Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

NUMERICAL METHODS OF SOLVING BOUNDARY VALUE PROBLEMS LOADED SECOND KIND FOR THE STURM-LIOUVILLE

Abregov M.Kh. 1 Bechelova A.R. 1 Nakhusheva F.M. 1
1 Kabardino-Balkar State University
The work is devoted to numerical methods for solving boundary value problem for second-order ordinary differential equation loaded. The paper also obtain necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution of the problem. Loaded differential equations arise in the study of the movement of soil moisture in control of water quality in the reservoir when coming from point sources of pollutant certain intensity. In a class of sufficiently smooth coefficients prove the convergence of the solution of the difference problem to the solution of the differential problem in the uniform metric to the second order of accuracy for the grid step. The main method of studying the problem is the maximum principle. The maximum principle, a priori estimates in the uniform metric implies stability and convergence of schemes
loaded linear differential equation; a unique solution; numerical solution method.
Математические модели, возникающие при изучении ряда прикладных задач, приводят к необходимости решения краевых задач для нагруженного дифференциального уравнения второго рода. Такие примеры  можно найти в математической физике, математической биологии и других областях.

В настоящей работе  будем изучать численный метод решения задачи

                                      (1)

                              (2)

где    - оператор Штурма-Лиувилля, - фиксированная точка интервала (0,1).

            В начале установим  условия однозначной разрешимости задачи (1), (2).

Теорема 1. Пусть        и функция   такова, что для всех

            .                                                          (3)

Тогда решение задачи (1),(2) существует единственно и принадлежит классу .

Пусть - решение задачи

                                                                          (4) 

а  - решение задачи

         .                                          (5)

            В работе  методом функции Грина  показано, что необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости  задачи  (1), (2) является условие  

                                                                                                                         (6)

при этом решение   представляется через функции  и   в виде

                                                            (7)

             Покажем, что условие (3) обеспечивает выполнение (6), т.е. является достаточным условием однозначной разрешимости задачи (1), (2).  В силу непрерывности  и , (3)  означает, что либо      , либо       для всех .  Введём обозначение

                                                         (8)

и получим нижнюю оценку выражения .

Рассмотрим два случая.

1.   Пусть . Получим верхнюю оценку наибольшего значения  функции  на отрезке. Пусть  - точка максимума . Из равенства

                                   (9)

в силу      следует:

.                                                          (10)

            Если наибольшее значение  достигается на одном из концов отрезка, то переходя к пределу  при      в (9), получим оценку (10). Тогда

                   (11)

2. Пусть .  В этом случае получаем нижнюю оценку наименьшего значения  функции  на отрезке :

откуда находим

                                         (12)

Далее будем считать,  что выполнены условия А:

     .         

           

            Теорема 2. Если      удовлетворяют условию А  и выполнено (3),  то решение задачи   (1), (2) принадлежит классу

            Для численного решения задачи (1), (2) на отрезке введём равномерную сетку  .  Шаг сетки   выберем  меньше половины длины меньшего из отрезков . Номер    выберем из  условия  .

            Проекции решений задач (1)-(2), (4), (5) на сетку обозначим  соответственно.

Пусть сеточная функция   - решение конечно-разностной задачи

            ,                                                                   (13)

            

а сеточная функция  - решение конечно-разностной задачи

  ,                                                                    (14)

       

где 

      (15)

Введём обозначения:

                                          (16)

                                             (17)

 и в качестве приближённого решения задачи (1), (2) на сетке  выберем сеточную функцию :

.                               (18)

 

            Теорема 3. Пусть  выполнены условия А и (3).  Тогда сеточная функция ,  определённая по формуле (18), сходится при    к решению  задачи (1), (2) со вторым порядком точности по шагу  в равномерной метрике.

            Доказательство теоремы 3  будет заключаться в получении априорной оценки

,                                                         (19)

где - положительная постоянная, не зависящая от .  Пользуясь представлением (7) решения , получаем:

=

                                                      .                                     (20)

            Оценим слагаемые в правой части (20). Как известно , конечно-разностные схемы (13) и (14) сходятся к решениям, соответственно, дифференциальных задач (4) и (5) с  порядком O(h2). Следовательно, существуют положительные постоянные  и ,  что

,                                                     (21)   

            Значения  и  аппроксимируются   и  с точностью   , следовательно, существуют  положительные числа  и ,  не зависящие от , что

              .                       (22)

            Для задачи (4) известна априорная оценка

                                                         (23)

Из априорной оценки    , с учётом (10),   находим:     

                                                    (24)

            Получим нижнюю оценку выражения  

            Пусть  . В этом случае, в силу (15),    Оценим сверху максимальное значение   функции . Если  где , то в силу  из уравнения (14) получаем оценку .  Если  то из левого краевого условия (14) следует оценка  .  Если  то из правого краевого условия (14) следует оценка  .  Тогда

.

            Пусть  . В этом случае минимальное значение  функции   на сетке  имеет оценку: , где  и, следовательно:   

                                                 

            Таким образом, при условии (3)

                                                     (25)

Применяя оценки  (11), (12), (21)-(25), из (20) получаем:

,       (26)

где

            Из (26) следует утверждение теоремы 3.

При  выражения ,  в силу принципа максимума для задач (5) и (14)  соответственно. В этом случае остаются в силе все изложенные выше результаты, и, как следует из (26),  . Эти результаты аналогичны результатам, полученным в работе .

При  может наблюдаться неустойчивость решения задачи (1), (2),  в частности если  близко к  во всех точках  настолько, что ,   то , то есть предложенный алгоритм может оказаться не пригодным для решения задачи (1), (2) с требуемой точностью. Выход в этом случае может состоять из решения задач (4) и (5) с более высоким порядком точности, а также в аппроксимации соответствующего порядка значений  и .

Рецензенты:  

Шхануков-Лафишев М.Х.,  д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН «Институт информатики и проблем регионального управления   Кабардино-Балкарского научного центра РАН», г. Нальчик;

Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный аграрный университет им. В.М. Кокова», г. Нальчик.