Введение
Пусть дано дифференциальное уравнение I порядка:
= F(f, z) . (1)
Рассмотрим более общую постановку задачи, когда правая часть F(f, z) уравнения (1) зависит от некоторого параметра t,
= F(f, z(t), t),
где z(t) = x(t) + iy(t),
причем для любого t выполняются условия теоремы существования и единственности и
f(z(t), t) = u(t) + iv(t) –
решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию:
f(z0) = u0 + iv0,
где f(z0) некоторая функция параметра t (z0 = z(t0)).
Замечание 1. Параметр t может возникнуть либо из-за изменения начальных данных в задаче, либо может играть роль времени, если дифференциальное уравнение возникло в процессе описания какого-либо динамического процесса. К тому же параметр t может быть как действительным, так и комплексным.
1. Теория устойчивости дифференциальных уравнений с параметром на комплексной плоскости
Определение 1. Решение f(z(t), t) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям f(z0) = f0 , называется устойчивым при t є [a;+∞) (a є R), если для любого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что при любом t > а для любого 
(z(t), t), удовлетворяющего условию: ( z0) = 
= 
+ i
выполняется неравенство:
|f(z(t), t) – (z(t), t)| < ε, если |
– | < δ, где f(z(t), t) – решение, соответствующее начальному условию f(z0) = , (z(t), t) – решение, соответствующее начальному условию f(z0) = [3].
2. Асимптотическая устойчивость
Определение 2. Решение f(z(t), t) дифференциального уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если:
1) оно устойчиво по параметру, т. е.:
для любого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что при любом t ≥ a для любого (z(t), t) удовлетворяющего условию: (z0) = = + i выполняется неравенство:
|f(z(t), t) – (z(t), t)| < ε, если |– | < δ;
2) разность между исходным решением и решением с возмущенными начальными данными стремится к 0, при t є [a;+∞) (a є R ):
lim |f(z(t), t) – (z(t), t)| = 0.
t→∞
Замечание 2. В случае асимптотически устойчивого решения при отклонении начальных данных (z0) = на достаточно малую величину δ амплитуда отклонения неограниченно убывает (стремится к 0 при t → + ∞).
Определение 3. Если при сколь угодно малом δ > 0 хотя бы для одного из решений f(z(t), t) неравенства |f(z(t), t) – (z(t), t)| < ε не выполняется, то решение (z(t), t) называется неустойчивым.
Замечание 3. Это первый тип устойчивости дифференциальных уравнений с параметром на комплексной плоскости, он аналогичен устойчивости по Ляпунову для дифференциальных уравнений в действительной области.
Рассмотрим второй тип устойчивости. Рассмотрим ситуацию, когда z(t0) = 
, z(t0) = 
аргумент z принимает близкие, но не совпадающие значения | –|< δ [1; 6].
Определение 4. Решение (z(t), t) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям () = и 
() =
называется устойчивым при t є [a;+∞)
(a є R), если для любого ε > 0 существуют δ1 = δ1 (ε) > 0 и δ2 = δ2 (δ1 (ε)) > 0, такие, что при любом , если | –| < δ2 , то |f() – f()| < δ1 и для любого t > a выполняется неравенство: | (z(t), t) – (z(t), t)| < ε, где (z(t), t) – решение, соответствующее начальному условию f() = , (z(t), t) – решение, соответствующее начальному условию f() = .
Определение 5. Решение (z(t), t) дифференциального уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если:
1) оно устойчиво по параметру, т. е.:
для любого ε > 0 существуют δ1 = δ1 (ε) > 0 и δ2 = δ2 (δ1 (ε)) > 0 , такие, что при любом , если | –| < δ2 , то |f() – f()| < δ1 и для любого t ≥ a выполняется неравенство:
| (z(t), t) – (z(t), t)| < ε;
2) разность между исходным решением и решением с возмущенными начальными данными стремится к 0, при t→ +∞ (a є R ):
lim| (z(t), t) – (z(t), t)| = 0.
t→∞
Замечание 4. В момент времени t = t0 = a аргумент z(t0) принимает разные значения ,, но при этом может совпадать z(a) = = . При совпадении = получаем первый тип устойчивости дифференциального уравнения, и решение будет находиться в ε — окрестности .
Для того чтобы найти решение хотя бы приближенно, надо знать, что оно существует и при данном начальном условии единственно. Для формулировки условия существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка введем ещё одно понятие.
Условие Липшица.
Пусть в области D: { |z0(t) – (t)| ≤ a; |f0(z) – (z)| ≤ b; |t – t0| ≤ T} задана функция F(f, z(t), t), такая, что z0(t), (t) є D и существует некоторая константа K > 0, то
|f0(z(t), t) – (z(t), t)| ≤ K |z0(t) – (t)|.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. О существовании и единственности решения дифференциального уравнения = F(f ,z(t), t) с параметром.
Пусть правая часть F(f ,z(t), t) дифференциального уравнения = F(f, z(t), t) является непрерывной функцией и удовлетворяет условию Липшица по f(z(t), t), тогда дифференциальное уравнение = F(f, z(t), t) в некоторой области D: { |z0(t) – (t)| ≤ a; |f0(z) – (z)| ≤ b; |t – t0| ≤ T } допускает единственное решение f = f(z(t), t), аналитическое внутри круга |z – z0| = h, которое приводит к f0 при z = z0.
Предположение о единственности решения влечет за собой непрерывность и дифференцируемость общего решения f = f(z(t), t) уравнения = F(f, z(t), t).
Теорема 2. О зависимости решения дифференциального уравнения = F(f, z(t), t) от параметра.
Правая часть F(f, z(t), t) дифференциального уравнения (1) непрерывна по всем аргументам в области D: { |z0(t) – (t)| ≤ a; |f0(z) – (z)| ≤ b; |t – t0| ≤ T }, и функция F(f, z(t), t) удовлетворяет условию Липшица по f(z(t), t), а f = f(z(t), t) – решение дифференциального уравнения (1) с начальными условиями f(z0) = f0, определено при |z0(t) – (t)| ≤ a и выполняется условие |f0(z) – (z)| ≤ b, тогда решение f = f(z(t), t) непрерывно зависит от t.
Теорема 3. О дифференцируемости решения дифференциального уравнения
= F(f, z(t), t) по параметру.
Если дано дифференциальное уравнение = F(f ,z(t), t), в котором правая часть F(f ,z(t), t) определена в области D: { |z0(t) – (t)| ≤ a; |f0(z) – (z)| ≤ b; |t – t0| ≤ T } и функция F и ее производные 
по z и 
, …,
по t до p-го порядка (p≥1) непрерывны по совокупности z, f, t и ограничены, то решение f(z(t), t), такое, что f(z0) = f0 и |f0(z) – (z)| ≤ b при |z0(t) – (t)| ≤ a, |t – t0| ≤ T, будет непрерывно дифференцируемо по t до p-го порядка включительно, то есть, 
, …,
непрерывные в D [4].
Следствие. Решение дифференциального уравнения = F(f, z(t), t) непрерывно дифференцируемо по начальным данным.
Далее введем необходимое и достаточное условие устойчивости дифференциального уравнения = F(f ,z(t), t).
Теорема 4. Об устойчивости дифференциального уравнения = F(f ,z(t), t) по параметру.
Решение f(z(t), t) дифференциального уравнения = F(f ,z(t), t) устойчиво тогда и только тогда, когда для всякого t ≥ a в некоторой окрестности точки z0 решение f(z(t)) удовлетворяет неравенству | | < 1 <=> |F(f, z(t), t)| < 1.
В качестве примера рассмотрим уравнение:
– f • ctg z = 
• sin z;
– f • ctg z = 0;
= 
dz;
ln |f| = ln |sin z| + ln c;
f = c • sin z.
Варьируем постоянную
f = c(z) • sin z;
f ′ = c ′(z) • sin z + c(z) • cos z.
Подставляя в исходное уравнение, получаем
c ′(z) • sin z + c(z) • cos z – c(z) • cos z = • sin z;
c ′(z) = 
;
c (z) = • z + c1.
Тогда решение примет вид
f(z) = • z • sin z + c1 • sin z.
Рассмотрим частное решение при c1 = 0 и z є L, где L = {z : |z| < 1} – единичный круг на комплексной плоскости переменного z = x + iy.
Проверим решение на устойчивость, т.е. | 
• sin z | < 1.
Решение f(z, t) — устойчиво, при t ≥ 3.
Рецензенты:
Расулов К.М., д.ф-м.н., профессор Смоленского государственного университета, г. Смоленск.
Евдокимова Г.С., д.п.н., зав. кафедрой прикладной математики, профессор Смоленского государственного университета, г. Смоленск.
Бичурин М.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой ПТРА, Новгородский государственный университет, г. Великий Новгород.