Введение
Известно, что деревянные панели широко используются в отделке помещений. В случае их использования для корректировки тембра издаваемых звуков, подобные конструкции называют акустическими панелями [3]. В работе рассматривается панель, которая крепится к потолку или стенам помещений. Под действием звуковых волн панель начинает вибрировать, при этом максимальная интенсивность этих колебаний будет при совпадении собственных и вынужденных частот (явление резонанса). Вблизи панели, при этом, образуется звуковое поле, в котором происходит перераспределение энергии от одной полуволны колеблющейся конструкции к другой и обратно. В результате энергия звуковых волн не излучается в окружающее пространство, а остается «связанной» с панелью в виде кинетической энергии присоединенной массы некоторого объема воздушной среды, прилегающей к конструкции. Таким образом, осуществляется процесс звукопоглощения в диапазоне низших частот [1, 4]. Однако, начиная с некоторой граничной частоты, может начаться достаточно эффективное звукоизлучение от самой панели, что может негативно повлиять на акустику помещений. Величина этой частоты определяется формулой [5]:
(1)
Здесь Св – скорость звука в воздухе, Сд – скорость звука в древесине панели, h – толщина панели. На этой частоте длина изгибной волны становится равной длине звуковой волны и происходит волновое совпадение, при котором интенсивность изгибных колебаний резко увеличивается. Скорость звука в древесине определяется формулой [6]:
, (2)
где E – модуль упругости вдоль волокон древесины, ρд – плотность древесины.
В строительной акустике качество акустических панелей принято оценивать двояко:
1. Исследование спектра собственных частот панели (рис.1, а).
Известна зависимость, позволяющая определять спектр частот для однородных шарнирно-опертых прямоугольных пластин [3]
(3)
Здесь – m, n = 1, 2, 3, … - числа натурального ряда; b и l - геометрические размеры пластины.
2. Определение низшей частоты упругой системы, состоящей из панели на относе от жесткого основания и упругого акустического объёма, заключенного между панелью и жестким основанием – стена или потолок (рис.2).
Известна эмпирическая зависимость, оценивающая низшую резонансную частоту, упругой системы [5].
(4)
Здесь ρд – плотность древесины, L – расстояние от панели до жесткого основания. При этом формула (4) получена исходя из предположения о геометрической однородности и изотропии конструкционного материала панели. Таким образом, в большинстве случаев, подобная оценка не может являться корректной.
Цель работы
Следовательно, возникает необходимость разработки методики расчета динамического поведения акустической панели, учитывающей влияние анизотропии конструкционных материалов и воздушной полости. Очевидно, для эффективной корректировки акустической характеристики помещения в низкочастотном диапазоне необходимо создание такой конструкции, которая имела бы максимально большое количество собственных частот (плотный спектр), лежащих ниже граничной частоты (1). Это позволило бы наиболее эффективно поглощать энергию звуковых колебаний в диапазоне низших частот.
Расчетные модели упругой и акустической систем
Акустическая панель представляется в виде шарнирно-опертой прямоугольной пластины, изготовленная из дощечек древесины ели, склеенных между собой вдоль волокон. Доски уложены вдоль короткой стороны. Толщина панели составляет h = 28 мм, длина l = 1500 мм, ширина b = 800 мм (рис.1, а). Координата x1 соответствует направлению вдоль волокон древесины, x2 – радиальному направлению, x3 – тангенциальному. Древесина представляется на основании модели ортотропного тела. Физико-механические характеристики древесины выбираются согласно [2]. Задача динамики решается методом конечных элементов (МКЭ) и описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
[M]{
}+ [K]{q}=0. (5)
(6)
Здесь [M], [K] – матрицы масс и жесткости конструкции; [Mf], [Kf] – матрицы масс и жесткости воздушного объема, заключенного между панелью и жесткой стенкой (рис.1, б).
Конечно-элементные соотношения, содержащие аппроксимирующие функции для давления (P) и перемещения (u), записываются в следующем виде
(7)
(8)
Здесь 
– вектор узловых давлений, 
– вектор узловых перемещений, 
и 
– функции формы для давления и перемещения акустического КЭ соответственно.
Для дискретизации пластины используются шестиузловые оболочечные конечные элементы (КЭ) Shell 93 с 6 степенями свободы в узле. Для дискретизации воздушной полости - объемные акустические КЭ Fluid 30. Рассмотрен режим свободных колебаний шарнирно-опертых по контуру акустических панелей и воздушного объема с размерами bXlXL. Результаты решений уравнений (5) и (6) на собственные значения сведены в табл. 1.
Расчетная модель связанной упруго-акустической системы
В матричной форме с учетом МКЭ волновое уравнение уравнение, составленное для связанной упруго-акустической системы будет иметь вид
. (9)
Здесь ρ
– добавленная матрица масс, учитывающая взаимодействие между граничными КЭ акустической полости и КЭ структуры.
При этом
, (10)
где
– это вектор направляющих косинусов нормали к поверхности панели, взаимодействующей с акустической средой, A – площадь панели.
Уравнения движения для КЭ модели панели записываются в виде
. (11)
Здесь 
- вектор нагрузок, инициируемых давлением со стороны акустической полости на поверхность панели, определяется формулой:
, (12)
Учитывая формулировку (12), уравнения динамики акустической полости (6) и структурной модели (11) в связанной постановке запишутся в виде [12]
. (13)
Динамический анализ связанной упруго-акустической системы
Под связанной будем понимать систему (CC), состоящую из двух или более сопряженных областей. При этом для любого момента времени поведение одной системы оказывает влияние на поведение другой и наоборот [8-10]. Анализ проведенных численных исследований для панели с учетом упругости воздушного объема, находящегося между ней и жестким основанием на расстоянии L = 250 мм (рис.1, б), позволил систематизировать полученные результаты в табл. 1. Здесь представлены частоты, находящиеся в акустически важном диапазоне частот до граничной частоты, определяемой по формуле (1). Для расчета граничной частоты принята Св =340 м/c; согласно данным [2] по формуле (2) скорость звука вдоль волокон древесины ели получается Сд = 5697 м/c. Согласно (1) величина граничной частоты 
= 403 Гц. Для идентификации форм колебаний используются буквенные обозначения m, n, k – количество полуволн в направлениях x1, x2, x3.
Таблица 1. Спектр колебаний
|
ПАНЕЛЬ |
ВОЗДУШНЫЙ ОБЪЁМ |
СС |
||||
|
Структурная мода (m, n) |
Частота ν, Гц |
Акустическая мода (m, n, k) |
Частота ω, Гц |
Структурная мода (m, n) |
Акустическая мода (m, n, k) |
Частота p, Гц |
|
(1, 1) |
51,9 |
|
|
(1, 1) |
|
59,9 |
|
(1, 2) |
92,2 |
|
|
(1, 2) |
(0, 1, 0) |
87,4 |
|
|
|
(0, 1, 0) |
111 |
(1, 2) |
(0, 1, 0) |
116 |
|
(1, 3) |
160 |
|
|
(1, 3) |
(0, 1, 0) |
153 |
|
(2, 1) |
178 |
|
|
(2, 1) |
(1, 0, 0) |
176 |
|
(2, 2) |
206 |
|
|
(2, 2) |
(1, 2, 0) |
206 |
|
|
|
(1, 0, 0) |
209 |
(2, 1) |
(1, 0, 0) |
212 |
|
|
|
(0, 2, 0) |
223 |
(1, 3) |
(0, 2, 0) |
225 |
|
|
|
(1, 1, 0) |
236 |
(1, 4) |
(1, 1, 0) |
238 |
|
(1, 4) |
250 |
|
|
(2, 2) |
(2, 2, 0) |
240 |
|
(2, 3) |
263 |
|
|
(2, 3) |
(1, 2, 0) |
268 |
|
|
|
(1, 2, 0) |
305 |
(2, 3) |
(1, 2, 0) |
307 |
|
(2, 4) |
328 |
|
|
(2, 4) |
(1, 2, 0) |
330 |
|
|
|
(0, 3, 0) |
334 |
(1, 4) |
(0, 3, 0) |
336 |
|
(3, 1) |
342 |
|
|
(1, 5) |
(1, 2, 0) |
360 |
|
(1, 5) |
365 |
|
|
(3, 1) |
(1, 2, 0) |
376 |
|
(3, 2) |
382 |
|
|
(3, 2) |
(2, 2, 0) |
393 |
|
|
|
(1, 3, 0) |
395 |
(2, 3) |
(1, 3, 0) |
396 |
Видно существенное (15%) повышение величины низшей собственной частоты для СС при повторении структурной моды парциальной системы. Сопоставление низших форм колебаний представлено на рис.2 и рис.3. При этом структурные и акустические моды CC повторяют моды парциальных систем, которые имеют место в данной частотной области: 2, 3 и 4 собственные частоты СС реагируют по первой акустической моде воздушного объема, 5 и 7 – по второй (рис.2). Структурные формы колебаний также накладываются на акустические моды (рис.3). Взаимодействуя друг с другом, они меняют спектр колебаний СС, делают его качественно (p9 на рис.3) и количественно (табл.1) другим.
Заключение
На базе МКЭ разработана расчетная модель акустической панели на относе от жесткого основания, как связанной упруго-акустической системы. Результаты расчета заметно отличаются от данных, полученных посредством известных соотношений (3) и (4). Установлено, что спектр колебаний СС отличается от парциальных в диапазоне низших частот незначительно.
Рис.2. Акустические моды – поля распределений давления на резонансных частотах воздушного объема и СС
Рис.3. Формы колебаний панели и СС
В диапазоне средних частот выявлены новые устойчивые режимы колебаний для СС и соответственно новые частоты и формы колебаний, существенно отличающиеся от парциальных систем. Структурные моды, находящиеся в этих частотных областях гасятся или видоизменяются. В полосе более высоких частот они вообще перестают реализовываться.
Наличие воздушного промежутка между панелью и жестким основанием увеличивает количество резонансных частот упругой системы и позволяет более эффективно поглощать энергию звуковых колебаний в диапазоне низших и средних частот.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №13-01-97045 р_поволжье_а
Рецензенты:
Иванов С.П., д.т.н., профессор, зав. кафедрой «Сопротивления материалов и прикладной механики» ФГБОУ ВПО «ПГТУ», г. Йошкар-Ола.
Куликов Ю.А., д.т.н., профессор кафедры «Сопротивления материалов и прикладной механики» ФГБОУ ВПО «ПГТУ», г. Йошкар-Ола.