Сетевое издание
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ В ВОЗДУШНОМ ЗАЗОРЕ НАВЕСНЫХ ФАСАДОВ ЗДАНИЙ

Косолапов Е.А. 1 Федотов А.Б. 1 Машенков А.Н. 1
1 ФГБ ОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева»
В работе сравниваются различные математические модели одномерной свободной конвекции в воздушном зазоре навесных фасадов зданий. Основой обеих моделей является уравнение Навье – Стокса в различных вариантах приближения по методу Буссинеска. Вариативным параметром для моделей является отношение внешнего и внутреннего тепловых потоков. Горизонтальные рассечки и воздушные зазоры (русты) между облицовочными панелями не учитываются. Рассчитанные по обеим методикам распределения скорости, температуры и давления внутри воздушного зазора в зависимости от плотности поперечных тепловых потоков тестируются на взаимное соответствие. Показано, что разность двух решений для всех рассчитанных параметров стремится к нулю при устремлении к единице отношения внешнего и внутреннего тепловых потоков. Доказано, что варьирование граничных условий на нижнем торце конвекционного слоя не нарушает эквивалентность моделей. Полученные результаты могут быть обобщены для широкого круга одномерных конвекционных задач.
тепловые потоки
приближение Буссинеска
одномерная конвекция
1. Александровский С.В. Теплообмен в вентилируемой воздушной прослойке наружного ограждения здания /С.В. Александровский, В.Б. Максимов // Теплоизоляция зданий в.: сборник трудов института. – М.: НИИСФ Госстроя СССР, 1986. – С.110–119.
2. Гершуни Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий. – М.: Наука, 1972. – 184с.
3. Косолапов Е.А. Аналитическое решение уравнений Буссинеска для свободной конвекции в воздушном зазоре навесных фасадов зданий / Е.А. Косолапов, А.Н. Машенков, Е.В. Чебурканова // Энергетические установки и теплотехника. – Н.Новгород, 2008. – С.115-124. – (Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева Т. 69).
4. Машенков А.Н. Свободная конвекция в воздушном зазоре навесных фасадов зданий с разными тепловыми потоками через границы / А.Н. Машенков, Е.А. Косолапов, Е.В. Чебурканова // Жилищное строительство. – 2009. – Т.9. – С.27-31.
5. Полежаев В.И. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье – Стокса / В.И. Полежаев, А.В. Буне, Н.А. Вырезуб и др. – М.: Наука, 1987. – 272 с.

В работах [2, 3] и [1, 4] рассмотрены две различные математические модели для описания свободной конвекции в воздушном зазоре навесных вентилируемых фасадов (НВФ). Хотя они обе основаны на приближении Буссинеска, варианты которого подробно изложены в [5], тем не менее в основе их лежат разные дифференциальные уравнения. Кроме того, они основаны на различных дополнительных допущениях.

В обеих моделях рассматривается плоский, вертикальный слой воздуха заданной ширины и высоты, соответствующим ширине воздушного зазора и высоте здания. Ось z – направлена вверх, а ось х – горизонтально поперек зазора (рис.1).

Плотности тепловых потоков через стенки зазора q1 и q2 (рис.1), а отношение их проекций на ось х: .

Рис. 1. К постановке задачи для плоского слоя.

В обеих моделях предполагается, что скорость имеет только вертикальную составляющую и зависит только от координаты х.

Избыточная температура Т, по сравнению с температурой внизу зазора, в первой модели [2, 3] зависит только от х, а во второй модели [1, 4] от х и z.

Избыточное давление р, по сравнению с барометрическим атмосферным, в обеих моделях зависит только от z.

При обезразмеривании основных величин так, как принято в работе [3], распределение скорости по первой модели имеет вид [1, 2]:

, (1)

а распределение температуры:

. (2)

Распределение скорости по второй модели [1, 4] имеет следующий вид [4]:

, (3)

где коэффициенты С1 и С2 определяются по формулам [4]:

, (4)

Трансцендентное уравнение для определения k, входящего в формулы (3) – (4), имеет вид [4]:

, (5)

где R – число Релея. Распределение температуры для второй модели имеет вид [4]:

, (6)

Сравнивая формулу (1) с формулой (3) и формулу (2) с (6) трудно предположить, что в некотором предельном случае они совпадут.

Отметим также разницу в дополнительных допущениях обеих моделей. В первой модели предполагается, что расход поперек воздушного зазора равен нулю [3]:

, (7)

Условие (7) представляется естественным для свободной конвекции в зазоре с горизонтальными рассечками.

Во второй модели требования (7) – нет. Дополнительными допущениями этой модели является отсутствие прогрева слоя воздуха в самом низу зазора [1, 4]:

, (8)

Основанием для гипотезы об эквивалентности этих двух моделей при ε→1 могут являться графики скорости и температуры, приведенные в работе [4] для ε = 0,8. Они довольно близки к графикам функций (1) и (2) – соответственно. Для того чтобы найти выражения для скорости и температуры при ε = 1, сначала необходимо найти k, соответствующее значению ε = 1.

Для данного значения ε = 1 формулы для коэффициентов С1 и С2 (4), после преобразований примут вид:

(9)

Тогда уравнение для определения k (5), после преобразований, можно записать в виде:

. (10)

Единственным решением этого уравнения в области действительных чисел является k = 0. Это же подтверждается графиком левой части уравнения (10), приведенным на рис. 2. Таким образом, при ε = 1 k = 0 для любых чисел Релея R.

При k = 0 невозможно непосредственно получить значения С1 и С2, а также вид функций скорости и температуры, т. к. выражения (9), (3), (6) приводят к неопределенности типа . Тем не менее имеется возможность рассчитать скорость при малых k по формуле (3), где координаты С1 и С2 находятся по формулам (9).

Рис. 2. График левой части уравнения (10)

На рис. 3 приведены графики распределения скорости. Из этого рисунка видно, что при k = 0,01 графики скорости, построенные по зависимостям (1) и (3), совпадают с точностью до графического разрешения. Это еще раз подчёркивает правомерность выдвинутой гипотезы о

совпадении математической модели [1, 4] с моделью [2, 3] при ε→1.

После преобразований формулы (3) при ε = 1 получим следующие выражение для скорости:

, (11)

Рис. 3. Распределение скорости поперек воздушного зазора, рассчитанные по формулам (1) и (3) при ε = 1 и различных k.

Входящие в формулу (11) выражения необходимо разложить в ряд Тейлора для малых k, а

значит и kх, т. к. 0 ≤ х ≤ 1. Разложение тригонометрических и гиперболических функций по малому параметру k дает:

, (12)

Получим разложение в ряд Тейлора для комбинаций этих функций, которые входят в выражение для v(х) (11) и войдут для Т(х) (6).

, (13)

где,

Если в (13) обозначить n = 2l; l = 0, 1, 2, 3…; то формула (13) примет вид:

, (14)

Аналогично, получим следующие выражения:

, (15)

, (16)

Для произведений гиперболических и тригонометрических функций, с учетом (12), получим следующие выражения:

, (17)

Используя формулы (12), (16), (17), выражение для скорости (11) примет вид:

, (18)

Окончательно, из (18) получаем:

, (19)

Выражение (19) полностью совпадает с выражением (1).

Далее рассмотрим выражение для температуры (6), которое при ε = 1 примет вид:

, (20)

С учетом разложений гиперболических и тригонометрических функций в ряд Тейлора (12) – (17), можно записать

, (21)

Или окончательно, при k→0:

, (22)

Видно, что формула (22) полностью совпадает с формулой (2).

Таким образом, распределение скорости и температуры (3) и (6) переходят в распределение (1) и (2) при ε = 1. Отметим, что ε = 1 соответствует случаю, когда тепловой поток через облицовочный слой НВФ равен по величине и направлению тепловому потоку через конструктивный слой. В этом случае, в частности, получаем линейное распределение температуры поперек воздушного зазора, а распределение скорости соответствует нулевому расходу, т.е. в зазоре должны быть как восходящие, так и нисходящие потоки воздуха.

В заключение заметим, что плотность теплового потока q1 определяется температурами атмосферы и внутри зазора, термическим сопротивлением облицовки и радиационным тепловым потоком. Плотность теплового потока q2 определяется температурами внутри зазора и здания, а также термическим сопротивлением конструктивного слоя.

Математическая модель, принятая в работах [1, 4], является более общей. В частном случае (q1 = q2), она переходит в математическую модель работ [2, 3].

Рецензенты:

Зуев В.А., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Кораблестроение и авиационная техника» НГТУ им. Р.Е. Алексеева, г. Нижний Новгород;

Грамузов Е.М., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Аэро-гидродинамика, прочность машин и сопротивление материалов» НГТУ им. Р.Е. Алексеева, г. Нижний Новгород.


Библиографическая ссылка

Косолапов Е.А., Федотов А.Б., Машенков А.Н. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ В ВОЗДУШНОМ ЗАЗОРЕ НАВЕСНЫХ ФАСАДОВ ЗДАНИЙ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 1-1. ;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=18064 (дата обращения: 24.09.2021).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074