Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,940

THE SOLUTION OF THE FOKKER – PLANCK EQUATION FOR А STOCHASTIC MODEL OF SHORT-TERM TRADING BY DETAILED BALANCE

Kesiyan G.A. 1
1 Kuban State University
In the article a detailed solution of the Fokker – Planck equation for the short-term trading model that takes into account the relationship of price and volume of a financial instrument. Solution performed using the method detailed balance. To perform numerical experiments were chosen MICEX Rosneft (ROSN). For the data taken during the period from 11.01.2009 to 03.06.2009 at intervals of 1 day, were picked up the parameters of the model short-term trading, as well as numerical simulation was carried out price, volume and density of the probability distribution using the Euler scheme. In addition, in numerical implementation, as a measure of the level of attraction to the process of describing the scope of a financial instrument, it was proposed to use the average of the sample volumes of the original series. The paper also identified ways to further improve the model and related works.
method of detailed balance.
Fokker-Planck equation
System of stochastic differential equations

Решение уравнения Фоккера – Планка

В работе [3] мы предложили модель финансового инструмента, которая описывается следующей системой стохастических дифференциальных уравнений (СДУ):

, (1)

где δW – это бесконечно малый винеровский «шум», определяемый выражением , – это случайная величина, распределенная по нормальному закону распределения с нулевым математических ожиданием и единичной дисперсией (), X – цена, V –объем и I – открытый интерес некоторого финансового инструмента.

При этом условную плотность распределения вероятностей состояния системы (1) можно найти из уравнения Фоккера – Планка (УФП) [1, 2, 5].

Далее, в работе [4]была построена модель краткосрочной торговли, которуюможно представить следующей системой СДУ:

(2)

Системе (2) соответствует следующее УФП:

, (3)

где .

Для решения данного уравнения воспользуемся принципом детального баланса [2].

УФП (3) можно записать в следующем виде:

(4)

Цена X и объем V являются четными переменными, то есть выполняется равенство:

,

где .

С учетом вышеуказанной четности, необходимые и достаточные условия детального баланса для уравнения Фоккера – Планка следующие:

, (5)

где Ps(x) – стационарная плотность распределения вероятностей, J(x|x´) – вероятность скачка.

В нашем случае x– это вектор, состоящий из цены и объема, то есть , а коэффициенты сноса и диффузии уравнения (4) могут быть записаны в следующей матричной форме:

,

Потребуем выполнение условий детального баланса. Второе уравнение (5) приводит к следующей системе:

(6)

Систему (6) можно переписать в следующем виде:

Умножим первое уравнение на σ2/(σ1X) и вычтем из него второе, получим следующее выражение:

(7)

При этом в качестве второго уравнения системы можно выбрать любое уравнение из (6). Тривиальное решение уравнения (7) Ps=0 нам не подходит, поэтому уравнение (7) даст следующее ограничение на решение:

(8)

Ps найдем из второго уравнения (6).

Общее решение выражается через произвольную функцию сложного аргумента:

(9)

В случае если объем торгов равен нулю V=0, то в модели краткосрочной торговли остается только цена X, распределения вероятностей которой будет иметь логнормальный вид:

(10)

Найдем решение задачи Коши для уравнения (9) с начальным условием (10).

Подставляя в общее решение (9) начальные данные (10), получим:

(11)

Введем следующее обозначение:

,

откуда определяем X:

Отсюда находим функцию F1:

(12)

Итоговое решение получается путем подстановки F1(u) в (9), где u определяется выражением:

Таким образом, с помощью метода детального баланса получили стационарную плотность распределения вероятностей Ps при ограничении (8).

Численные эксперименты

В качестве примера были выбраны акции ММВБ Роснефть (ROSN). Данные были взяты за период с 11.01.2009 по 03.06.2009 с интервалом 1 день. Для процессов, которые определяются первым и вторым уравнением системы (2), были подобранны параметры (µ1=0.00005,µ2=10-8, σ1=0.02,α=1.413·107, β=0.05, σ2=4·106) и с помощью схемы Эйлера получено решение. На рисунке 1 показаны четыре версии процесса, моделирующего цены ROSNв сочетании с исходными данными:

Рис. 1. Моделирование цены

В качестве меры уровня притяжения для процесса, моделирующего объем, было выбрано среднее выборочное ряда V.На рисунке 2 продемонстрировано несколько версий данного процесса, с вышеуказанными параметрами, в сочетании с исходными данными по объему:

Рис. 2. Моделирование объема

Заключение

В данной работе была получена стационарная плотность распределения вероятностей для предложенной в работе [4] модели краткосрочной торговли путем решения УФП с помощью принципа детального баланса.

Для акций ММВБ Роснефть были подобраны параметры краткосрочной модели и осуществлено численное моделирование цены, объема и плотности распределения вероятностей.

При численной реализации в качестве меры уровня притяженияαдля процесса, задаваемого вторым уравнением системы (2), было предложено использовать среднее выборочное ряда V.

Дальнейшие работы могут быть связаны с идентификацией параметров предложенных моделей, вычислением ряда характеристик (среднее, дисперсия и т.д.), построением и решением модели долгосрочной торговли, учитывающей открытый интерес, выводом формул для тестирования переменной структуры параметров моделей. Также перспективным направлением является разработка краткосрочной модели, которая учитывает открытый интерес с использованием лаговых переменных.

Следует отметить, что рассмотренную в работе модель (2) можно улучшить, если в качестве второго уравнения этой системы выбрать логарифмический процесс Орнштейна –Уленбека. Выбор этой модификации будет целесообразен ввиду положительности величины объема.

Рецензенты:

Семенчин Е.А., д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой высшей алгебры и геометрии Кубанского государственного университета, г.Краснодар.

ЛебедевК.А., д.ф.-м.н., профессор кафедры прикладной математики Кубанского государственного университета, г. Краснодар.