Электронный научный журнал
Современные проблемы науки и образования
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,737

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ШАРНИРНЫХ СТЕРЖНЕЙ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Смирнов Д.А. 1
1 ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева»
Получено выражение для кинетической энергии механической системы шарнирно-соединенных стержней с конечным числом степеней свободы, которая имеет вид незамкнутой кинематической цепи. Выражение для кинетической энергии получено с учетом сложного характера движения стержней. Для получения выражения используются методы теоретической механики и математического анализа. Выражение для кинетической энергии представлено в виде функциональной параметрической зависимости, в которой переменными являются обобщенные координаты системы и их первые производные по времени (обобщенные скорости). В качестве обобщенных координат выбраны углы поворота стержней. Полученная зависимость позволяет на основе уравнений Лагранжа второго рода формировать дифференциальные уравнения движения системы, с целью исследования ее динамики. Зависимость, определенная для кинетической энергии приведена к виду удобному для проведения практических расчетов и их автоматизации. Результаты работы могут быть использованы для разработки математических моделей динамики движения незамкнутых кинематических цепей с конечным числом степеней свободы.
кинетическая энергия
динамика механических систем
уравнения Лагранжа второго рода
1. Бахвалов С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 636 с.
2. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961. 824 с.
3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. 608 с.
4. Панов Ю.Л., Панов А.Ю. Относительное движение в механике. Инженерные задачи. НГТУ им. Р.Е. Алексеева. Нижний Новгород, 2008. 144 с.
5. Попов Е.П., Верещагин А.Ф., Зенкевич С.Л. Манипуляционные роботы: Динамика и алгоритмы. М.: Наука, 1978. 400 с.
6. Смирнов Д.А., Тежикова Н.П. Исследование динамики механической системы шарнирных стержней с двумя степенями свободы // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 10 (15). – С. 3389 – 3393.

Изучение динамики незамкнутых кинематических цепей с конечным числом степеней свободы является актуальной задачей для различных областей науки и техники, например, исследование динамики механических манипуляторов [5]. Одним из распространенных методов формирования математической модели движения таких систем является метод уравнений Лагранжа второго рода [2, 4, 6], для составления которых необходимо выражение для кинетической энергии системы в обобщенных координатах. Поэтому формирование общего выражения для кинетической энергии системы с конечным числом степеней свободы является актуальной задачей.

Цель исследования.

Целью данной работы является получение общего выражения для кинетической энергии механической системы шарнирно-соединенных стержней с конечным числом степеней свободы, схема которой представлена на рис. 1.

 

Рис. 1 – Кинематическая схема

1, 2, 3, … , n – абсолютно-твердые стержни; О, O1, O2, … , On-1 – идеальные шарниры;

                                                                  φ1, φ2, φ3, … ,  φn – углы поворота стержней

 

Материалы и методы.

Рассматривается механическая система, состоящая из n абсолютно-твердых стержней, длины которых обозначим li. Стрежни соединены между собой шарнирами Oi. Стержень 1 закреплен при помощи неподвижного цилиндрического шарнира O.

Система имеет n степеней свободы. В качестве обобщенных координат выбраны углы поворота стержней φi. Таким образом, уравнения Лагранжа II рода можно записать в виде

,                                                         (1)

где φi – обобщенные координаты системы,  – обобщенные скорости, – обобщенные силы, T – кинетическая энергия системы.

            Кинетическая энергия системы определяется как сумма кинетических энергий n стержней по формуле

,                                               (2)

где Ti – кинетическая энергия i-го стержня.

            В работе [6] получены выражения для кинетических энергий стержня 1 и стержня 2:

;                                                                (3)

,                                (4)

где m1 и m2 – массы стержней 1 и 2 соответственно.

            Кинетическая энергия произвольного i-го стержня (для i > 2) может быть определена по формуле [2, 4, 6]

,                                                               (5)

где  – масса k-ой точки i-го стержня,  – вектор скорости k-ой точки i-го стержня.

Скорость  (рис. 2) определяется теоремой сложения скоростей [2]

,                                                 (6)

где  – вектор скорости шарнира О1,  – вектор относительной скорости шарнира О2,  - вектор относительной скорости шарнира Оi-1,  – вектор относительной скорости k-ой точки i-го стержня.

Рис. 2 – Схема к определению вектора скорости

 

Запишем выражение для квадрата скорости

     (7)

Представим выражение (7) в виде

  (8)

Выразим скорость шарнира O1 и относительные скорости через угловые скорости и длины стержней

, ,

, … , ,

,

где rk – расстояние от k-ой точки i-го стержня до полюса Oi-1.

            Подставляя выражения для скоростей в выражение (7) получим

           (9)

            С учетом зависимости (8) выражение (9) может быть записано в сокращенном виде

        (10)

Подставляя (10) в выражение (5), получим выражение для кинетической энергии i-го стержня

(11)

В данном выражении:  – масса i-го стержня,  – статический момент i-го стержня относительно точки Oi-1,  – момент инерции i-го стержня относительно точки Oi-1. Тогда для кинетической энергии i-го стержня получим

                  (12)

            С учетом выражений (2), (3) и (4), кинетическую энергию всей системы представим в виде

,

где Ti определяется по формуле (12).

            Приведем выражение для кинетической энергии системы к виду удобному для упрощения расчетов и возможности их автоматизации

.                                             (13)

Слагаемое A1 определяется выражением:

,

где a1m – коэффициенты, характеризующие инерционные свойства системы, определяемые по формулам:

, , …. , , … , .

Слагаемое A2 определяется выражением:

,

где a2m – коэффициенты, определяемые по формулам:

, , …. ,

, … , .

Слагаемое A3 определяется выражением:

,

где a3m – коэффициенты, определяемые по формулам:

, , …. ,

, … , .

Произвольное слагаемое Ai (для 2 < i < n) определяется выражением

,

где aim – коэффициенты, определяемые по формулам:

, .

Слагаемое An определяется выражением:

.

Результаты и их анализ.

Рассмотрим случай, когда все стержни имеют одинаковые длины (li = l) и массы (mi.=.m). Тогда полученные выражения для Ai упрощаются.

Слагаемое A1 определяется выражением:

,

где a1m – коэффициенты, характеризующие инерционные свойства системы, определяемые по формулам:

, , …. , , … , .

Слагаемое A2 определяется выражением:

,

где a2m – коэффициенты, определяемые по формулам:

, , …. ,, … , .

Слагаемое A3 определяется выражением:

,

где a3m – коэффициенты, определяемые по формулам:

, , …. , , … , .

Произвольное слагаемое Ai (для 2 < i < n) определяется выражением

где aim – коэффициенты, определяемые по формулам:

, .

Слагаемое An определяется выражением:

.

Заключение.

Полученное выражение (13) может быть использовано для определения кинетической энергии механической системы шарнирно-соединенных стержней с конечным числом степеней свободы, для составления дифференциальных уравнений и исследования движения таких систем, а также для разработки методов автоматизации расчетов для задач данного класса.

 

Рецензенты:

Панов А.Ю., д.т.н., заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика», ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева», г. Нижний Новгород;

Иванов А.А., д.т.н., профессор кафедры «Автоматизации машиностроения», ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева», г. Нижний Новгород.


Библиографическая ссылка

Смирнов Д.А. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ШАРНИРНЫХ СТЕРЖНЕЙ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=16593 (дата обращения: 26.08.2019).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252