Введение
В середине прошлого века теория транспортных потоков образовала самостоятельную ветвь в прикладной математике. Существует большое количество математических моделей, отличающихся по математическому аппарату и степени детализации, позволяющих решать различные задачи по распределению транспортных потоков внутри сети. Задачи макромоделирования базируются на поиске равновесного распределения потоков, микромоделирование решает проблемы пропускных способностей локальных участков сетей [2]. Из-за различного характера гипотез, закладываемых в макро- и микромодели, задача обмена информацией между ними не решена ни теоретически, ни в виде программных продуктов.
Эффективность решения задачи поиска потокового равновесия во многом зависит от способа аналитического задания функции транспортных затрат. Авторами в работе [3] предложена математическая модель транспортной сети, которая базируется на гипотезе о распределении интервалов по времени по обобщенному закону Эрланга.
Функция распределения обобщенного закона Эрланга
Согласно проведенным авторами исследованиям [5], распределение интервалов по времени между требованиями в транспортном потоке при интенсивности движения по одной полосе до 300 авт/ч хорошо согласуется с законом Эрланга. Однако в более плотных потоках расхождение между теоретическим и эмпирическим распределениями становится существенным. Ряд авторов [1,4] утверждает, что с помощью обобщенного закона Эрланга можно аппроксимировать практически любое распределение случайной величины.
Простым обобщением специального распределения Эрланга порядка 
является случай, при котором показательные распределения длительности стадий имеют различные параметры 
. Преобразование Лапласа функции плотности такого распределения является рациональной функцией и имеет вид:
. (1)
Для получения самой функции плотности распределения 
необходимо разложить (1) на простые дроби с помощью метода неопределенных коэффициентов и найти оригинал по его изображению. В случае, если все параметры 
различны, функция плотности имеет вид:
(2)
Если ввести следующие обозначения: 
, 
,
то функция плотности распределения примет более простой вид:
. (3)
При этих условиях нетрудно определить интегральную функцию распределения:
. (4)
Математическое ожидание для обобщенного закона Эрланга может быть получено с учетом его свойств и определения потока Эрланга:
. (5)
Рассуждая аналогично, получим значение дисперсии для обобщенного закона Эрланга:
. (6)
Определение параметров обобщенного закона Эрланга по экспериментальным данным
Параметры обобщенного закона Эрланга авторы предлагают определять с помощью метода моментов, то есть, приравняв теоретические и эмпирические значения математического ожидания и дисперсии.
Пусть 
, где 
– выборочная средняя случайной величины 
– интервалов между следующими подряд по одной полосе автомобилями; 
– выборочная дисперсия случайной величины . Параметр 
– целое число, большее 
.
Экспериментальные исследования авторов показали, что значение для случайной величины не превышает четырех.
Пусть 
. В этом случае необходимо определить два неизвестных параметра: 
и 
.
При 
.
.
Обозначим 
, тогда 
;
Переменная 
является решением квадратного уравнения:
;
.
Таким образом, при условии 
значения параметров:
, 
. (7)
Найдем отношение 
. Введем обозначение: 
, тогда:
.
Неравенство равносильно следующему: 
.
Последнее условие как раз и гарантирует наличие действительных значений параметров 
.
При 
. Пусть 
, тогда
После элементарных преобразований:
.
Возведем первое уравнение в квадрат и разделим первое уравнение на второе. После упрощения получим квадратное уравнение:
.
При 
корнями уравнения являются:
, (8)
Учтем обозначение , тогда
, при 
.
Условие гарантирует наличие действительных корней.
После этого находим параметр :
. (9)
При 
. Пусть 
.
Составим систему уравнений с двумя неизвестными параметрами и .
Возведем первое уравнение в квадрат и разделим первое уравнение на второе. После элементарных преобразований получим:
.
Это уравнение четвертой степени с симметричными коэффициентами, сводится к квадратному с помощью замены переменной: 
. Следовательно:
При условии 
положительным решением уравнения является:
. (10)
Тогда:
; 
. (11)
Учитывая, что , то есть 
, найдем условие, гарантирующее наличие действительных значений переменной :
, 
.
При 
неравенство выполнено. При 
:
, 
, 
.
Таким образом, условие 
гарантирует наличие действительных значений переменной .
Отметим, что если – целое число, то для всех 
значение 
, а, следовательно, все совпадают. Таким образом, получим специальное распределение Эрланга, подробно рассмотренное в работах [5,6].
Алгоритм проверки гипотезы о виде распределения интервалов по времени по обобщенному закону Эрланга
Адекватность гипотезы о распределении интервалов между автотранспортными средствами по обобщенному закону Эрланга можно проверить по следующему алгоритму:
1) при помощи эксперимента получить зависимость между 
– интервалом (по времени) между двумя последовательными прибытиями автомобилей, двигающихся в данном направлении, и количеством ni таких интервалов, появившихся в результате эксперимента;
2) вычислить эмпирические моменты:
, где 
– объем выборки.
3) найти вероятность pi попадания случайной величины в каждый интервал по формуле:
.
Тогда теоретическое число значений, попавших в интервал , рассчитывается по формуле:
.
4) в качестве меры расхождения эмпирических частот и теоретических используется критерий Пирсона:
( 12)
с (L – 3) степенями свободы.
Также можно использовать критерий Романовского:
, (13)
где К – число разрядов. Если R < 3, то сходимость считается хорошей.
Заключение
Авторами разработана математическая модель транспортной сети, в которой поток на дугах графа задан как функция плотности распределения интервалов по времени между автотранспортными средствами; выведено аналитическое задание функции транспортных затрат при условии справедливости гипотезы о распределении интервалов по времени по обобщенному закону Эрланга. В данной работе приведен метод определения параметров для работы с вышеуказанной моделью.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект р-юг-а-13-08-96502.
Рецензенты:
Атрощенко В.А., д.т.н., профессор, декан факультета компьютерных технологий ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет» Министерства образования и науки РФ, г. Краснодар.
Видовский Л.А., д.т.н., профессор, заведующий кафедрой вычислительной техники и автоматизированных систем управления ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет» Министерства образования и науки РФ, г. Краснодар.