Компетентностный подход – одна из ключевых идей реформирования системы отечественного образования – предполагает целенаправленное развитие потенций обучающихся. Реализация компетентностного подхода сегодня становится приоритетной задачей общего образования.
Среди важных личностных качеств выпускника школы выделяется познавательная компетентность, понимаемая нами как личностный опыт учащегося в сфере саморегулируемой познавательной деятельности, интегральная качественная характеристика личности школьника, отражающая его стремление и способность накапливать и реализовывать свой потенциал в сфере самостоятельной познавательной деятельности для успешного решения личностно значимых (в том числе – учебных) задач. Сущностной характеристикой познавательной компетентности старшеклассника и её коррелятом выступает интегративное качество личности «познавательная самостоятельность» [8, c. 107-108].
Проблема развития познавательной самостоятельности у учащихся достаточно хорошо разработана, её решение традиционно связывается в отечественном образовании с учебно-воспитательным процессом (М.А. Данилов, И.Я. Лернер, М.И. Махмутов, Н.А. Половникова, Т.И. Шамова и др.). В то же время проблема формирования познавательной компетентности школьников в процессе обучения до настоящего времени не решена ни в целом, ни на уровне отдельных учебных предметов. В частности, необходимо переосмысление функционала субъектов учебно-воспитательного процесса и методических аспектов его реализации. Настоящая статья развивает тему внедрения идей компетентностного подхода в систему общего образования [6; 7] и призвана обосновать целесообразность и возможность формирования познавательной компетентности у старшеклассников в процессе усвоения понятий, составляющих содержание школьного курса математики.
Гуманизация школьного курса математики, учет её «надпредметности» (А.В. Боровских, Н.Х. Розов [1] и др.) требуют понимания процесса обучения предмету как процесса формирования личностных качественных характеристик школьника, в том числе – его познавательной компетентности. Единство процессов изучения математики, обучения данному предмету и процессов формирования опыта саморегулируемого учения составляет сущность идеи и условие эффективности формирования опыта саморегулируемого познания учащихся в процессе обучения математике. В качестве примера рассмотрим особенности усвоения математических понятий и определений в контексте формирования познавательной компетентности у старшеклассника.
Понятие трактуется как «одна из форм отражения мира на рациональной ступени познания; мысль, которая выделяет из некоторой предметной области и собирает в класс (обобщает) объекты посредством указания на их общий и отличительный признак» [10]. Требования к формированию понятий в школьном курсе математики достаточно подробно освещены в методической литературе. Например, Г.И. Саранцев выделяет следующие этапы в формировании понятия: 1) мотивация – определение значимости рассматриваемого понятия, возбуждение интереса к нему; 2) выявление существенных свойств понятия, составляющих его определение, формулировка определения; 3) усвоения определения понятия, на котором «объектом изучения должно стать каждое существенное свойство, используемое в определении»; 4) использование понятия в конкретных ситуациях – «знакомство со свойствами и признаками понятия, с его определениями, эквивалентными принятому; используются основные свойства и признаки понятия»; 5) систематизация материала – «выясняется место данного понятия в системе других понятий»; 6) логические операции с понятием, в результате чего получаются новые понятия [9, c. 98-100]. Аналогичные, по сути, этапы в формировании понятий рассматривают Н.Ф. Стефанова, Н.С. Подходова и др., называя профессиональный (логико-математический анализ), подготовительный (актуализация знаний, мотивация, связь с субъектным опытом ребенка) и основной (обучающий) этапы [3, с. 117-127].
Методика организации усвоения математических определений также представляется как последовательность этапов: 1) введение определения конкретно-индуктивным или абстрактно-дедуктивным методом; 2) усвоение определения, предполагающее реализацию цели «запомнить определение и научиться проверять, подходит объект под рассматриваемое понятие или нет»; 3) закрепление определения – «решаются более сложные задачи, где используются как определение понятия, так и его свойства» (И.Е. Малова и др.) [2, с. 69].
Анализ целей и содержания этапов формирования математических понятий и их определений дает основание говорить о том, что традиционные методики ориентированы, в первую очередь, на формирование математического мышления; задача формирования познавательной самостоятельности в явном виде не ставится, оставаясь «надпредметной». Вместе с тем усвоение понятий и определений (как и других дидактических единиц школьного курса математики – аксиом, теорем, правил, алгоритмов решения задач) может быть организовано в форме самостоятельной опосредованно управляемой работы учащихся и тем самым выступать средством и средой формирования опыта самостоятельной познавательной деятельности старшеклассников. Задача учителя состоит в создании условий для эффективной самостоятельной познавательной деятельности учащихся, направленной как на формирование познавательной компетентности школьников, так и на их предметную подготовку.
Формирование познавательной компетентности предполагает саморегулируемую познавательную деятельность учащегося. В то же время такой деятельности необходимо школьника научить. Как следствие, в рамках формирования опыта саморегулируемого познания необходима организация изучения дидактических единиц старшеклассником посредством самостоятельного их пошагового усвоения (построения, конструирования). Данный процесс может быть эффективно реализован в рамках дифференцированно-групповой формы обучения посредством предъявления технологических карт, задающих алгоритм учебной работы учащихся на уроке. Применение технологических карт дает возможность, с одной стороны, создать условия для формирования опыта саморегулируемого познания, с другой – осуществлять дифференцированное опосредованное педагогическое управление самостоятельной познавательной деятельностью старшеклассников, с третьей – обеспечить усвоение предметного учебного материала. Значимым фактором в усвоении математических понятий является выделение информационно-смысловых элементов знания – «законченных по содержанию и форме простых суждений, с дальнейшим делением которых теряется смысл» (И.П. Подласый) [5, с. 131].
Покажем на практическом примере, что процесс усвоения математического понятия и его определения может являть собой эффективную среду для формирования познавательной компетентности старшеклассника. Рассмотрим возможную методику усвоения определения степени с рациональным показателем при изучении курса алгебры и начал математического анализа по учебнику А.Г. Мордковича и П.В. Семенова. Введение определения степени с любым рациональным показателем авторами учебника ведется с опорой на «земное начало», имеющийся у учащихся опыт [4, с. 53-54].
Таблица 1 - Технологическая карта педагогического сопровождения усвоения учащимися с низким уровнем сформированности познавательной компетентности определения корня с рациональным показателем
|
Задания |
Указания по выполнению заданий |
|
Нам известно определение степени с целым показателем 1) если n = 1, то a1 = а; 2) если n = 0 и а ≠ 0, то а0 = 1; 3) если n = 2, 3, 4, 5, ..., то аn = а ∙ а ∙ а ∙ ... ∙ а (n множителей);
4) если n = 1, 2, 3, 4, ... и а ≠ 0, то а-n =
Например, известно, что 23=2
Предположим, что число
Определение. Если |
Проведите аналогичные рассуждения для равенства
Запишите данное определение в тетрадь. |
|
Используя определение степени с рациональным показателем, заполните пропуски в следующих предложениях:
1. Если
2. Под
3. Если
4. Если
5. Если
|
Используйте определение: «Если |
|
Почему в определении «Если а) р > 0, q > 0, q ≠ 1; б) a ≥ 0 ?
|
Дайте определение обыкновенной дроби. Прочитайте замечание на стр. 52 учебника |
|
Запишите, если это возможно, степень в виде корня n-й степени:
|
Используйте определение |
|
Запишите, если это возможно, корень в виде степени: |
Используйте определение |
.
.
=8. Какой смысл имеет запись 
?
числа 2, и для него выполняются свойства степени, в частности 
. Тогда будут верны следующие рассуждения: «Пусть 
, тогда можно обе части равенства возвести в степень, т.е. 
. Отсюда, поскольку 
, а = 
. Значит 
– обыкновенная дробь (р > 0, q > 0, q ≠ 1) и а ≥ 0, то под 
понимают 
, a ≥ 0, т. е. 
.
, при условии, что ______________________.
, 
Таблица 2 - Технологическая карта педагогического сопровождения усвоения учащимися со средним уровнем сформированности познавательной компетентности определения корня с рациональным показателем
|
Задания |
Указания по выполнению заданий |
|
Нам известно определение степени с целым показателем
23 определяется как 2
Известно, что Данное выражение определено только для неотрицательного основания степени.
Выясните, какие ограничения накладываются на показатель степени
С учетом выявленных ограничений сформулируйте определение, заполнив пропуски в равенстве:
Опираясь на полученное в определении равенство и перенося свойство степени с целым показателем
Сформулируйте определение, заполнив пропуски: «Если |
Подметьте закономерность и вычислите
При каком значении n дробь определена?
Представьте
Запишите определение в тетрадь.
Сверьте полученное определение с данным в учебнике |
|
Используя полученное определение степени с рациональным показателем, выпишите его информационно-смысловые элементы:
1. 2. а ________
3.
4. |
|
|
Чем обусловлены ограничения в данном определении: а) р > 0, q > 0, q ≠ 1; б) a ≥ 0 ?
|
Проанализируйте смысл записи Прочитайте замечание на стр. 52 учебника |
|
Запишите, если это возможно, в виде корня n-й степени:
|
Используйте определение степени с рациональным показателем |
|
Запишите, если это возможно, корень в виде степени:
|
Используйте определение степени с рациональным показателем |
Проведите обобщение и установите, чему равно 
?
при ________ (вставить ограничения a и n).
на степень с рациональным показателем (истинность такого переноса будет доказана позже), запишите числовое выражение, используя знак корня: 
как 
.
Таблица 3 - Технологическая карта педагогического сопровождения усвоения учащимися с высоким уровнем сформированности познавательной компетентности определения корня с рациональным показателем
|
Задания |
Указания по выполнению заданий |
|
Нам известно определение степени с целым показателем
23 определяется как 2
Известно, что справедлива запись: Данное выражение определено только для неотрицательного основания степени.
Перенося свойства степени с целым показателем на степень с рациональным показателем (истинность такого переноса будет доказана позже), запишите, чему равно выражение
Выявите, какие ограничения могут накладываться на показатель степени, и сформулируйте определение, что понимается под |
Запишите определение в тетрадь. Сверьте полученное определение с данным в учебнике |
|
Используя полученное определение степени с рациональным показателем, выпишите его информационно-смысловые элементы |
|
|
Объясните, чем обусловлены ограничения в определении степени с рациональным показателем |
Проанализируйте смысл p и q. Проанализируйте замечание на стр. 52 учебника |
|
1. Запишите любые четыре числа с рациональным показателем степени в виде корня n-й степени. 2. Запишите, если это возможно, в виде корня n-й степени:
|
Используйте определение степени с рациональным показателем |
|
1. Запишите в виде степени любые три числа, представляющие собой корни n-й степени. 2. Запишите, если это возможно, в виде степени:
– |
Используйте определение степени с рациональным показателем |
апишите, чему равно выражение 
Анализируя содержания технологических карт (табл. 1-3), нетрудно заметить, что процесс усвоения понятия и его определения направлен на поэтапное формирование навыков узнавания, неосознанного воспроизведения (на уровне памяти), осознанного воспроизведения (на уровне понимания, описания и анализа действия с объектом), применения знаний в знакомой ситуации по образцу, применения знаний в незнакомой ситуации. Тем самым создаются условия для формирования понятия и его определения. При этом алгоритмы учебного процесса старшеклассников определяются уровнем сформированности у них познавательной компетентности и предметной подготовки (табл. 4).
Таблица 4 – Алгоритмы педагогического сопровождения процесса усвоения понятий учащимися в соответствии с уровнем сформированности у них познавательной компетентности и предметной подготовки
|
Низкий уровень сформированности познавательной компетентности |
Средний уровень сформированности познавательной компетентности |
Высокий уровень сформированности познавательной компетентности |
|
Постановка проблемы, определение «множества объектов, выделяемых и обобщаемых в понятии» – определение объема понятия |
Постановка проблемы, определение объема понятия |
Постановка проблемы, определение объема и выявление содержания понятия |
|
Выявление содержания понятия – его существенных свойств |
Выявление содержания понятия |
|
|
Знакомство с формулировкой определения посредством абстрактно-дедуктивного метода |
Самостоятельная формулировка определения на основе конкретно-индуктивного метода; сравнение полученного определения с эталонным (может не присутствовать, определяется целями и задачами урока) |
Самостоятельная формулировка определения на основе конкретно-индуктивного метода с последующим обобщением; сравнение полученного определения с эталонным (может не присутствовать, определяется целями и задачами урока) |
|
Отработка содержания определения посредством запоминания информационно-смысловых элементов, отражающих основные свойства понятия (целесообразно использование элементов программированного обучения) |
Отработка учащимся с подсказкой содержания определения посредством выделения информационно-смысловых элементов, отражающих основные свойства понятия |
Отработка учащимся без подсказки содержания определения посредством выделения информационно-смысловых элементов, отражающих содержание понятия |
|
Отработка содержания определения на уровне осознанного воспроизведения и применения знаний посредством вариаций с информационно-смысловыми элементами |
Отработка содержания определения на уровне осознанного воспроизведения и применения знаний посредством вариаций с информационно-смысловыми элементами |
Отработка содержания определения на уровне осознанного воспроизведения и применения знаний посредством вариаций с информационно-смысловыми элементами, творческих заданий |
Задания в технологических картах соответствуют «зоне ближайшего саморазвития учащегося», способствуют организации разноуровневой познавательной деятельности старшеклассников и требуют в своем выполнении активизации опыта самостоятельной познавательной деятельности школьников. Предлагаемые учащимся с низким уровнем сформированности познавательной компетентности задания создают условия для работы старшеклассников на репродуктивном и в некоторой степени на частично поисковом уровне познавательной деятельности. Задания в своем большинстве построены на запоминании и действиях по аналогии. Учащимся со средним уровнем сформированности познавательной компетентности предлагаются задания, создающие условия для работы преимущественно на частично-поисковом уровне познавательной самостоятельности. Доля мыслительной самостоятельности возрастает за счет внесения изменения в формулировку условий заданий, придания им определенной нечеткости. Для учащихся с высоким уровнем сформированности личностного опыта самостоятельной познавательной деятельности предлагаются задания и методы работы, выводящие их на исследовательский уровень учебной работы. В частности, используются задания с обобщенными и нечеткими формулировками условия, творческие задания; отдельные этапы усвоения определения протекают в «свернутом виде». Таким образом, при равном объеме содержания усваиваемого понятия стратегии самостоятельной работы учащихся с разными уровнями сформированности познавательной компетентности и математической подготовки различны.
Подводя итог сказанному, отметим, что с определенными модификациями приведенные алгоритмы работы учащихся могут быть перенесены и на организацию учебно-воспитательного процесса по усвоению всех основных дидактических единиц школьного курса математики. Предлагаемая методика инвариантна в своем применении ко многим учебным предметам, составляет, по сути, базис типа обучения, основанного на саморегулируемой познавательной деятельности школьников – компетентностно-ориентированного учебно-воспитательного процесса.
Рецензенты:
Прядёхо А.А., д.п.н., профессор, заместитель директора Научно-исследовательского института фундаментальных и прикладных исследований ФГБОУ ВПО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», г. Брянск;
Шлык В.В., д.п.н., к.ф.-м.н., профессор, советник при ректорате ФГБОУ ВПО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», г. Брянск.