Сигналы с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ-сигналы) относятся к сигналам с большой базой. Они имеют узкую корреляционную функцию и малую мощность при значительной энергии. Эти положительные качества ЛЧМ-сигналов определяют их широкое использование в различных комплексах аппаратуры.
Теоретической основой при обработке ЛЧМ-сигналов является корреляционный анализ. Максимум корреляционной функции дает возможность оценить время приема ЛЧМ-сигнала и его амплитуду. Ширина корреляционной функции зависит от девиации частоты и обеспечивает высокое разрешение ЛЧМ-сигналов по времени приема.
Корреляционный анализ, используемый для обработки ЛЧМ-сигналов, имеет ограничение по разрешающей способности, связанное с критерием Релея. Критерий Релея разделяет совокупность ЛЧМ-сигналов на ортогональные, когда коэффициент корреляции между ними равен нулю, и неортогональные, когда коэффициент корреляции отличен от нуля. В настоящей работе представлен метод, позволяющий снять ограничение Релея по разрешающей способности. Он дает возможность обрабатывать ЛЧМ-сигналы как в области их ортогональности, так и в области их неортогональности. При этом разрешающая способность при обработке ЛЧМ-сигналов увеличивается и, в принципе, оказывается зависящей от отношения сигнал/шум.
Основой метода обработки ЛЧМ-сигналов является использование при обработке дополнительного вектора – вектора разности между вектором принятого сообщения и вектором копии сигнала с оцениваемыми параметрами (вектором 
). При этом появляются новые возможности при обработке ЛЧМ-сигналов. Они связаны с оценкой дисперсии шума в принятой реализации, с повышением разрешающей способности при обработке ЛЧМ-сигналов, с увеличением точности оценки параметров, с возможностью нового решения задачи обнаружения сигнала. Использование вектора разности для обработки сигналов приводит к новой технологии, возможности которой находятся лишь в начале изучения.
В настоящей работе новая технология обработки сигналов применена для решения задачи разрешения ЛЧМ-сигналов.
Основы теории
Рассмотрим основы теории обработки ЛЧМ-сигналов, используя для простоты совокупность двух ЛЧМ-сигналов. Запишем принятое сообщение 
в комплексном виде
, (1)
где 
, 
– комплексные амплитуды ЛЧМ-сигналов;
– круговая частота;
, 
– времена приема ЛЧМ-сигналов;
;
– конечная круговая частота;
– длительность ЛЧМ-сигнала;
– аддитивный нормальный шум со средним значением, равным нулю, дисперсией 
и интервалом корреляции 
.
Запишем на основании (1) логарифм функции правдоподобия
, (2)
где 
– вектор оценочных параметров сигнала, отмеченных штрихами.
Частоту и параметр
будем считать известными.
Вместе с выражением для логарифма функции правдоподобия запишем функционал правдоподобия. Он более удобен для дальнейшего анализа
. (3)
Функционал правдоподобия представляет собой квадрат модуля вектора разности между вектором принятого сообщения и вектором – копией сигнала с оценочными параметрами (вектора ).
Функция правдоподобия представляет собой условную плотность распределения параметров сигнала. Максимум функции правдоподобия определяет наиболее вероятные оценочные параметры сигнала. В связи с этим, дифференцируя (3) по амплитудам 
и 
и приравнивая дифференциалы к нулю, получим систему уравнений правдоподобия
,
, (4)
где черта сверху означает интегрирование;
- нормированный коэффициент корреляции между двумя ЛЧМ-сигналами;
*- комплексное сопряжение.
Система уравнений (4) решается относительно и при произвольных значениях 
и 
,
. (5)
При 
выражения (5) определяют классический корреляционный анализ ЛЧМ-сигналов с максимумами в точках 
и
. Если 
, то выражения (5) не имеют четко выраженных максимумов, а, следовательно, не могут быть использованы для обработки ЛЧМ-сигналов в области их неортогональности. Для решения задачи разрешения ЛЧМ-сигналов, выражения (5) необходимо подставить в функционал правдоподобия (3). В этом случае используются возможности вектора, и при этом уменьшается количество неизвестных в (3). Подставим (5) в (3) и проведем алгебраические преобразования с учетом (4). В результате получим функционал правдоподобия в виде
. (6)
Данный функционал является поверхностью в двухмерном пространстве
,
. Перебирая все значения и в области их определения, можно получить полную поверхность функционала правдоподобия. Максимум поверхности функционала реализуется в точке и при 
и 
. По своему смыслу минимум значения функционала (3) определяет дисперсию шума.
Таким образом, используя минимум функционала правдоподобия, как критерий, можно полностью решить задачу разрешения двух ЛЧМ-сигналов при значениях 
, отличающихся от нуля.
Рассмотрим вопрос о рабочей области данного метода решения задачи разрешения двух ЛЧМ-сигналов. Для этого воспользуемся выражением для дисперсии амплитуд ЛЧМ-сигналов (дисперсии Рао – Крамера). Вывод этого выражения основан на использовании информационной матрицы Фишера, элементы которой определяются выражением
, (7)
где 
– оператор математического ожидания.
Элементы матрицы Фишера находятся в точке минимума функционала правдоподобия при и , когда и . Выполняя дифференцирование (2) согласно (7), получим информационную матрицу Фишера
. (8)
Диагональные элементы матрицы, обратной матрице Фишера, определяют дисперсии амплитуд ЛЧМ-сигналов
, (9)
где 
– количество некоррелированных отсчетов шума на интервале .
Из выражения (9) следует, что в результате обработки дисперсия уменьшилась в 
раз. Если ввести значение дисперсии
, при 
, то относительная дисперсия имеет простую зависимость от
. (10)
При изменении от 0 до 0,9, относительная дисперсия увеличивается на 7 дБ. Эта область изменений может быть принята за рабочую область представляемого метода решения задачи разрешения двух ЛЧМ-сигналов.
Увеличение дисперсии на 7 дБ в точке 
это плата за высокое разрешение сигнала. Задача разрешения двух ЛЧМ-сигналов может быть решена и при 
, но при этом необходимо иметь высокое (более 7 дБ) отношение сигнал/шум в принятой реализации.
Результаты модельных расчетов
Представим результаты модельных расчетов, отображающие возможность обработки принятого сообщения, содержащего два ЛЧМ-сигнала. При модельных расчетах приняты следующие параметры ЛЧМ-сигналов: амплитуды
, 
; начальные фазы
, 
; конечная частота
кГц; длительность сигнала
мс; время приема первого ЛЧМ-сигнала
мс; время приема второго ЛЧМ-сигнала может быть различным. Отношение сигнал/шум равно 0 дБ.
Пусть принята реализация, содержащая два ЛЧМ-сигнала. Различие времени приема
мс. В этом случае коэффициент корреляции близок к нулю и корреляционный анализ дает возможность оценить по наблюдаемым максимумам на рис.1 время приема и амплитуды сигналов ЛЧМ. Поверхность обратного функционала правдоподобия 
показана на рис.2. Единственный максимум этой поверхности определяет оценочные параметры двух ЛЧМ-сигналов: , , , . Значение максимума поверхности оценивает дисперсию шума.
При уменьшении различия во времени приема 
до значения
мкс, коэффициент корреляции между ЛЧМ-сигналами возрастает до значения 
. Корреляционная функция имеет вид одного максимума, значение которого меняется в зависимости от разности фаз двух ЛЧМ-сигналов (рис.3). Поверхность обратного функционала правдоподобия (рис.4) имеет единственный максимум, определяющий совокупность параметров: , , , .
На рис.5 показаны изменения оценочных времен приема двух ЛЧМ-сигналов при следующих условиях. Значение постоянно и равно 
мс, значение меняется в пределах от 
мс до 
мс. Этим обеспечивается изменение коэффициента корреляции между ЛЧМ-сигналами от 
и ниже.
Классическое разрешение ЛЧМ-сигналов при девиации частоты 
кГц определено значением 
мкс. В результате модельных расчетов в соответствии с новым методом решения разрешение ЛЧМ-сигналов возможно при 
мкс. Следовательно, разрешение двух ЛЧМ-сигналов может быть увеличено по сравнению с классикой в 5 раз. Это подтверждает основные теоретические положения представляемого метода Отношение сигнал/шум, в котором возможно увеличение разрешения двух ЛЧМ-сигналов, согласно модельным расчетам, может достигать -20 дБ. Динамический диапазон представляемого метода ограничен уровнем шума в принятой реализации. Даже пятикратное уменьшение амплитуды второго ЛЧМ-сигнала позволяет с удовлетворительной точностью оценить время приема слабого сигнала и его амплитуду. Влияние боковых лепестков корреляционной функции ЛЧМ-сигналов, ограничивающий динамический диапазон корреляционного анализа, не отмечается.
Заключение
В настоящей работе представлена новая методика решения задачи разрешения двух ЛЧМ-сигналов. Она основана на использовании дополнительной информации, которую позволяет получить вектор разности между вектором принятого сообщения и вектором копии сигнала с оценочными параметрами. Новая методика снимает Релеевское ограничение на разрешающую способность и дает возможность увеличить практически разрешение двух ЛЧМ-сигналов по крайней мере в 5 раз по сравнению с методом корреляционного анализа. Динамический диапазон обработки ЛЧМ-сигналов по новой методике ограничен лишь уровнем шума. Он значительно превышает динамический диапазон обработки методом корреляционного анализа.
Исследование выполнено в рамках государственного задания на проведение научно-технических работ, договор №2013-4 ГЗ от 01 января 2013 года.
Рецензенты:
Захаров В.Е., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой радиофизики и информационной безопасности Балтийского федерального университета им. И. Канта, г. Калининград;
Никитин М.А., д.ф.-м.н., профессор кафедры телекоммуникаций Балтийского федерального университета им. И. Канта, г. Калининград.