Введение
В настоящий момент наблюдается значительный интерес к исследованию течений в пористых средах, сопровождающихся фазовыми переходами. Это обусловлено необходимостью теоретического изучения большого круга вопросов, возникающих, например, при решении вопросов добычи углеводородного сырья [2, 3]. В частности, многие процессы в нефтегазовой отрасли сопровождаются образованием газогидратов. В настоящий момент гидратообразование носит чаще негативный характер, вследствие аварийных остановок оборудования из-за «склероза». Однако процессы гидратообразования могут иметь и положительный аспект, например, могут быть использованы для увеличения емкости подземных резервуаров для хранения газа [4, 5, 6]. Данная возможность обусловлена резким увеличением содержания газа в газогидратном состоянии [9, 10].
Постановка задачи и основные уравнения
Рассмотрим прямолинейно-параллельную задачу об образовании газогидрата в полубесконечном пористом пласте. Пусть пористый пласт в начальный момент времени насыщен газом и водой, давление 
и температура 
которых в исходном состоянии соответствуют термодинамическим условиям существования гетерегенной смеси газа и воды в свободном состоянии, т.е. 
, где
– равновесное давление, соответствующее исходной температуре . Положим, что через границу пласта нагнетается газ, одноименный исходному, причем его давление 
и температура Te соответствуют термодинамическим условиям образования газогидрата и поддерживаются на этой границе постоянными. При постановке задачи будем полагать, что в результате инжекции газа от границы вглубь пористой среды начинает распространяться фронтальная граница образования гидрата, разделяющая пласт на две области. В ближней области, находящейся вблизи границы пласта, вода полностью перешла в газогидратное состояние, вследствие чего поры насыщены только газом и газогидратом, а в дальней области поры насыщены водой и газом.
Система основных уравнений, описывающая процессы фильтрации и теплопереноса, сопровождающиеся образованием газогидрата в пористой среде представляет собой законы сохранения масс и энергии, закон Дарси и уравнение состояния для газа [8]:
(1)
где m – пористость; G – массовая концентрация газа в гидрате; 
и 
(j = h, l, g) – истинные плотности и насыщенности пор j – ой фазы; 
, 
, 
и 
– соответственно скорость, проницаемость, удельная теплоемкость и динамическая вязкость газа; p – давление; T – температура; 
– удельная теплота гидратообразования; 
и 
– удельная объемная теплоемкость и коэффициент теплопроводности системы; индексы h, l и g относятся к параметрам гидрата, воды и газа соответственно.
На границе между областями для температуры и давления выполняется условие фазового равновесия [7]: 
, (2)
где – исходная температура системы, 
– равновесное давление, соответствующее исходной температуре, 
– эмпирический параметр.
Будем полагать, что в начальный момент давление и температура во всех точках пласта одинаковы: 
.
Условия на границе пласта запишем, полагая, что газ нагнетается при постоянных значениях давления и температуры: 
.
Cистему уравнений (1)после преобразований можно записать в виде:
(3)
(4)
Здесь параметры первой (ближней) и второй (дальней) областей снабжены нижними индексами в скобках i = 1, 2.
Система уравнений для нахождения координаты 
границы фазовых переходов и значений параметров на ней имеет вид:
(5)
Здесь 
– скорость движения границы фазового перехода (нижний индекс s в скобках относится к параметрам на границе гидратообразования)
Автомодельное решение
Сформулированная таким образом задача имеет автомодельное решение. Введем автомодельную переменную 
, где 
– коэффициент температуропроводности.
Тогда уравнение пьезопроводности (3), после применения метода линеаризации Лейбензона [5], запишется следующим образом:
(6)
где 
Уравнение температуропроводности (4) в автомодельных переменных можно представить в виде:
(7)
где 
– число Пекле.
На основе соотношений (5) запишем систему уравнений для нахождения автомодельной координаты 
границы фазовых переходов и значений параметров на ней:
(8)
где 
Проинтегрировав уравнения (6) и (7) можно получить следующие аналитические решения, описывающие распределения давления и температуры в пласте:
(9)
(10)
где 
.
Система граничных условий (8) после подстановки решений (9) и (10) примет вид:
(11)
(12)
Записанная система уравнений может быть решена следующим образом. Выражая из уравнения (11) величину 
и подставляя ее в соотношение (12), получаем с учетом условия (2) трансцендентное уравнение с одной неизвестной 
Решая данное уравнение (например, методом половинного деления), определяем величину 
, а затем находим распределение давления и температуры в первой и второй области, в том числе и значения данных параметров на границе между областями.
Результаты расчетов
Рис. 1. Распределения температуры пласта (1), равновесной температуры (2) и давления.
a – непротиворечивый случай: pe = 5 МПа, Te = 278 К;
b – случай «переохлаждения» воды за фронтом: pe = 6 МПа, Te = 278 К.
На рис. 1a представлены распределения температуры и давления при нагнетании метана под давлением =5 МПа с температурой 
=278 К в пласт с начальным давлением =4 МПа и исходной водонасыщенностью 
= 0,2. Для остальных параметров, характеризующих систему, приняты следующие значения: 
Штриховая линия 2 показывает равновесную температуру, соответствующую полученному распределению давления. Из данного рисунка видно, что температура пласта перед фронтом гидратообразования ниже равновесной температуры, а за фронтом – выше этой температуры. Следовательно, в этом случае решение с фронтальной поверхностью образования гидрата является непротиворечивым.
На рис. 1b приведены распределения температуры и давления при нагнетании метана под давлением 
МПа с температурой 
. В соответствии с рисунком температура пласта за фронтом гидратообразования опускается ниже равновесной температуры (штриховая линия 2), что соответствует переохлаждению воды в этой области. Таким образом, при данном давлении нагнетания газа модель с фронтальной поверхностью образования гидрата не позволяет построить физически непротиворечивое решение. В этом случае для построения термодинамически непротиворечивого решения необходимо рассматривать объемную область образования газогидрата.
Для определения критического значения давления нагнетания газа, при превышении которого фронтальная поверхность переходит в объемную область образования гидрата, были проведены вычислительные эксперименты в широком диапазоне параметров. В результате было установлено, что фронтальный режим реализуется в низкопроницаемых пористых средах, а также в высокотемпературных пластах с низким пластовым давлением.
Выводы
Разработана математическая модель инжекции холодного газа в пористую среду, сопровождающаяся гидратообразованием. Установлено, что образование газогидрата может происходить как на фронтальной поверхности, так и в протяженной области.
Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований.
Рецензенты:
Мустафина С.А., д.ф.-м.н., профессор, декан физико-математического факультета Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета, г. Стерлитамак.
Михайлов П.Н., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Алгебры, геометрии и методики обучения математике» Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета, г. Стерлитамак.