Сетевое издание

Современные проблемы науки и образования

ISSN 2070-7428

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,006

В силу прикладной важности теория уравнений смешанного типа является одним из основных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

В работе И.Н. Векуа [3, c.69] в области , звездной относительно начала координат, получена формула

,                            (1)

связывающая все регулярные (дважды – непрерывно дифференцируемые) решения метагармонического уравнения

,                                                            (2)

где  – числовой параметр с гармоническими функциями , то есть решениями в D уравнения Лапласа

.                                                                (3)

В.И. Жегалов [5], К.Б. Сабитов [7] каждому регулярному решению уравнения с комплексным параметром

                                                    (4)

сопоставили регулярное решение уравнения Лаврентьева-Бицадзе

                                                       (5)

в области D через интегральное представление

                (6)

и указали метод сведения решения краевых задач для уравнения (4) к соответствующим задачам для уравнения (5). Там же получена теорема единственности решения задачи Трикоми для уравнения (4) при .

В исследованиях К.Б. Сабитова, Н.Г. Шмелёвой [8,9] проверена справедливость интегрального представления (6) решений уравнения (4) с комплексным параметром  и доказана его обратимость, а также получена теорема единственности решения задачи Трикоми и доказана теорема существования решения задачи Трикоми при более слабых ограничениях на граничные данные. Также указаны приложения интегрального представления решений уравнения (4) при решении задачи Франкля для этого уравнения.

В данной работе нами рассмотрено применение указанного метода к решению обобщенной задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с вещественным параметром (4).

п.1. Рассмотрим уравнение (4), где  в области , ограниченной кривой Ляпунова Г, лежащей в полуплоскости y>0, с концами в точках A=(0,0) и B=(1,0), и при y<0 прямой  (kx+y=0, 0<k<1), и характеристикой  (x-y=1).

Пусть , .

Обобщенная задача Трикоми. Найти функцию u(x,y), удовлетворяющую условиям:

;                               (7)

,    ;                                                 (8)

,     ,                               (9)

где x=x(s), y=y(s) – параметрические уравнения кривой Г, s – длина дуги отсчитываемая от точки В, l – длина кривой Г;

,    ,                           (10)

где 0<k<1, ,  и – заданные достаточно гладкие функции.

Определение 1. Под регулярным в области  решением уравнения (4)  понимается функция u(x,y), удовлетворяющая условиям (7) и (8) обобщенной задачи Трикоми, и, кроме того, производные  непрерывны в , за исключением точек A, B, где они могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы.

Заметим, что уравнение (6) однозначно обратимо относительно функции  в классе функций . Действительно, равенство (6) перепишем в следующем виде:

                                  (11)

где , , .

Тогда, в силу результатов [3,10], решением уравнения (11) является функция вида:

                                  (12)

где  – модифицированная функция Бесселя.

Если функции  и  непрерывны в , то равенства (11) и (12) являются формулами взаимного обращения [6]. Таким образом, справедливо следующее:

Теорема 1. Если функции  и  являются соответственно регулярными в  решениями уравнений (5) и (4), то между решениями этих уравнений существует взаимно-однозначное соответствие, которое устанавливается по формулам (11) и (12).

Теорема 2. Пусть кривая Г – из класса Ляпунова, и на ней отсутствуют точки, при переходе котoрых меняет знак, а . Тогда, если в классе регулярных в  решений уравнения (4) существует решение обобщенной задачи Трикоми, то оно единственно при всех, удовлетворяющих неравенству

,

где  – единичный вектор внутренней нормали к границе области, , .

Предварительно отметим, что в работе [7] для уравнения типа Чаплыгина

                                                (13)

доказана

Теорема 3 [3]. Пусть: 1) кривая Г – из класса Ляпунова и на ней отсутствуют точки, при переходе котoрых  меняет знак, а ; 2) ; 3) функция  такова, что существует решение  уравнения Риккати

                                                      (14)

на интервале  из класса , удовлетворяющее условию ;  и  при y<0.

Тогда,  если в классе регулярных в D решений уравнения (13) существует решение обобщенной задачи Трикоми, то оно единственно.

Доказательство теоремы 2.

Умножим уравнение (4) на sgny. Тогда оно примет вид:

.   (15)

Теперь покажем, что при некоторых условиях на  для уравнения (15) справедлива теорема 3. В случае уравнения (15): K(y)=sgn y, .

Пусть . Решением уравнения Риккати (14) на интервале  является функция , где постоянная k определяется из условий , . Отсюда вытекает, что функция , удовлетворяющая условиям теоремы 3, существует, если .

При  теорему 3 прямо не удается использовать для получения единственности решения обобщенной задачи Трикоми для уравнения (4). В этом случае введем функцию

,

которая является решением уравнения

,                                          (16)

где функция  определяется как решение уравнения Риккати

.                                             (17)

Пусть

Тогда из уравнения (17) получим

,     ,

  ,

где постоянная k находится из условий

   .

На плоскости (x,y) введем новые переменные  

,      ,                                                   (18)

Тогда уравнение (16) принимает вид

.                                                           (19)

Следовательно, обобщенная задача Трикоми для уравнения (4) при  сведена к обобщенной задаче Трикоми для уравнения (19) на плоскости , но с разрывным условием склеивания на линии изменения типа :  .

Из доказательства теоремы 3 следует, что для решения однородной обобщенной задачи Трикоми для уравнения (19) справедливо неравенство

            (20)

при . Теперь для справедливости теоремы 3 для уравнения (17) достаточно показать, что

    .

Действительно, из (18) и (20) имеем

,

если  Последнее неравенство справедливо, когда ,  

Отсюда получим условие относительно параметра . Тем самым теорема 2 доказана.

п.2. Докажем существование решения  задачи  (7) – (10). Интегральное представление (6) в классе регулярных в  решений уравнения (4) позволяет свести решение задачи (7) – (10) к решению обобщенной задачи Трикоми для уравнения (5) в области  с пока неизвестными краевыми условиями  на Г и  на АС.

Прежде всего, заметим, что

В самом деле, подставим в интегральный член формулы (6) значение

где , являющееся решением обобщенной задачи Дарбу для уравнения (5) в области  с данными:    ; , . Если известно, что , , , функции  и  ограничены по n при любом фиксированном x. Получим

 (21)

Теперь в равенстве (21), полагая y=-kx с учетом граничного условия  на АС, будем иметь

или

Получено интегральное уравнение Вольтерра второго рода. Его решение в силу [6] имеет вид

                          (22)

где  обладает той же гладкостью, что и .

Теперь найдем функцию  с помощью аналогичных рассуждений, как и в случае  решения задачи Трикоми [6]. Функцию  в области  определим как решение задачи Хольмгрена для уравнения Лапласа с граничными условиями:

    ,                             (23)

,  .                                       (24)

Известно [12, гл. 4;5], что решение этой задачи с граничными условиями (23) и (24) методом Грина выписывается в явном виде:

,                  (25)

где  – функция Грина задачи Хольмгрена уравнения Лапласа, ,  – функция гармоническая в области  по координатам точек  и (x,y) строится аналогично [12, c.184].

Отсюда найдем соотношение между функциями  и . Полагая в (25) y=0, будем иметь

,  ,                               (26)

где

,    .

Далее, на основании решения задачи Дарбу для уравнения (5) с данными , ,   найдем второе соотношение между функциями  и  на отрезке АВ, привнесенное из гиперболической части смешанной области :

                          (27)

Исключая  из (26) и (27), получаем интегральное уравнение  для определения функции

                             (28)

где

  

Как известно, [12, с.312] в случае, когда кривая Г оканчивается сколь угодно малой длины дугами полуокружности, ядро K(t,x) непрерывно дифференцируемо в квадрате , за исключением точек (0,0) и (1,1), где оно имеет слабую особенность.

Если ,  и в малой окрестности точек 0 и l удовлетворяет условию Гельдера с показателем  из [1/2,1], то функция  и при  и  имеет оценку

Теперь на основании отмеченного выше нетрудно получить решение сингулярного интегрального уравнения (28), которое непрерывно дифференцируемо в интервале (0,1) и на его концах может допускать интегрируемые особенности порядка меньше единицы. Такое решение методом Карлемана-Векуа определяется по формуле

Вместо функции M(x), подставляя ее выражение, получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода

                                                 (29)

где

                  (30)

                             (31)

Ядро H(t,x), как показано [12, c.317], может иметь особенности в точках (0,0) и (1,1) порядка меньше, чем 1/2. Свободный член f(x) ограничен вблизи точки 0, может иметь особенность порядка не выше 1/2 в окрестности точки 1 и принадлежит классу

Теперь покажем, что соответствующее уравнению (29) однородное уравнение

                                                  (32)

имеет только нулевое решение. Действительно, если  и , то в силу теоремы 2 о единственности решения обобщенной задачи Трикоми для уравнения (4)  в . Тогда из формулы обращения (12) следует  в . Отсюда вытекает, что  на интервале (0,1), т.е. однородное уравнение (32) имеет только нулевое решение в классе . Тогда на основании теории Фредгольма решение уравнения (27) может быть записано в виде:

                                                 (33)

где R(t,x) – резольвента ядра H(t,x).

Далее, подставляя (33) в (25) и меняя пределы интегрирования, получим

                                         (34)

Функцию , заданную формулой (34), подставим в интегральный член формулы (6) при y>0, и, снова меняя пределы интегрирования, будем иметь

           (35)

Переходя в (35) к пределу при , получим

                                         (36)

где

Поскольку ядро  непрерывно в квадрате  и правая часть q(s) непрерывна на [0,1], то к уравнению (36) применима теория Фредгольма. В силу теоремы 2 о единственности решения обобщенной задачи Трикоми для уравнения (4) и формулы обращения (12) соответствующее однородное интегральное уравнение

имеет только нулевое решение. Тогда на основании альтернативы Фредгольма неоднородное интегральное уравнение (36) имеет единственное решение в классе непрерывных на [0,l] функций.

Таким образом, доказана следующая

Теорема 4. Если  и в достаточно малой окрестности точек s=0 и s=l удовлетворяет условию Гельдера с показателем , ,  и кривая Г и  удовлетворяют условиям теоремы 2, то существует единственное решение обобщенной задачи Трикоми для уравнения(4) в классе его регулярных в  решений, которое определяется формулой (11), где   – решение обобщенной задачи Трикоми для уравнения (5) с граничными условиями  на Г,  на АС а  есть решение интегрального уравнения Фредгольма (36), находится по формуле (22).

Заключение

Полученные в исследовании результаты имеют теоретический характер и обладают новизной. Основные положения разрабатываемой проблемы представлены в виде докладов [10-13] на научных конференциях. Они могут быть использованы при дальнейшей разработке теории краевых задач для уравнений смешанного типа.

Авторы выражают благодарность Камилю Басыровичу Сабитову, доктору физико-математических наук, профессору, за высказанные предложения и замечания при организации исследования проблемы решения краевых задач.

Рецензенты:

Кризский В.Н., д.ф.-м.н., профессор, Стерлитамакский филиал Башкирского Государственного университета, г. Стерлитамак;

Шулаев Н.С., д.т.н., профессор, филиал ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Стерлитамак.