Сетевое издание

Современные проблемы науки и образования

ISSN 2070-7428

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,006

Математические модели, возникающие при изучении ряда прикладных задач, приводят к необходимости решения краевых задач для нагруженного дифференциального уравнения второго рода. Такие примеры  можно найти в математической физике, математической биологии и других областях.

В настоящей работе  будем изучать численный метод решения задачи

                                      (1)

                              (2)

где    - оператор Штурма-Лиувилля, - фиксированная точка интервала (0,1).

            В начале установим  условия однозначной разрешимости задачи (1), (2).

Теорема 1. Пусть   ,       и функция   такова, что для всех

            .                                                          (3)

Тогда решение задачи (1),(2) существует единственно и принадлежит классу .

Пусть - решение задачи

                                                                          (4) 

а  - решение задачи

         .                                          (5)

            В работе  методом функции Грина  показано, что необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости  задачи  (1), (2) является условие  

                                                                                                                         (6)

при этом решение   представляется через функции  и   в виде

                                                            (7)

             Покажем, что условие (3) обеспечивает выполнение (6), т.е. является достаточным условием однозначной разрешимости задачи (1), (2).  В силу непрерывности  и , (3)  означает, что либо      , либо       для всех .  Введём обозначение

                                                         (8)

и получим нижнюю оценку выражения .

Рассмотрим два случая.

1.   Пусть . Получим верхнюю оценку наибольшего значения  функции  на отрезке. Пусть  - точка максимума . Из равенства

                                   (9)

в силу      следует:

.                                                          (10)

            Если наибольшее значение  достигается на одном из концов отрезка, то переходя к пределу  при      в (9), получим оценку (10). Тогда

                   (11)

2. Пусть .  В этом случае получаем нижнюю оценку наименьшего значения  функции  на отрезке :

откуда находим

                                         (12)

Далее будем считать,  что выполнены условия А:

  ,     .         

           

            Теорема 2. Если      удовлетворяют условию А  и выполнено (3),  то решение задачи   (1), (2) принадлежит классу . 

            Для численного решения задачи (1), (2) на отрезке введём равномерную сетку  .  Шаг сетки   выберем  меньше половины длины меньшего из отрезков . Номер    выберем из  условия  .

            Проекции решений задач (1)-(2), (4), (5) на сетку обозначим  соответственно.

Пусть сеточная функция   - решение конечно-разностной задачи

            ,                                                                   (13)

            

а сеточная функция  - решение конечно-разностной задачи

  ,                                                                    (14)

       

где 

      (15)

Введём обозначения:

                                          (16)

                                             (17)

 и в качестве приближённого решения задачи (1), (2) на сетке  выберем сеточную функцию :

.                               (18)

 

            Теорема 3. Пусть  выполнены условия А и (3).  Тогда сеточная функция ,  определённая по формуле (18), сходится при    к решению  задачи (1), (2) со вторым порядком точности по шагу  в равномерной метрике.

            Доказательство теоремы 3  будет заключаться в получении априорной оценки

,                                                         (19)

где - положительная постоянная, не зависящая от .  Пользуясь представлением (7) решения , получаем:

=

                                                      .                                     (20)

            Оценим слагаемые в правой части (20). Как известно , конечно-разностные схемы (13) и (14) сходятся к решениям, соответственно, дифференциальных задач (4) и (5) с  порядком O(h2). Следовательно, существуют положительные постоянные  и ,  что

,                                                     (21)   

            Значения  и  аппроксимируются   и  с точностью   , следовательно, существуют  положительные числа  и ,  не зависящие от , что

              .                       (22)

            Для задачи (4) известна априорная оценка

                                                         (23)

Из априорной оценки    , с учётом (10),   находим:     

                                                    (24)

            Получим нижнюю оценку выражения  

            Пусть  . В этом случае, в силу (15),    Оценим сверху максимальное значение   функции . Если  где , то в силу  из уравнения (14) получаем оценку .  Если  то из левого краевого условия (14) следует оценка  .  Если  то из правого краевого условия (14) следует оценка  .  Тогда

.

            Пусть  . В этом случае минимальное значение  функции   на сетке  имеет оценку: , где  и, следовательно:   

                                                 

            Таким образом, при условии (3)

                                                     (25)

Применяя оценки  (11), (12), (21)-(25), из (20) получаем:

,       (26)

где . 

            Из (26) следует утверждение теоремы 3.

При  выражения ,  в силу принципа максимума для задач (5) и (14)  соответственно. В этом случае остаются в силе все изложенные выше результаты, и, как следует из (26),  . Эти результаты аналогичны результатам, полученным в работе .

При  может наблюдаться неустойчивость решения задачи (1), (2),  в частности если  близко к  во всех точках  настолько, что ,   то , то есть предложенный алгоритм может оказаться не пригодным для решения задачи (1), (2) с требуемой точностью. Выход в этом случае может состоять из решения задач (4) и (5) с более высоким порядком точности, а также в аппроксимации соответствующего порядка значений  и .

Рецензенты:  

Шхануков-Лафишев М.Х.,  д.ф.-м.н., профессор, ФГБУН «Институт информатики и проблем регионального управления   Кабардино-Балкарского научного центра РАН», г. Нальчик;

Ашабоков Б.А., д.ф.-м.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный аграрный университет им. В.М. Кокова», г. Нальчик.