Сетевое издание

Современные проблемы науки и образования

ISSN 2070-7428

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,006

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Абрегов М.Х. 1 Нахушева Ф.М. 1 Бечелова А.Р. 1

---

1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»

Работа посвящена численному методу решения краевой задачи третьего рода для нагруженного обыкновенного дифференциального уравнения. В работе также получены необходимые и достаточные условия существования и единственности решения рассматриваемой задачи. Нагруженные дифференциальные уравнения возникают при моделировании различных физических и биологических процессов, в частности, при изучении движения почвенной влаги, задачах управления качеством водных ресурсов, когда в водоем поступает из точечных источников загрязняющее вещество определенной интенсивности, задача теплопроводности. В классе достаточно гладких коэффициентов доказана сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи в равномерной метрике со вторым порядком точности по шагу сетки. Основным методом исследования задачи является принцип максимума. С помощью принципа максимума получены априорные оценки погрешности приближенного решения в равномерной метрике, откуда следует её сходимость к точному решению задачи.

Статья в формате PDF

147 KB

однозначная разрешимость

нагруженное линейное дифференциальное уравнение

численный метод решения

1. Абрегов М.Х., Нахушева Ф.М. Третья краевая задача для нагруженного линейного оператора Штурма-Лиувилля // Известия КБНЦ РАН, Нальчик. –2013. – №5 (55). – С. 7-12.

2. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. – М.: Мир, 1983. – 200 с.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. – М.: Наука, 1982. – 309 с.

4. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 656 с.

5. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках// Докл. АН СССР. – 1986. – Т.291, №3. – C. 534-539.

6. Protter M.A.,Weinberger H.F. Maximum principles in differential equations, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1967.

Математические модели, возникающие при изучении ряда прикладных задач, приводят к необходимости решения краевых задач для нагруженного дифференциального уравнения третьего рода. Такие примеры можно найти в математической физике, математической биологии и других областях.

В работе изучен численный метод решения краевой задачи третьего рода для нагруженного оператора Штурма-Лиувилля. Для этой задачи установлены условия однозначной разрешимости.

В настоящей работе будем изучать численный метод решения задачи

(1)

(2)

(3)

где – оператор Штурма-Лиувилля, – фиксированная точка интервала , и – положительные числа. Коэффициент в уравнении (1) предполагается отличной от нуля хотя бы в одной точке .

Определим условия однозначной разрешимости задачи (1)-(3).

Теорема 1. Пусть

и для всех выполнено условие

. (4)

Тогда решение задачи (1)-(3) существует, единственно и принадлежит классу .

Пусть и – решения задач:

, (5)

. (6)

Отметим, что задачи (5), (6) при выполнении условий теоремы 1 однозначно разрешимы и их решения принадлежат классу . Как установлено в работе [1], необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости задачи (1)-(3) является условие

(7)

при этом её решение представляется через решения задач (5) и (6) в виде:

. (8)

Покажем, что выполнение условия (4) гарантирует (7), что достаточно для однозначной разрешимости задачи (1)-(3). Введем обозначение

(9)

и оценим снизу выражение . С этой целью получим верхнюю оценку наибольшего значения решения задачи (6) на . Из принципа максимума [2], [6] для задачи (6) и условий на следует, что для всех . Наибольшее значение функции не достигается в точках и в силу краевых условий.

Пусть – точка максимума . Из равенства

(10)

в силу следует [3]:

.

Тогда

. (11)

Теорема доказана.

Далее будем считать, что выполнены условия B:

Имеет место

Теорема 2. Если выполнены условия В и (4), то решение задачи (1)-(3) принадлежит классу .

Перейдем к численному решению задачи (1)-(3). На отрезке [0,1] введем равномерную сетку Шаг сетки выберем меньше половины меньшего из отрезков Номер выберем из условия

Пусть сеточная функция – решение конечно-разностной задачи

, (12)

а сеточная функция – решение конечно-разностной задачи

, (13)

где

(14)

Введем обозначения:

(15)

, (16)

и в качестве приближенного решения задачи (1)-(3) на сетке выберем функцию , которая выражается через решения задач (13) и (14) по формуле

. (17)

Имеет место

Теорема 3. Пусть выполнены условия B и (4). Тогда сеточная функция , определенная по формуле (17), сходится при к решению задачи (1)-(3) со вторым порядком точности по шагу в равномерной метрике.

Получим априорную оценку погрешности в равномерной метрике на сетке . Пользуясь представлением (8) решения задачи (1)-(3), получаем:

. (18)

Оценим слагаемые в правой части (18). Как известно [4], конечно-разностные схемы (12) и (13) сходятся соответственно к решениям дифференциальных задач (5) и (6) с порядком , и, следовательно, существуют положительные постоянные и , не зависящие от , что

. (19)

Значения и аппроксимируются и соответственно с точностью [5], то есть существуют и , не зависящие от , что

. (20)

Для решения задачи (5) известна априорная оценка:

. (21)

Учитывая (10), из априорной оценки

получаем:

. (22)

Получим нижнюю оценку выражения . Заметим, что в силу (14), . Оценим сверху максимальное значение сеточной функции . В силу условий на коэффициенты и правую часть задачи (13), для неё имеет место принцип максимума третьей разностной краевой задачи [4], из которой следует, что . Если , где , то в силу , из уравнения (13) получаем оценку . Если , то из левого краевого условия (13) следует, что . Если , то из краевого условия (13) следует, что . Таким образом, если , то

.

Тогда

. (23)

Применяя оценки (19)-(23), из (18) получаем:

, (24)

где .

Из априорной оценки (24) следует доказательство теоремы 3.

При , в силу принципа максимума для задачи (6), , и в силу принципа максимума для задачи (13), . В этом случае , и, как следует из (24), . Аналогичный результат получен в работе [2].

При может наблюдаться неустойчивость решения задачи (1)-(3), а предположенный численный метод может быть непригодным для ее решения с требуемой точностью. Например, если для всех , то, как следует из оценки (24), . В этом случае выход состоит в решении задач (5) и (6) с более высоким порядком точности, чем , а также в аппроксимации значений и соответствующего порядка.

Рецензенты:

Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского, г. Нальчик;

Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор Высокогорного Геофизического Института, г. Нальчик.

Библиографическая ссылка