Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

ASIMPTOTIC EQUIVALENCE OF TWO MATHEMATICAL MODELS OF NATURAL CONVECTION IN THE AIR GAP HINDED FACADES OF BUILDINGS

Kosolapov E.A. 1 Fedotov A.B. 1 Mashenkov A.N. 1
1 Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alekseev
In the paper compares the different mathematical models of one-dimensional free convection in the air gap curtain facades. The basis of both models is the Navier – Stokes equations in different versions according to the method of approximation Boussinesq. Variable parameter model is the ratio of the internal and external heat fluxes. Horizontal crosscuts and clearances (rusty) between the facing panels are not considered. Calculated by both methods of distribution of velocity, temperature and pressure inside the air gap, depending on the density of the transverse heat flows are tested for mutual consistency. It is shown that the difference of two solutions for all calculated parameters tends to zero as the aspiration to unity ratio of internal and external heat fluxes. It is proved that the variation of the boundary conditions on the bottom of the convection layer does not violate the equivalence of models. The results can be generalized to a wide range of one-dimensional convection problems.
heat flow
Boussinesq approximation
convection

В работах [2, 3] и [1, 4] рассмотрены две различные математические модели для описания свободной конвекции в воздушном зазоре навесных вентилируемых фасадов (НВФ). Хотя они обе основаны на приближении Буссинеска, варианты которого подробно изложены в [5], тем не менее в основе их лежат разные дифференциальные уравнения. Кроме того, они основаны на различных дополнительных допущениях.

В обеих моделях рассматривается плоский, вертикальный слой воздуха заданной ширины и высоты, соответствующим ширине воздушного зазора и высоте здания. Ось z – направлена вверх, а ось х – горизонтально поперек зазора (рис.1).

Плотности тепловых потоков через стенки зазора q1 и q2 (рис.1), а отношение их проекций на ось х: .

Рис. 1. К постановке задачи для плоского слоя.

В обеих моделях предполагается, что скорость имеет только вертикальную составляющую и зависит только от координаты х.

Избыточная температура Т, по сравнению с температурой внизу зазора, в первой модели [2, 3] зависит только от х, а во второй модели [1, 4] от х и z.

Избыточное давление р, по сравнению с барометрическим атмосферным, в обеих моделях зависит только от z.

При обезразмеривании основных величин так, как принято в работе [3], распределение скорости по первой модели имеет вид [1, 2]:

, (1)

а распределение температуры:

. (2)

Распределение скорости по второй модели [1, 4] имеет следующий вид [4]:

, (3)

где коэффициенты С1 и С2 определяются по формулам [4]:

, (4)

Трансцендентное уравнение для определения k, входящего в формулы (3) – (4), имеет вид [4]:

, (5)

где R – число Релея. Распределение температуры для второй модели имеет вид [4]:

, (6)

Сравнивая формулу (1) с формулой (3) и формулу (2) с (6) трудно предположить, что в некотором предельном случае они совпадут.

Отметим также разницу в дополнительных допущениях обеих моделей. В первой модели предполагается, что расход поперек воздушного зазора равен нулю [3]:

, (7)

Условие (7) представляется естественным для свободной конвекции в зазоре с горизонтальными рассечками.

Во второй модели требования (7) – нет. Дополнительными допущениями этой модели является отсутствие прогрева слоя воздуха в самом низу зазора [1, 4]:

, (8)

Основанием для гипотезы об эквивалентности этих двух моделей при ε→1 могут являться графики скорости и температуры, приведенные в работе [4] для ε = 0,8. Они довольно близки к графикам функций (1) и (2) – соответственно. Для того чтобы найти выражения для скорости и температуры при ε = 1, сначала необходимо найти k, соответствующее значению ε = 1.

Для данного значения ε = 1 формулы для коэффициентов С1 и С2 (4), после преобразований примут вид:

(9)

Тогда уравнение для определения k (5), после преобразований, можно записать в виде:

. (10)

Единственным решением этого уравнения в области действительных чисел является k = 0. Это же подтверждается графиком левой части уравнения (10), приведенным на рис. 2. Таким образом, при ε = 1 k = 0 для любых чисел Релея R.

При k = 0 невозможно непосредственно получить значения С1 и С2, а также вид функций скорости и температуры, т. к. выражения (9), (3), (6) приводят к неопределенности типа . Тем не менее имеется возможность рассчитать скорость при малых k по формуле (3), где координаты С1 и С2 находятся по формулам (9).

Рис. 2. График левой части уравнения (10)

На рис. 3 приведены графики распределения скорости. Из этого рисунка видно, что при k = 0,01 графики скорости, построенные по зависимостям (1) и (3), совпадают с точностью до графического разрешения. Это еще раз подчёркивает правомерность выдвинутой гипотезы о

совпадении математической модели [1, 4] с моделью [2, 3] при ε→1.

После преобразований формулы (3) при ε = 1 получим следующие выражение для скорости:

, (11)

Рис. 3. Распределение скорости поперек воздушного зазора, рассчитанные по формулам (1) и (3) при ε = 1 и различных k.

Входящие в формулу (11) выражения необходимо разложить в ряд Тейлора для малых k, а

значит и kх, т. к. 0 ≤ х ≤ 1. Разложение тригонометрических и гиперболических функций по малому параметру k дает:

, (12)

Получим разложение в ряд Тейлора для комбинаций этих функций, которые входят в выражение для v(х) (11) и войдут для Т(х) (6).

, (13)

где,

Если в (13) обозначить n = 2l; l = 0, 1, 2, 3…; то формула (13) примет вид:

, (14)

Аналогично, получим следующие выражения:

, (15)

, (16)

Для произведений гиперболических и тригонометрических функций, с учетом (12), получим следующие выражения:

, (17)

Используя формулы (12), (16), (17), выражение для скорости (11) примет вид:

, (18)

Окончательно, из (18) получаем:

, (19)

Выражение (19) полностью совпадает с выражением (1).

Далее рассмотрим выражение для температуры (6), которое при ε = 1 примет вид:

, (20)

С учетом разложений гиперболических и тригонометрических функций в ряд Тейлора (12) – (17), можно записать

, (21)

Или окончательно, при k→0:

, (22)

Видно, что формула (22) полностью совпадает с формулой (2).

Таким образом, распределение скорости и температуры (3) и (6) переходят в распределение (1) и (2) при ε = 1. Отметим, что ε = 1 соответствует случаю, когда тепловой поток через облицовочный слой НВФ равен по величине и направлению тепловому потоку через конструктивный слой. В этом случае, в частности, получаем линейное распределение температуры поперек воздушного зазора, а распределение скорости соответствует нулевому расходу, т.е. в зазоре должны быть как восходящие, так и нисходящие потоки воздуха.

В заключение заметим, что плотность теплового потока q1 определяется температурами атмосферы и внутри зазора, термическим сопротивлением облицовки и радиационным тепловым потоком. Плотность теплового потока q2 определяется температурами внутри зазора и здания, а также термическим сопротивлением конструктивного слоя.

Математическая модель, принятая в работах [1, 4], является более общей. В частном случае (q1 = q2), она переходит в математическую модель работ [2, 3].

Рецензенты:

Зуев В.А., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Кораблестроение и авиационная техника» НГТУ им. Р.Е. Алексеева, г. Нижний Новгород;

Грамузов Е.М., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Аэро-гидродинамика, прочность машин и сопротивление материалов» НГТУ им. Р.Е. Алексеева, г. Нижний Новгород.