Сетевое издание
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 1,006

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ПАРАМЕТРОМ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Романенкова Ю.С. 1
1 ГБОУ ВПО «Смоленский государственный университет»
В работе рассматривается устойчивость дифференциальных уравнений с параметром на комплексной плоскости. Основным вопросом, изучаемым в данной статье, является вопрос устойчивости и асимптотической устойчивости решений соответствующих дифференциальных уравнений с параметром, а также вопрос существования и единственности решения задачи Коши. В работе сформулированы теоремы о существовании и единственности решения, а также о непрерывности и дифференцируемости решения по параметру и начальным данным. Определяются два типа устойчивости. Первый является переносом классического определения устойчивости на случай уравнения в комплексной области. Второй обобщает классическое определение. Сформулирована теорема об устойчивости, которая относится и к первому, и ко второму типу устойчивости. Данная теорема проиллюстрирована конкретным примером.
дифференцируемость решений.
непрерывность
существование
условие Липшица
неустойчивость
асимптотическая устойчивость
устойчивость
1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – Харьков : ОНТИ, 1939. – 719 с.
2. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. – М. : Наука и Техника, 1979. – 745 с.
3. Пушкарь Е.А. Дифференциальные уравнения : учебное пособие. – М. : МГИУ, 2007. – 254 с.
4. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. – М. : Иностранная литература, 1962. – 362 с.
5. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М. : Мир, 1970. – 720 с.
6. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационные исчисления. – М. : Наука, 1969. - 425 с.

Введение

Пусть дано дифференциальное уравнение I порядка:

= F(f, z) . (1)

Рассмотрим более общую постановку задачи, когда правая часть F(f, z) уравнения (1) зависит от некоторого параметра t,

= F(f, z(t), t),

где z(t) = x(t) + iy(t),

причем для любого t выполняются условия теоремы существования и единственности и

f(z(t), t) = u(t) + iv(t) –

решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию:

f(z0) = u0 + iv0,

где f(z0) некоторая функция параметра t (z0 = z(t0)).

Замечание 1. Параметр t может возникнуть либо из-за изменения начальных данных в задаче, либо может играть роль времени, если дифференциальное уравнение возникло в процессе описания какого-либо динамического процесса. К тому же параметр t может быть как действительным, так и комплексным.

1. Теория устойчивости дифференциальных уравнений с параметром на комплексной плоскости

Определение 1. Решение f(z(t), t) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям f(z0) = f0 , называется устойчивым при t є [a;+∞) (a є R), если для любого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что при любом t > а для любого (z(t), t), удовлетворяющего условию: ( z0) = = + i выполняется неравенство:

|f(z(t), t) – (z(t), t)| < ε, если || < δ, где f(z(t), t) – решение, соответствующее начальному условию f(z0) = , (z(t), t) – решение, соответствующее начальному условию f(z0) = [3].

2. Асимптотическая устойчивость

Определение 2. Решение f(z(t), t) дифференциального уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если:

1) оно устойчиво по параметру, т. е.:

для любого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что при любом t ≥ a для любого (z(t), t) удовлетворяющего условию: (z0) = = + i выполняется неравенство:

|f(z(t), t) – (z(t), t)| < ε, если || < δ;

2) разность между исходным решением и решением с возмущенными начальными данными стремится к 0, при t є [a;+∞) (a є R ):
lim |f(z(t), t) – (z(t), t)| = 0.
t→∞

Замечание 2. В случае асимптотически устойчивого решения при отклонении начальных данных (z0) = на достаточно малую величину δ амплитуда отклонения неограниченно убывает (стремится к 0 при t → + ∞).

Определение 3. Если при сколь угодно малом δ > 0 хотя бы для одного из решений f(z(t), t) неравенства |f(z(t), t) – (z(t), t)| < ε не выполняется, то решение (z(t), t) называется неустойчивым.

Замечание 3. Это первый тип устойчивости дифференциальных уравнений с параметром на комплексной плоскости, он аналогичен устойчивости по Ляпунову для дифференциальных уравнений в действительной области.

Рассмотрим второй тип устойчивости. Рассмотрим ситуацию, когда z(t0) = , z(t0) = аргумент z принимает близкие, но не совпадающие значения ||< δ [1; 6].

Определение 4. Решение (z(t), t) дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям () = и () =называется устойчивым при t є [a;+∞)

(a є R), если для любого ε > 0 существуют δ1 = δ1 (ε) > 0 и δ2 = δ2 (δ1 (ε)) > 0, такие, что при любом , если || < δ2 , то |f() – f()| < δ1 и для любого t > a выполняется неравенство: | (z(t), t) – (z(t), t)| < ε, где (z(t), t) – решение, соответствующее начальному условию f() = , (z(t), t) – решение, соответствующее начальному условию f() = .

Определение 5. Решение (z(t), t) дифференциального уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если:

1) оно устойчиво по параметру, т. е.:

для любого ε > 0 существуют δ1 = δ1 (ε) > 0 и δ2 = δ2 (δ1 (ε)) > 0 , такие, что при любом , если || < δ2 , то |f() – f()| < δ1 и для любого t ≥ a выполняется неравенство:

| (z(t), t) – (z(t), t)| < ε;

2) разность между исходным решением и решением с возмущенными начальными данными стремится к 0, при t→ +∞ (a є R ):

 lim| (z(t), t) – (z(t), t)| = 0.
t→∞

Замечание 4. В момент времени t = t0 = a аргумент z(t0) принимает разные значения ,, но при этом может совпадать z(a) = = . При совпадении = получаем первый тип устойчивости дифференциального уравнения, и решение будет находиться в ε — окрестности .

Для того чтобы найти решение хотя бы приближенно, надо знать, что оно существует и при данном начальном условии единственно. Для формулировки условия существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка введем ещё одно понятие.

Условие Липшица.

Пусть в области D: { |z0(t) – (t)| ≤ a; |f0(z) – (z)| ≤ b; |t – t0| ≤ T} задана функция F(f, z(t), t), такая, что z0(t), (t) є D и существует некоторая константа K > 0, то

|f0(z(t), t) – (z(t), t)| ≤ K |z0(t) – (t)|.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. О существовании и единственности решения дифференциального уравнения = F(f ,z(t), t) с параметром.

Пусть правая часть F(f ,z(t), t) дифференциального уравнения = F(f, z(t), t) является непрерывной функцией и удовлетворяет условию Липшица по f(z(t), t), тогда дифференциальное уравнение = F(f, z(t), t) в некоторой области D: { |z0(t) – (t)| ≤ a; |f0(z) – (z)| ≤ b; |t – t0| ≤ T } допускает единственное решение f = f(z(t), t), аналитическое внутри круга |z – z0| = h, которое приводит к f0 при z = z0.

Предположение о единственности решения влечет за собой непрерывность и дифференцируемость общего решения f = f(z(t), t) уравнения = F(f, z(t), t).

Теорема 2. О зависимости решения дифференциального уравнения = F(f, z(t), t) от параметра.

Правая часть F(f, z(t), t) дифференциального уравнения (1) непрерывна по всем аргументам в области D: { |z0(t) – (t)| ≤ a; |f0(z) – (z)| ≤ b; |t – t0| ≤ T }, и функция F(f, z(t), t) удовлетворяет условию Липшица по f(z(t), t), а f = f(z(t), t) – решение дифференциального уравнения (1) с начальными условиями f(z0) = f0, определено при |z0(t) – (t)| ≤ a и выполняется условие |f0(z) – (z)| ≤ b, тогда решение f = f(z(t), t) непрерывно зависит от t.

Теорема 3. О дифференцируемости решения дифференциального уравнения

= F(f, z(t), t) по параметру.

Если дано дифференциальное уравнение = F(f ,z(t), t), в котором правая часть F(f ,z(t), t) определена в области D: { |z0(t) – (t)| ≤ a; |f0(z) – (z)| ≤ b; |t – t0| ≤ T } и функция F и ее производные по z и , …,по t до p-го порядка (p≥1) непрерывны по совокупности z, f, t и ограничены, то решение f(z(t), t), такое, что f(z0) = f0 и |f0(z) – (z)| ≤ b при |z0(t) – (t)| ≤ a, |t – t0| ≤ T, будет непрерывно дифференцируемо по t до p-го порядка включительно, то есть, , …,непрерывные в D [4].

Следствие. Решение дифференциального уравнения = F(f, z(t), t) непрерывно дифференцируемо по начальным данным.

Далее введем необходимое и достаточное условие устойчивости дифференциального уравнения = F(f ,z(t), t).

Теорема 4. Об устойчивости дифференциального уравнения = F(f ,z(t), t) по параметру.

Решение f(z(t), t) дифференциального уравнения = F(f ,z(t), t) устойчиво тогда и только тогда, когда для всякого t ≥ a в некоторой окрестности точки z0 решение f(z(t)) удовлетворяет неравенству | | < 1 <=> |F(f, z(t), t)| < 1.

В качестве примера рассмотрим уравнение:

– f • ctg z = • sin z;

– f • ctg z = 0;

= dz;

ln |f| = ln |sin z| + ln c;

f = c • sin z.

Варьируем постоянную

f = c(z) • sin z;

f ′ = c ′(z) • sin z + c(z) • cos z.

Подставляя в исходное уравнение, получаем

c ′(z) • sin z + c(z) • cos z – c(z) • cos z = • sin z;

c ′(z) = ;

c (z) = • z + c1.

Тогда решение примет вид

f(z) = • z • sin z + c1 • sin z.

Рассмотрим частное решение при c1 = 0 и z є L, где L = {z : |z| < 1} – единичный круг на комплексной плоскости переменного z = x + iy.

Проверим решение на устойчивость, т.е. | • sin z | < 1.

Решение f(z, t) — устойчиво, при t ≥ 3.

Рецензенты:

Расулов К.М., д.ф-м.н., профессор Смоленского государственного университета, г. Смоленск.

Евдокимова Г.С., д.п.н., зав. кафедрой прикладной математики, профессор Смоленского государственного университета, г. Смоленск.

Бичурин М.И., д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой ПТРА, Новгородский государственный университет, г. Великий Новгород.


Библиографическая ссылка

Романенкова Ю.С. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ПАРАМЕТРОМ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 1. ;
URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=12001 (дата обращения: 22.06.2024).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674