Задача выявления изменения свойств пуассоновского процесса состоит в следующем. На промежутке действительной оси времени (пространства) наблюдается некоторое количество точек, характеризующее появление однородных событий.
Число точек n и их расположение на выбранной оси является случайным (координаты ).
Последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин для пуассоновского потока имеет функцию распределения .[1]
Пусть имеют функции распределения . Требуется определить момент «разладки» пуассоновского потока .
После наблюдения на интервале моментов появления случайного события () будем решать задачу о различении следующих двух гипотез : «разладки» нет, : «разладка» есть [5].
Зафиксируем уровень значимости и определим тест для различения этих гипотез неравенством
(1)
Выбор теста (1) можно объяснить следующим образом. Введем в рассмотрение тестовую статистику (разность статистических оценок энтропии).
где - оценка дифференциальной энтропии, определенная по (соответственно по ) наблюдениям случайной последовательности с экспоненциальным распределением времени между двумя смежными событиями. Можно показать, что тестовая статистика имеет вид
где – случайная величина, определяемая следующим соотношением [6].
Действительно, так как эмпирическое значение дифференциальной энтропии для выборок из экспоненциальных генеральных совокупностей имеет вид
где – оценка математического ожидания промежутков времени между двумя смежными событиями, то
Функция распределения случайной величины , является инвариантной к параметру экспоненциального распределения и имеет плотность [6;7]
Для доказательства этого утверждения прежде всего заметим, что если случайная величина представляет собой сумму экспоненциально распределённых случайных величин , то она в свою очередь будет распределена по закону гамма-распределения с параметром формы [2]. Отсюда следует, что плотность отношения двух независимых случайных величин и определяется следующим образом
(2)
Учитывая, что
после очевидного преобразования интеграла (2) находим
Используя плотность распределения , можно определить плотность распределения статистики [7]
Для этого достаточно преобразовать плотность распределения с учётом соотношения между случайными величинами и
.
Функция распределения тестовой статистики непосредственно определяется из её плотности [3]
Заметим, что область задания статистики критерия ограничена снизу значением . Доверительные границы для теста проверки «разладки» пуассоновского процесса, соответствующие доверительному уровню , могут быть определены с помощью функции распределения следующим образом:
Несложные преобразования этого неравенства дают удобную формулу (1) для теста (решающее правило).
Введённый в рассмотрение тест (1) представляется целесообразным дополнить ещё одним тестом, повышающим эффективность процедуры выявления момента «разладки».
Из рассмотрения теста (1) вытекает, что он становится малоэффективным («некритичным»), если пуассоновский поток имеет тенденцию к вырождению в регулярный поток. Указанный недостаток можно устранить, если ввести в рассмотрение тестовую статистику [3].
где – оценка дифференциальной энтропии, определённая по (соответственно по ) стандартным нормализованным случайным величинам , определяемым по зависимости
по наблюдениям последовательности .
Как и в предыдущем случае можно показать, что
,
а плотность распределения случайной величины имеет вид:
. (3)
Соответственно и статистика будет иметь плотность распределения вида
(4)
Доверительные границы для второго теста, соответствующие уровню , могут быть определены на основе полученных выражений для плотностей распределения тестовых статистик (или ) [7; 9].
Однако получить решающее правило в удобной форме, как это удалось получить для первого теста, в данном случае не представляется возможным. С вычислительной точки зрения процедура проверки гипотезы с использованием плотностей распределений (3) или (4) принципиальных трудностей не вызывает.
Действительно, в силу того, что интегральная функция распределения не может быть получена в аналитическом виде, границы критической области определяются численными методами приближённых вычислений из уравнений
(5)
(6)
Следовательно, окончательно решающее соотношение запишется в виде следующего неравенства
По зависимостям (5) и (6) определяются правая и левая границы критической области теста 2.
Результаты вычислений для различных уровней значимости представлены в табл. 1, из которой нетрудно заметить, что с увеличением объёма последовательности и уровня значимости область доверия сужается [3;8;10].
Таблица 1
Границы критической области для теста 2
n+1 |
= 0,2 |
= 0,3 |
= 0,4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,0273 |
51,49 |
0,0625 |
20,57 |
0,1153 |
10,79 |
3 |
0,0108 |
5,39 |
0,0251 |
3,07 |
0,0446 |
2,03 |
4 |
0,0068 |
2,36 |
0,0153 |
1,47 |
0,0278 |
1,03 |
5 |
0,0048 |
1,47 |
0,0109 |
0,95 |
0,0197 |
0,69 |
6 |
0,0038 |
1,07 |
0,0085 |
0,71 |
0,0155 |
0,52 |
7 |
0,0031 |
0,85 |
0,007 |
0,56 |
0,0128 |
0,42 |
8 |
0,0026 |
0,7 |
0,0058 |
0,47 |
0,0106 |
0,35 |
9 |
0,0023 |
0,6 |
0,0051 |
0,41 |
0,0092 |
0,3 |
10 |
0,002 |
0,53 |
0,0045 |
0,36 |
0,0082 |
0,26 |
11 |
0,0018 |
0,47 |
0,004 |
0,32 |
0,0073 |
0,24 |
12 |
0,0016 |
0,43 |
0,0037 |
0,29 |
0,0067 |
0,21 |
13 |
0,0015 |
0,39 |
0,0034 |
0,27 |
0,0059 |
0,18 |
14 |
0,0013 |
0,57 |
0,0031 |
0,24 |
0,0055 |
0,17 |
15 |
0,0012 |
0,34 |
0,0028 |
0,23 |
0,0051 |
0,16 |
16 |
0,0011 |
0,32 |
0,0026 |
0,21 |
0,0048 |
0,15 |
Заметим также, что введённый в рассмотрение второй тест в силу его чувствительности к дисперсии нормализованной случайной величины является критичным к тенденции вырождения пуассоновского потока в регулярный.
Таким образом, введённые в рассмотрение тесты выявления пуассоновского потока позволяют выявить момент изменения свойств случайной последовательности событий и перейти от пуассоновской модели редких событий к одной из её модификаций.
Одной из таких модификаций, описывающей статистическую структуру, возникающую из комбинации простейших пуассоновских потоков, является распределение Пуассона степени , производящая функция которого имеет вид: [7;8]
.
Это распределение можно охарактеризовать следующими параметрами:
математическим ожиданием [4;5]
дисперсией (вторым центральным моментом)
Из полученных соотношений следует, что отношение дисперсии к математическому ожиданию для этого распределения зависит только от параметра .
Следовательно, при помощи этой зависимости можно определить параметр kпо выборочным значениям моментов [5]
Обобщённое распределение Пуассона порядка формируется следующим образом.
Пусть – производящая функция вероятностного распределения, сосредоточенного на множестве целых чисел , а – производящая функция распределения Пуассона.
Тогда производящая функция обобщённого пуассоновского распределения порядка определяется формулой [7]
Так, например, если – производящая функция биномиального распределения
,
то
и т.д.
Однопараметрическое распределение может рассматриваться как составное пуассоновского (усечённое в конце) распределения, параметры которого подчиняются показательному распределению со средним значением, равным .
Рецензенты:
Хасцаев Б.Д., д.т.н., профессор, декан факультета электронной техники, Северо-Кавказский Ордена Дружбы Народов горно-металлургический институт (Государственный технологический университет), г. Владикавказ.
Шелехов П.Ю., д.т.н., профессор кафедры «Детали машин», Северо-Кавказский Ордена Дружбы Народов горно-металлургический институт (Государственный технологический университет), г. Владикавказ.