В настоящей работе будем изучать численный метод решения
задачи
(1)
(2)
где - оператор Штурма-Лиувилля,
- фиксированная точка интервала (0,1).
В начале установим условия однозначной разрешимости задачи (1), (2).
Теорема 1. Пусть
,
и функция
такова, что
для всех
. (3)
Тогда решение задачи (1),(2) существует
единственно и принадлежит классу .
Пусть - решение задачи
(4)
а - решение задачи
. (5)
В
работе методом функции Грина
показано, что необходимым и достаточным
условием однозначной разрешимости задачи (1), (2) является условие
(6)
при этом
решение представляется через функции
и
в
виде
(7)
Покажем,
что условие (3) обеспечивает выполнение (6), т.е. является достаточным условием
однозначной разрешимости задачи (1), (2). В силу непрерывности и
, (3)
означает, что либо
, либо
для всех
. Введём
обозначение
(8)
и получим
нижнюю оценку выражения .
Рассмотрим два случая.
1. Пусть . Получим верхнюю
оценку наибольшего значения
функции
на отрезке
.
Пусть
- точка максимума
. Из равенства
(9)
в силу
следует:
. (10)
Если
наибольшее значение достигается на одном из концов
отрезка
, то переходя к пределу при
в (9), получим оценку (10). Тогда
(11)
2. Пусть . В этом случае
получаем нижнюю оценку наименьшего значения
функции
на отрезке
:
откуда находим
(12)
Далее будем считать, что выполнены условия А:
,
.
Теорема 2.
Если
удовлетворяют
условию А и выполнено (3), то решение задачи (1), (2) принадлежит классу
.
Для
численного решения задачи (1), (2) на отрезке введём
равномерную сетку
. Шаг сетки
выберем меньше половины длины меньшего
из отрезков
.
Номер
выберем из
условия
.
Проекции
решений задач (1)-(2), (4), (5) на сетку обозначим
соответственно.
Пусть сеточная функция -
решение конечно-разностной задачи
, (13)
а
сеточная функция - решение конечно-разностной
задачи
,
(14)
где
(15)
Введём обозначения:
(16)
(17)
и в
качестве приближённого решения задачи (1), (2) на сетке выберем
сеточную функцию
:
. (18)
Теорема 3.
Пусть выполнены условия А и (3). Тогда сеточная функция , определённая по формуле (18), сходится
при
к решению
задачи
(1), (2) со вторым порядком точности по шагу
в
равномерной метрике.
Доказательство теоремы 3 будет заключаться в получении априорной оценки
, (19)
где - положительная
постоянная, не зависящая от
. Пользуясь
представлением (7) решения
, получаем:
=
. (20)
Оценим
слагаемые в правой части (20). Как известно ,
конечно-разностные схемы (13) и (14) сходятся к решениям, соответственно, дифференциальных
задач (4) и (5) с порядком O(h2).
Следовательно, существуют положительные постоянные
и
, что
,
(21)
Значения
и
аппроксимируются
и
с
точностью
,
следовательно, существуют положительные числа
и
, не зависящие от
, что
. (22)
Для задачи (4) известна априорная оценка
(23)
Из
априорной оценки
, с
учётом (10), находим:
(24)
Получим
нижнюю оценку выражения
Пусть
. В этом случае, в силу (15),
Оценим сверху максимальное значение
функции
. Если
где
, то в
силу
из
уравнения (14) получаем оценку
. Если
то из левого краевого условия (14) следует
оценка
. Если
то из
правого краевого условия (14) следует оценка
. Тогда
.
Пусть
. В этом случае минимальное значение
функции
на сетке
имеет оценку:
,
где
и, следовательно:
Таким образом, при условии (3)
(25)
Применяя оценки (11), (12), (21)-(25), из (20) получаем:
, (26)
где .
Из (26) следует утверждение теоремы 3.
При выражения
,
в
силу принципа максимума для задач (5) и (14) соответственно. В этом случае
остаются в силе все изложенные выше результаты, и, как следует из (26),
. Эти результаты аналогичны результатам,
полученным в работе
.
При может наблюдаться
неустойчивость решения задачи (1), (2), в частности если
близко к
во
всех точках
настолько, что
,
то
, то есть предложенный алгоритм может
оказаться не пригодным для решения задачи (1), (2) с требуемой точностью. Выход
в этом случае может состоять из решения задач (4) и (5) с более высоким
порядком точности, а также в аппроксимации соответствующего порядка значений
и
.
Шхануков-Лафишев М.Х., д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН «Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН», г. Нальчик;
Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный аграрный университет им. В.М. Кокова», г. Нальчик.