Математические модели, возникающие при изучении ряда прикладных задач, приводят к необходимости решения краевых задач для нагруженного дифференциального уравнения третьего рода. Такие примеры можно найти в математической физике, математической биологии и других областях.
В работе изучен численный метод решения краевой задачи третьего рода для нагруженного оператора Штурма-Лиувилля. Для этой задачи установлены условия однозначной разрешимости.
В настоящей работе будем изучать численный метод решения задачи
(1)
(2)
(3)
где – оператор Штурма-Лиувилля,
– фиксированная точка интервала
,
и
– положительные числа. Коэффициент
в уравнении (1) предполагается отличной от нуля хотя бы в одной точке
.
Определим условия однозначной разрешимости задачи (1)-(3).
Теорема 1. Пусть
и для всех
выполнено условие
. (4)
Тогда решение задачи (1)-(3) существует, единственно и принадлежит классу .
Пусть и
– решения задач:
, (5)
. (6)
Отметим, что задачи (5), (6) при выполнении условий теоремы 1 однозначно разрешимы и их решения принадлежат классу . Как установлено в работе [1], необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости задачи (1)-(3) является условие
(7)
при этом её решение представляется через решения задач (5) и (6) в виде:
. (8)
Покажем, что выполнение условия (4) гарантирует (7), что достаточно для однозначной разрешимости задачи (1)-(3). Введем обозначение
(9)
и оценим снизу выражение . С этой целью получим верхнюю оценку наибольшего значения
решения задачи (6) на
. Из принципа максимума [2], [6] для задачи (6) и условий на
следует, что
для всех
. Наибольшее значение функции
не достигается в точках
и
в силу краевых условий.
Пусть – точка максимума
. Из равенства
(10)
в силу следует [3]:
.
Тогда
. (11)
Теорема доказана.
Далее будем считать, что выполнены условия B:
Имеет место
Теорема 2. Если выполнены условия В и (4), то решение задачи (1)-(3) принадлежит классу .
Перейдем к численному решению задачи (1)-(3). На отрезке [0,1] введем равномерную сетку Шаг
сетки выберем меньше половины меньшего из отрезков
Номер
выберем из условия
Пусть сеточная функция – решение конечно-разностной задачи
, (12)
а сеточная функция – решение конечно-разностной задачи
, (13)
где
(14)
Введем обозначения:
(15)
, (16)
и в качестве приближенного решения задачи (1)-(3) на сетке выберем функцию
, которая выражается через решения задач (13) и (14) по формуле
. (17)
Имеет место
Теорема 3. Пусть выполнены условия B и (4). Тогда сеточная функция , определенная по формуле (17), сходится при
к решению
задачи (1)-(3) со вторым порядком точности по шагу
в равномерной метрике.
Получим априорную оценку погрешности в равномерной метрике на сетке
. Пользуясь представлением (8) решения
задачи (1)-(3), получаем:
. (18)
Оценим слагаемые в правой части (18). Как известно [4], конечно-разностные схемы (12) и (13) сходятся соответственно к решениям дифференциальных задач (5) и (6) с порядком , и, следовательно, существуют положительные постоянные
и
, не зависящие от
, что
. (19)
Значения и
аппроксимируются
и
соответственно с точностью
[5], то есть существуют
и
, не зависящие от
, что
. (20)
Для решения задачи (5) известна априорная оценка:
. (21)
Учитывая (10), из априорной оценки
получаем:
. (22)
Получим нижнюю оценку выражения . Заметим, что в силу (14),
. Оценим сверху максимальное значение
сеточной функции
. В силу условий на коэффициенты и правую часть задачи (13), для неё имеет место принцип максимума третьей разностной краевой задачи [4], из которой следует, что
. Если
, где
, то в силу
, из уравнения (13) получаем оценку
. Если
, то из левого краевого условия (13) следует, что
. Если
, то из краевого условия (13) следует, что
. Таким образом, если
, то
.
Тогда
. (23)
Применяя оценки (19)-(23), из (18) получаем:
, (24)
где .
Из априорной оценки (24) следует доказательство теоремы 3.
При , в силу принципа максимума для задачи (6),
, и в силу принципа максимума для задачи (13),
. В этом случае
, и, как следует из (24),
. Аналогичный результат получен в работе [2].
При может наблюдаться неустойчивость решения задачи (1)-(3), а предположенный численный метод может быть непригодным для ее решения с требуемой точностью. Например, если
для всех
, то, как следует из оценки (24),
. В этом случае выход состоит в решении задач (5) и (6) с более высоким порядком точности, чем
, а также в аппроксимации значений
и
соответствующего порядка.
Рецензенты:
Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского, г. Нальчик;
Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор Высокогорного Геофизического Института, г. Нальчик.