Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,737

ПРОЦЕСС УСВОЕНИЯ ПОНЯТИЙ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ КАК СРЕДА ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ СТАРШЕКЛАССНИКОВ

Пустовойтов В.Н. 1
1 ФГБОУ ВПО «Брянский государственный университет им. акад. И.Г. Петровского»
В статье показано, что усвоение старшеклассниками основных дидактических единиц школьного курса математики потенциально содержит возможности для формирования личностного опыта самостоятельной познавательной деятельности у учащихся – их познавательной компетентности. Изучение математических понятий школьником, организованное как пошаговое самостоятельное решение задач, отвечает требованиям личностно ориентированного обучения и педагогики конструктивизма. Средством опосредованного управления учебно-познавательной самостоятельной деятельностью учащихся выступают технологические карты. Их применение в сочетании с дифференцированно-групповой формой обучения позволяет организовать работу старшеклассников таким образом, что при равном объеме содержания усваиваемого учебного материала методы познавательной деятельности каждого учащегося различны и соответствуют уровню сформированной познавательной компетентности школьника. Тем самым создаются условия для эффективного решения взаимосвязанных задач обучения математике: формирование познавательной компетентности старшеклассников, общее развитие школьников, предметная подготовка учащихся.
компетентностный подход в общем образовании
методика обучения математике
гуманизация математического образования
педагогическое сопровождение
познавательная компетентность
познавательная самостоятельность
самостоятельная познавательная деятельность
1. Боровских А.В., Розов Н.Х. Деятельностные принципы в педагогике и педагогическая логика. – М. : МАКС Пресс, 2010. – 80 с.
2. Малова И.Е. и др. Система профессиональной подготовки учителя основной школы при изучении курса теории и методики обучения математике. – Брянск : Издательство БГУ, 2003. – 179 с.
3. Методика и технология обучения математике / под науч. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М. : Дрофа, 2005. – 416 с.
4. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя. – М. : Мнемозина, 2010. – 202 с.
5. Подласый И.П. Как подготовить эффективный урок. – Киев : Рад. шк., 1989. – 204 с.
6. Пустовойтов В.Н. Модель педагогического сопровождения формирования познавательной компетентности учащихся старших классов в процессе обучения учебным предметам // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 3. - URL: http://www.science-education.ru/117-13710 (дата обращения: 27.06.2014).
7. Пустовойтов В.Н. Особенности педагогической технологии формирования познавательной компетентности у старшеклассников в процессе обучения учебным предметам // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 4. - URL: http://www.science-education.ru/118-14135 (дата обращения: 31.07.2014).
8. Пустовойтов В.Н. Познавательная компетентность старшеклассника : сущность категории и корреляты // European social science journal (Европейский журнал социальных наук). – 2012. – № 2 (18). – С. 102-109.
9. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математике. – Саранск : Тип. «Красный октябрь», 2001. – 144 с.
10. Энциклопедия эпистемологии и философии науки. – М. : «Канон+», РООИ «Реабилитация», 2009. – 1248 с.

Компетентностный подход – одна из ключевых идей реформирования системы отечественного образования – предполагает целенаправленное развитие потенций обучающихся. Реализация компетентностного подхода сегодня становится приоритетной задачей общего образования.

Среди важных личностных качеств выпускника школы выделяется познавательная компетентность, понимаемая нами как личностный опыт учащегося в сфере саморегулируемой познавательной деятельности, интегральная качественная характеристика личности школьника, отражающая его стремление и способность накапливать и реализовывать свой потенциал в сфере самостоятельной познавательной деятельности для успешного решения личностно значимых (в том числе – учебных) задач. Сущностной характеристикой познавательной компетентности старшеклассника и её коррелятом выступает интегративное качество личности «познавательная самостоятельность» [8, c. 107-108].

Проблема развития познавательной самостоятельности у учащихся достаточно хорошо разработана, её решение традиционно связывается в отечественном образовании с учебно-воспитательным процессом (М.А. Данилов, И.Я. Лернер, М.И. Махмутов, Н.А. Половникова, Т.И. Шамова и др.). В то же время проблема формирования познавательной компетентности школьников в процессе обучения до настоящего времени не решена ни в целом, ни на уровне отдельных учебных предметов. В частности, необходимо переосмысление функционала субъектов учебно-воспитательного процесса и методических аспектов его реализации. Настоящая статья развивает тему внедрения идей компетентностного подхода в систему общего образования [6; 7] и призвана обосновать целесообразность и возможность формирования познавательной компетентности у старшеклассников в процессе усвоения понятий, составляющих содержание школьного курса математики.

Гуманизация школьного курса математики, учет её «надпредметности» (А.В. Боровских, Н.Х. Розов [1] и др.) требуют понимания процесса обучения предмету как процесса формирования личностных качественных характеристик школьника, в том числе – его познавательной компетентности. Единство процессов изучения математики, обучения данному предмету и процессов формирования опыта саморегулируемого учения составляет сущность идеи и условие эффективности формирования опыта саморегулируемого познания учащихся в процессе обучения математике. В качестве примера рассмотрим особенности усвоения математических понятий и определений в контексте формирования познавательной компетентности у старшеклассника.

Понятие трактуется как «одна из форм отражения мира на рациональной ступени познания; мысль, которая выделяет из некоторой предметной области и собирает в класс (обобщает) объекты посредством указания на их общий и отличительный признак» [10]. Требования к формированию понятий в школьном курсе математики достаточно подробно освещены в методической литературе. Например, Г.И. Саранцев выделяет следующие этапы в формировании понятия: 1) мотивация – определение значимости рассматриваемого понятия, возбуждение интереса к нему; 2) выявление существенных свойств понятия, составляющих его определение, формулировка определения; 3) усвоения определения понятия, на котором «объектом изучения должно стать каждое существенное свойство, используемое в определении»; 4) использование понятия в конкретных ситуациях – «знакомство со свойствами и признаками понятия, с его определениями, эквивалентными принятому; используются основные свойства и признаки понятия»; 5) систематизация материала – «выясняется место данного понятия в системе других понятий»; 6) логические операции с понятием, в результате чего получаются новые понятия [9, c. 98-100]. Аналогичные, по сути, этапы в формировании понятий рассматривают Н.Ф. Стефанова, Н.С. Подходова и др., называя профессиональный (логико-математический анализ), подготовительный (актуализация знаний, мотивация, связь с субъектным опытом ребенка) и основной (обучающий) этапы [3, с. 117-127].

Методика организации усвоения математических определений также представляется как последовательность этапов: 1) введение определения конкретно-индуктивным или абстрактно-дедуктивным методом; 2) усвоение определения, предполагающее реализацию цели «запомнить определение и научиться проверять, подходит объект под рассматриваемое понятие или нет»; 3) закрепление определения – «решаются более сложные задачи, где используются как определение понятия, так и его свойства» (И.Е. Малова и др.) [2, с. 69].

Анализ целей и содержания этапов формирования математических понятий и их определений дает основание говорить о том, что традиционные методики ориентированы, в первую очередь, на формирование математического мышления; задача формирования познавательной самостоятельности в явном виде не ставится, оставаясь «надпредметной». Вместе с тем усвоение понятий и определений (как и других дидактических единиц школьного курса математики – аксиом, теорем, правил, алгоритмов решения задач) может быть организовано в форме самостоятельной опосредованно управляемой работы учащихся и тем самым выступать средством и средой формирования опыта самостоятельной познавательной деятельности старшеклассников. Задача учителя состоит в создании условий для эффективной самостоятельной познавательной деятельности учащихся, направленной как на формирование познавательной компетентности школьников, так и на их предметную подготовку.

Формирование познавательной компетентности предполагает саморегулируемую познавательную деятельность учащегося. В то же время такой деятельности необходимо школьника научить. Как следствие, в рамках формирования опыта саморегулируемого познания необходима организация изучения дидактических единиц старшеклассником посредством самостоятельного их пошагового усвоения (построения, конструирования). Данный процесс может быть эффективно реализован в рамках дифференцированно-групповой формы обучения посредством предъявления технологических карт, задающих алгоритм учебной работы учащихся на уроке. Применение технологических карт дает возможность, с одной стороны, создать условия для формирования опыта саморегулируемого познания, с другой – осуществлять дифференцированное опосредованное педагогическое управление самостоятельной познавательной деятельностью старшеклассников, с третьей – обеспечить усвоение предметного учебного материала. Значимым фактором в усвоении математических понятий является выделение информационно-смысловых элементов знания – «законченных по содержанию и форме простых суждений, с дальнейшим делением которых теряется смысл» (И.П. Подласый) [5, с. 131].

Покажем на практическом примере, что процесс усвоения математического понятия и его определения может являть собой эффективную среду для формирования познавательной компетентности старшеклассника. Рассмотрим возможную методику усвоения определения степени с рациональным показателем при изучении курса алгебры и начал математического анализа по учебнику А.Г. Мордковича и П.В. Семенова. Введение определения степени с любым рациональным показателем авторами учебника ведется с опорой на «земное начало», имеющийся у учащихся опыт [4, с. 53-54].

Таблица 1 - Технологическая карта педагогического сопровождения усвоения учащимися с низким уровнем сформированности познавательной компетентности определения корня с рациональным показателем

Задания

Указания по выполнению заданий

Нам известно определение степени с целым показателем  .

1) если n = 1, то a1 = а;

2) если n = 0 и а ≠ 0, то а0 = 1;

3) если n = 2, 3, 4, 5, ..., то аn = а ∙ а ∙ а ∙ ... ∙ а (n множителей);

4) если n = 1, 2, 3, 4, ... и а ≠ 0, то а-n = .

Например, известно, что 23=2=8. Какой смысл имеет запись ?

Предположим, что число  мы определили как степень  числа 2, и для него выполняются свойства степени, в частности . Тогда будут верны следу­ющие рассуждения: «Пусть , тогда можно обе части равенства возвести в степень, т.е. . Отсюда, поскольку  ∙5=3, то: , а = . Значит  определяется как  ».

 

Определение. Если  – обыкновенная дробь (р > 0, q > 0, q ≠ 1) и а ≥ 0, то под  понимают , a ≥ 0, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проведите аналогичные рассуждения для равенства .

 

 

 

 

 

 

Запишите данное определение в тетрадь.

Используя определение степени с рациональным показателем, заполните пропуски в следующих предложениях:

1. Если  – обыкновенная дробь (р > 0, q > 0, q ≠ 1) и а ≥ 0, то ____________, т. е.

2. Под  понимают , a ≥ 0, т. е. , при условии, что ______________________.

3. Если  – обыкновенная дробь (р > 0,q > 0, q ≠ 1) и а ≥ 0, то под  понимают , a ≥ 0, т. е. _______________________

4. Если  – обыкновенная дробь (_________) и а ≥ 0, то под  понимают , a ≥ 0, т. е.

5. Если  – обыкновенная дробь (р > 0,q > 0, q ≠ 1) и ______, то под  понимают , _____, т. е.

 

 

 

 

Используйте определение: «Если  – обыкновенная дробь (р > 0, q > 0, q ≠ 1) и а ≥ 0, то под  понимают , a ≥ 0, т. е. »

Почему в определении «Если  – обыкно­венная дробь (р > 0, q > 0, q ≠ 1) и а ≥ 0, то под  понимают , a ≥ 0, т. е. » указаны ограничения:

а)  р > 0, q > 0, q ≠ 1;

б)  a ≥ 0  ?

 

 

 

 

Дайте определение обыкновенной дроби.

Прочитайте замечание на стр. 52 учебника

Запишите, если это возможно, степень в виде корня n-й степени:

  

Используйте определение

Запишите, если это возможно, корень в виде степени: ,

Используйте определение

Таблица 2 - Технологическая карта педагогического сопровождения усвоения учащимися со средним уровнем сформированности познавательной компетентности определения корня с рациональным показателем

Задания

Указания по выполнению заданий

Нам известно определение степени с целым показателем .

23 определяется как 2=8. Какой смысл может быть вложен в запись ?

 

Известно, что  Проведите обобщение и установите, чему равно  

Данное выражение определено только для неотрицательного основания степени.

Выясните, какие ограничения накладываются на показатель степени ?

С учетом выявленных ограничений сформулируйте определение, заполнив пропуски в равенстве:  при ________ (вставить ограничения a и n).

Опираясь на полученное в определении равенство и перенося свойство степени с целым показателем  на степень с рациональным показателем (истинность такого переноса будет доказана позже), запишите числовое выражение, используя знак корня:

Сформулируйте определение, заполнив пропуски: «Если  – обыкновенная дробь (____________) и а____, то под  понимают ______, где a____»

 

 

 

 

Подметьте закономерность и вычислите  

 

 

 

При каком значении n дробь определена?

 

 

 

Представьте  как  .

 

 

 

Запишите определение в тетрадь.

 

Сверьте полученное определение с данным в учебнике

Используя полученное определение степени с рациональным показателем, выпишите его  информационно-смысловые элементы:

1.  – ______________ (___________)

2. а ________

3.

4.  = ______________

 

Чем обусловлены ограничения в данном определении:

а) р > 0, q > 0, q ≠ 1;

б) a ≥ 0  ?

 

 

Проанализируйте смысл записи .

Прочитайте замечание на стр. 52 учебника

Запишите, если это возможно, в виде корня n-й степени:

 

Используйте определение степени с рациональным показателем

Запишите, если это возможно, корень в виде степени:

 

Используйте определение степени с рациональным показателем

Таблица 3 - Технологическая карта педагогического сопровождения усвоения учащимися с высоким уровнем сформированности познавательной компетентности определения корня с рациональным показателем

Задания

Указания по выполнению заданий

Нам известно определение степени с целым показателем .

23 определяется как 2=8. Какой смысл может быть вложен в запись ?

 

Известно, что справедлива запись:
апишите, чему равно выражение  

Данное выражение определено только для неотрицательного основания степени.

Перенося свойства степени с целым показателем на степень с рациональным показателем (истинность такого переноса будет доказана позже), запишите, чему равно выражение

Выявите, какие ограничения могут накладываться на показатель степени, и сформулируйте определение, что понимается под , где  – обыкновенная дробь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишите определение в тетрадь. Сверьте полученное определение с данным в учебнике

Используя полученное определение степени с рациональным показателем, выпишите его  информационно-смысловые элементы

 

Объясните, чем обусловлены ограничения в определении степени с рациональным показателем

Проанализируйте смысл p и q.

Проанализируйте замечание на стр. 52 учебника

1. Запишите любые четыре числа с рациональным показателем степени в виде корня n-й степени.

2. Запишите, если это возможно, в виде корня n-й степени:

 

Используйте определение степени с рациональным показателем

1. Запишите в виде степени любые три числа, представляющие собой корни n-й степени.

2. Запишите, если это возможно, в виде степени:

 –

Используйте определение степени с рациональным показателем

Анализируя содержания технологических карт (табл. 1-3), нетрудно заметить, что процесс усвоения понятия и его определения направлен на поэтапное формирование навыков узнавания, неосознанного воспроизведения (на уровне памяти), осознанного воспроизведения (на уровне понимания, описания и анализа действия с объектом), применения знаний в знакомой ситуации по образцу, применения знаний в незнакомой ситуации. Тем самым создаются условия для формирования понятия и его определения. При этом алгоритмы учебного процесса старшеклассников определяются уровнем сформированности у них познавательной компетентности и предметной подготовки (табл. 4).

Таблица 4 – Алгоритмы педагогического сопровождения процесса усвоения понятий учащимися в соответствии с уровнем сформированности у них познавательной компетентности и предметной подготовки

Низкий уровень сформированности познавательной компетентности

Средний уровень сформированности познавательной компетентности

Высокий уровень сформированности познавательной компетентности

Постановка проблемы, определение «множества объектов, выделяемых и обобщаемых в понятии» – определение объема понятия

Постановка проблемы, определение объема понятия

Постановка проблемы, определение объема и выявление содержания понятия

Выявление содержания понятия – его существенных свойств

Выявление содержания понятия

Знакомство с формулировкой определения посредством абстрактно-дедуктив­ного метода

Самостоятельная формулировка определения на основе конкретно-индуктивного метода; сравнение полученного определения с эталонным (может не присутствовать, определяется целями и задачами урока)

Самостоятельная формулировка определения на основе конкретно-индуктивного метода с последующим обобщением; сравнение полученного определения с эталонным (может не присутствовать, определяется целями и задачами урока)

Отработка содержания определения посредством запоминания информационно-смысловых элементов, отражающих основные свойства понятия (целесообразно использование элементов программированного обучения)

Отработка учащимся с подсказкой содержания определения посредством выделения информационно-смыс­ловых элементов, отражающих основные свойства понятия

Отработка учащимся без подсказки содержания определения посредством выделения информационно-смысловых элементов, отражающих содержание понятия

Отработка содержания определения на уровне осознанного воспроизведения и применения знаний посредством вариаций с информационно-смысловыми элементами

Отработка содержания определения на уровне осознанного воспроизведения и применения знаний посредством вариаций с информационно-смысловыми элементами

Отработка содержания определения на уровне осознанного воспроизведения и применения знаний посредством вариаций с информационно-смысловыми элементами, творческих заданий

Задания в технологических картах соответствуют «зоне ближайшего саморазвития учащегося», способствуют организации разноуровневой познавательной деятельности старшеклассников и требуют в своем выполнении активизации опыта самостоятельной познавательной деятельности школьников. Предлагаемые учащимся с низким уровнем сформированности познавательной компетентности задания создают условия для работы старшеклассников на репродуктивном и в некоторой степени на частично поисковом уровне познавательной деятельности. Задания в своем большинстве построены на запоминании и действиях по аналогии. Учащимся со средним уровнем сформированности познавательной компетентности предлагаются задания, создающие условия для работы преимущественно на частично-поисковом уровне познавательной самостоятельности. Доля мыслительной самостоятельности возрастает за счет внесения изменения в формулировку условий заданий, придания им определенной нечеткости. Для учащихся с высоким уровнем сформированности личностного опыта самостоятельной познавательной деятельности предлагаются задания и методы работы, выводящие их на исследовательский уровень учебной работы. В частности, используются задания с обобщенными и нечеткими формулировками условия, творческие задания; отдельные этапы усвоения определения протекают в «свернутом виде». Таким образом, при равном объеме содержания усваиваемого понятия стратегии самостоятельной работы учащихся с разными уровнями сформированности познавательной компетентности и математической подготовки различны.

Подводя итог сказанному, отметим, что с определенными модификациями приведенные алгоритмы работы учащихся могут быть перенесены и на организацию учебно-воспитательного процесса по усвоению всех основных дидактических единиц школьного курса математики. Предлагаемая методика инвариантна в своем применении ко многим учебным предметам, составляет, по сути, базис типа обучения, основанного на саморегулируемой познавательной деятельности школьников – компетентностно-ориентирован­ного учебно-воспитательного процесса.

Рецензенты:

Прядёхо А.А., д.п.н., профессор, заместитель директора Научно-исследовательского института фундаментальных и прикладных исследований ФГБОУ ВПО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», г. Брянск;

Шлык В.В., д.п.н., к.ф.-м.н., профессор, советник при ректорате ФГБОУ ВПО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», г. Брянск.


Библиографическая ссылка

Пустовойтов В.Н. ПРОЦЕСС УСВОЕНИЯ ПОНЯТИЙ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ КАК СРЕДА ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ СТАРШЕКЛАССНИКОВ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 5.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=14375 (дата обращения: 21.08.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252