Риккати
. (17)
Пусть
Тогда из уравнения (17) получим
,
,
,
где постоянная k находится из условий
.
На плоскости (x,y)
введем новые переменные
,
,
(18)
Тогда уравнение (16) принимает вид
.
(19)
Следовательно, обобщенная задача Трикоми для уравнения (4)
при сведена к обобщенной задаче Трикоми для
уравнения (19) на плоскости
, но с
разрывным условием склеивания на линии изменения типа
:
.
Из доказательства теоремы 3 следует, что для решения однородной обобщенной задачи Трикоми для уравнения (19) справедливо неравенство
(20)
при . Теперь для
справедливости теоремы 3 для уравнения (17) достаточно показать, что
.
Действительно, из (18) и (20) имеем
,
если Последнее
неравенство справедливо, когда
,
Отсюда получим условие относительно параметра . Тем самым теорема 2 доказана.
п.2. Докажем существование
решения задачи (7) – (10). Интегральное представление (6) в классе регулярных
в решений уравнения (4) позволяет свести
решение задачи (7) – (10) к решению обобщенной задачи Трикоми для уравнения (5)
в области
с пока неизвестными краевыми
условиями
на Г и
на АС.
Прежде всего, заметим, что
В самом деле, подставим в интегральный член формулы (6) значение
где , являющееся решением
обобщенной задачи Дарбу для уравнения (5) в области
с
данными:
;
,
.
Если известно, что
,
,
,
функции
и
ограничены
по n при любом фиксированном x.
Получим
(21)
Теперь в равенстве (21), полагая y=-kx с учетом граничного условия на АС, будем иметь
или
Получено интегральное уравнение Вольтерра второго рода. Его решение в силу [6] имеет вид
(22)
где обладает той же
гладкостью, что и
.
Теперь найдем функцию с
помощью аналогичных рассуждений, как и в случае решения задачи Трикоми [6].
Функцию
в области
определим как решение задачи Хольмгрена
для уравнения Лапласа с граничными условиями:
, (23)
,
.
(24)
Известно [12, гл. 4;5], что решение этой задачи с граничными условиями (23) и (24) методом Грина выписывается в явном виде:
, (25)
где – функция Грина задачи Хольмгрена
уравнения Лапласа,
,
– функция гармоническая в области
по координатам точек
и (x,y)
строится аналогично [12, c.184].
Отсюда найдем
соотношение между функциями и
. Полагая в (25) y=0, будем иметь
,
,
(26)
где
,
.
Далее, на основании решения задачи Дарбу для уравнения (5) с
данными ,
,
найдем
второе соотношение между функциями
и
на отрезке АВ, привнесенное из гиперболической части смешанной области
:
(27)
Исключая из (26) и
(27), получаем интегральное уравнение для определения функции
(28)
где
Как известно, [12, с.312] в случае, когда кривая Г
оканчивается сколь угодно малой длины дугами полуокружности, ядро K(t,x) непрерывно дифференцируемо в квадрате
, за исключением точек (0,0) и (1,1), где
оно имеет слабую особенность.
Если ,
и
в малой окрестности точек 0 и l
удовлетворяет условию Гельдера с показателем
из
[1/2,1], то функция
и при
и
имеет
оценку
Теперь на основании отмеченного выше нетрудно получить решение сингулярного интегрального уравнения (28), которое непрерывно дифференцируемо в интервале (0,1) и на его концах может допускать интегрируемые особенности порядка меньше единицы. Такое решение методом Карлемана-Векуа определяется по формуле
Вместо функции M(x), подставляя ее выражение, получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода
(29)
где
(30)
(31)
Ядро H(t,x), как показано [12, c.317], может
иметь особенности в точках (0,0) и (1,1) порядка меньше, чем 1/2. Свободный
член f(x) ограничен вблизи точки
0, может иметь особенность порядка не выше 1/2 в окрестности точки 1 и
принадлежит классу
Теперь покажем, что соответствующее уравнению (29) однородное уравнение
(32)
имеет только нулевое
решение. Действительно, если и
, то в силу теоремы 2 о единственности
решения обобщенной задачи Трикоми для уравнения (4)
в
.
Тогда из формулы обращения (12) следует
в
.
Отсюда вытекает, что
на интервале (0,1), т.е. однородное
уравнение (32) имеет только нулевое решение в классе
. Тогда на основании теории Фредгольма
решение уравнения (27) может быть записано в виде:
(33)
где R(t,x) – резольвента ядра H(t,x).
Далее, подставляя (33) в (25) и меняя пределы интегрирования, получим
(34)
Функцию , заданную формулой (34), подставим в
интегральный член формулы (6) при y>0,
и, снова меняя пределы интегрирования, будем иметь
(35)
Переходя в (35) к
пределу при , получим
(36)
где
Поскольку ядро непрерывно в квадрате
и правая часть q(s) непрерывна на [0,1], то к уравнению
(36) применима теория Фредгольма. В силу теоремы 2 о единственности решения
обобщенной задачи Трикоми для уравнения (4) и формулы обращения (12)
соответствующее однородное интегральное уравнение
имеет только нулевое решение. Тогда на основании альтернативы Фредгольма неоднородное интегральное уравнение (36) имеет единственное решение в классе непрерывных на [0,l] функций.
Таким образом, доказана следующая
Теорема 4. Если и в достаточно малой окрестности точек s=0 и s=l
удовлетворяет условию Гельдера с показателем
,
,
и
кривая Г и
удовлетворяют условиям теоремы
2, то существует единственное решение
обобщенной задачи Трикоми для уравнения(4) в классе его регулярных в
решений, которое определяется формулой (11), где
– решение обобщенной задачи Трикоми для
уравнения (5) с граничными
условиями
на Г,
на АС а
есть решение интегрального уравнения Фредгольма (36),
находится по
формуле (22).
Заключение
Полученные в исследовании результаты имеют теоретический характер и обладают новизной. Основные положения разрабатываемой проблемы представлены в виде докладов [10-13] на научных конференциях. Они могут быть использованы при дальнейшей разработке теории краевых задач для уравнений смешанного типа.
Авторы выражают благодарность Камилю Басыровичу Сабитову, доктору физико-математических наук, профессору, за высказанные предложения и замечания при организации исследования проблемы решения краевых задач.
Рецензенты:Кризский В.Н., д.ф.-м.н., профессор, Стерлитамакский филиал Башкирского Государственного университета, г. Стерлитамак;
Шулаев Н.С., д.т.н., профессор, филиал ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Стерлитамак.