Сетевое издание

Современные проблемы науки и образования

ISSN 2070-7428

"Перечень" ВАК

ИФ РИНЦ = 1,006

• Авторы
• Резюме
• Файлы
• Ключевые слова
• Литература

Дзанагова И.Т. 1 Хугаева Л.Т. 1 Дигурова А.М. 1 Мамсурова Ф.Х. 1

---

1 ФГБОУ ВПО «Северо-Осетинский государственный университет имени Коста Левановича Хетагурова»

Приведены тесты проверки «разладки» пуассоновского процесса. Для выявления «разладки» случайной последовательности событий используют обычно как непоследовательные, так и последовательные алгоритмы. Для ускорения выявления «разладки» пуассоновского процесса предпочтительным является применение последовательных методов, ориентированных на выявление момента «разладки» по первым наблюдениям и ограниченной информации. При этом момент «разладки» эквивалентен переходу от пуассоновской модели редких событий к одной из возможных её модификаций. Одной из таких модификаций, описывающей статистическую структуру, возникающую из комбинации простейших пуассоновских потоков, является распределение Пуассона степени , формирование которого тоже рассматривается в этой статье. Рассматриваемые в работе элементы теории построения экстремальных распределений экстремальных случайных величин в предложенной постановке возникли из сущности и содержания практических задач.

Статья в формате PDF

138 KB

«разладка» пуассоновского процесса

распределение

производящая функция

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1969.

2. Дзанагова И.Т., Кокоева З.Т. Экстремальные модели редких событий // Известия ГГАУ. – 2007. – № 44. – Ч. 2.

3. Дзанагова И.Т. Теоретико-информационные методы построения экстремальных и непредельных распределений сумм случайного числа случайных величин. – Владикавказ: ГУП Изд. «Олимп», 2009.

4. Дзанагова И.Т., Галаванова З.Е., Высшая математика. Ч. I. – ГУП Изд. «Олимп» г. Владикавказ, 2012.

5. Дзанагова И.Т., Хугаева Л.Т. Высшая математика. Ч. II. – ГУП Изд «Олимп» г. Владикавказ, 2012.

6. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: ОНТИ, 1936.

7. Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975.

8. Мартыщенко Л.А. Введение в статистическое моделирование технических систем. – МО СССР, 1982.

9. Мартыщенко Л.А. Экстремальное распределение экстремальных случайных величин. – Л.: МО СССР, 1989.

10. Фишборн П. Принятие решений по неполной информации о вероятностях исходов // Экспресс-информация. Техническая кибернетика. – 1965. – № 34.

Задача выявления изменения свойств пуассоновского процесса состоит в следующем. На промежутке действительной оси времени (пространства) наблюдается некоторое количество точек, характеризующее появление однородных событий.

Число точек n и их расположение на выбранной оси является случайным (координаты ).

Последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин для пуассоновского потока имеет функцию распределения .[1]

Пусть имеют функции распределения . Требуется определить момент «разладки» пуассоновского потока .

После наблюдения на интервале моментов появления случайного события () будем решать задачу о различении следующих двух гипотез : «разладки» нет, : «разладка» есть [5].

Зафиксируем уровень значимости и определим тест для различения этих гипотез неравенством

(1)

Выбор теста (1) можно объяснить следующим образом. Введем в рассмотрение тестовую статистику (разность статистических оценок энтропии).

где - оценка дифференциальной энтропии, определенная по (соответственно по ) наблюдениям случайной последовательности с экспоненциальным распределением времени между двумя смежными событиями. Можно показать, что тестовая статистика имеет вид

где – случайная величина, определяемая следующим соотношением [6].

Действительно, так как эмпирическое значение дифференциальной энтропии для выборок из экспоненциальных генеральных совокупностей имеет вид

где – оценка математического ожидания промежутков времени между двумя смежными событиями, то

Функция распределения случайной величины , является инвариантной к параметру экспоненциального распределения и имеет плотность [6;7]

Для доказательства этого утверждения прежде всего заметим, что если случайная величина представляет собой сумму экспоненциально распределённых случайных величин , то она в свою очередь будет распределена по закону гамма-распределения с параметром формы [2]. Отсюда следует, что плотность отношения двух независимых случайных величин и определяется следующим образом

(2)

Учитывая, что

после очевидного преобразования интеграла (2) находим

Используя плотность распределения , можно определить плотность распределения статистики [7]

Для этого достаточно преобразовать плотность распределения с учётом соотношения между случайными величинами и

.

Функция распределения тестовой статистики непосредственно определяется из её плотности [3]

Заметим, что область задания статистики критерия ограничена снизу значением . Доверительные границы для теста проверки «разладки» пуассоновского процесса, соответствующие доверительному уровню , могут быть определены с помощью функции распределения следующим образом:

Несложные преобразования этого неравенства дают удобную формулу (1) для теста (решающее правило).

Введённый в рассмотрение тест (1) представляется целесообразным дополнить ещё одним тестом, повышающим эффективность процедуры выявления момента «разладки».

Из рассмотрения теста (1) вытекает, что он становится малоэффективным («некритичным»), если пуассоновский поток имеет тенденцию к вырождению в регулярный поток. Указанный недостаток можно устранить, если ввести в рассмотрение тестовую статистику [3].

где – оценка дифференциальной энтропии, определённая по (соответственно по ) стандартным нормализованным случайным величинам , определяемым по зависимости

по наблюдениям последовательности .

Как и в предыдущем случае можно показать, что

,

а плотность распределения случайной величины имеет вид:

. (3)

Соответственно и статистика будет иметь плотность распределения вида

(4)

Доверительные границы для второго теста, соответствующие уровню , могут быть определены на основе полученных выражений для плотностей распределения тестовых статистик (или ) [7; 9].

Однако получить решающее правило в удобной форме, как это удалось получить для первого теста, в данном случае не представляется возможным. С вычислительной точки зрения процедура проверки гипотезы с использованием плотностей распределений (3) или (4) принципиальных трудностей не вызывает.

Действительно, в силу того, что интегральная функция распределения не может быть получена в аналитическом виде, границы критической области определяются численными методами приближённых вычислений из уравнений

(5)

(6)

Следовательно, окончательно решающее соотношение запишется в виде следующего неравенства

По зависимостям (5) и (6) определяются правая и левая границы критической области теста 2.

Результаты вычислений для различных уровней значимости представлены в табл. 1, из которой нетрудно заметить, что с увеличением объёма последовательности и уровня значимости область доверия сужается [3;8;10].

Таблица 1

Границы критической области для теста 2

Заметим также, что введённый в рассмотрение второй тест в силу его чувствительности к дисперсии нормализованной случайной величины является критичным к тенденции вырождения пуассоновского потока в регулярный.

Таким образом, введённые в рассмотрение тесты выявления пуассоновского потока позволяют выявить момент изменения свойств случайной последовательности событий и перейти от пуассоновской модели редких событий к одной из её модификаций.

Одной из таких модификаций, описывающей статистическую структуру, возникающую из комбинации простейших пуассоновских потоков, является распределение Пуассона степени , производящая функция которого имеет вид: [7;8]

.

Это распределение можно охарактеризовать следующими параметрами:

математическим ожиданием [4;5]

дисперсией (вторым центральным моментом)

Из полученных соотношений следует, что отношение дисперсии к математическому ожиданию для этого распределения зависит только от параметра .

Следовательно, при помощи этой зависимости можно определить параметр kпо выборочным значениям моментов [5]

Обобщённое распределение Пуассона порядка формируется следующим образом.

Пусть – производящая функция вероятностного распределения, сосредоточенного на множестве целых чисел , а – производящая функция распределения Пуассона.

Тогда производящая функция обобщённого пуассоновского распределения порядка определяется формулой [7]

Так, например, если – производящая функция биномиального распределения

,

то

и т.д.

Однопараметрическое распределение может рассматриваться как составное пуассоновского (усечённое в конце) распределения, параметры которого подчиняются показательному распределению со средним значением, равным .

Рецензенты:

Хасцаев Б.Д., д.т.н., профессор, декан факультета электронной техники, Северо-Кавказский Ордена Дружбы Народов горно-металлургический институт (Государственный технологический университет), г. Владикавказ.

Шелехов П.Ю., д.т.н., профессор кафедры «Детали машин», Северо-Кавказский Ордена Дружбы Народов горно-металлургический институт (Государственный технологический университет), г. Владикавказ.

Библиографическая ссылка