Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,813

KINETIC ENERGY OF A MECHANICAL SYSTEM OF HINGED ARMS WITH A FINITE NUMBER OF DEGREES OF FREEDOM

Smirnov D.A. 1
1 Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R. E. Alekseev
Получено выражение для кинетической энергии механической системы шарнирно-соединенных стержней с конечным числом степеней свободы, которая имеет вид незамкнутой кинематической цепи. Выражение для кинетической энергии получено с учетом сложного характера движения стержней. Для получения выражения используются методы теоретической механики и математического анализа. Выражение для кинетической энергии представлено в виде функциональной параметрической зависимости, в которой переменными являются обобщенные координаты системы и их первые производные по времени (обобщенные скорости). В качестве обобщенных координат выбраны углы поворота стержней. Полученная зависимость позволяет на основе уравнений Лагранжа второго рода формировать дифференциальные уравнения движения системы, с целью исследования ее динамики. Зависимость, определенная для кинетической энергии приведена к виду удобному для проведения практических расчетов и их автоматизации. Результаты работы могут быть использованы для разработки математических моделей динамики движения незамкнутых кинематических цепей с конечным числом степеней свободы.
An expression is set for the kinetic energy of a mechanical system of pin-jointed arms with a finite number of degrees of freedom that has the form of an open kinematic chain. The expression for the kinematic energy is set consistent with a complex character of the arms movement. The methods of theoretical mechanics and mathematical analysis are used to set up the expression. The kinematic energy expression is presented in the form of a functional parametric dependence, where generalized system coordinates are the variables as well as their first time derivatives (generalized velocities). Angles of rotation of the arms are chosen as the generalized coordinates. The resulted dependence allows forming differential equations for the system movement basing on Lagrange`s equations of the second kind, for the purpose of studying of the dynamics of the system. The dependence defined for the kinetic energy is transformed to facilitate practical calculations and their automation. The results of this research can be used to set up mathematical models of motional dynamics of open kinematic chains with a finite number of degrees of freedom.
Kinetic energy
dynamics of mechanical systems
Lagrange`s equations of the second kind.

Изучение динамики незамкнутых кинематических цепей с конечным числом степеней свободы является актуальной задачей для различных областей науки и техники, например, исследование динамики механических манипуляторов [5]. Одним из распространенных методов формирования математической модели движения таких систем является метод уравнений Лагранжа второго рода [2, 4, 6], для составления которых необходимо выражение для кинетической энергии системы в обобщенных координатах. Поэтому формирование общего выражения для кинетической энергии системы с конечным числом степеней свободы является актуальной задачей.

Цель исследования.

Целью данной работы является получение общего выражения для кинетической энергии механической системы шарнирно-соединенных стержней с конечным числом степеней свободы, схема которой представлена на рис. 1.

 

Рис. 1 – Кинематическая схема

1, 2, 3, … , n – абсолютно-твердые стержни; О, O1, O2, … , On-1 – идеальные шарниры;

                                                                  φ1, φ2, φ3, … ,  φn – углы поворота стержней

 

Материалы и методы.

Рассматривается механическая система, состоящая из n абсолютно-твердых стержней, длины которых обозначим li. Стрежни соединены между собой шарнирами Oi. Стержень 1 закреплен при помощи неподвижного цилиндрического шарнира O.

Система имеет n степеней свободы. В качестве обобщенных координат выбраны углы поворота стержней φi. Таким образом, уравнения Лагранжа II рода можно записать в виде

,                                                         (1)

где φi – обобщенные координаты системы,  – обобщенные скорости, – обобщенные силы, T – кинетическая энергия системы.

            Кинетическая энергия системы определяется как сумма кинетических энергий n стержней по формуле

,                                               (2)

где Ti – кинетическая энергия i-го стержня.

            В работе [6] получены выражения для кинетических энергий стержня 1 и стержня 2:

;                                                                (3)

,                                (4)

где m1 и m2 – массы стержней 1 и 2 соответственно.

            Кинетическая энергия произвольного i-го стержня (для i > 2) может быть определена по формуле [2, 4, 6]

,                                                               (5)

где  – масса k-ой точки i-го стержня,  – вектор скорости k-ой точки i-го стержня.

Скорость  (рис. 2) определяется теоремой сложения скоростей [2]

,                                                 (6)

где  – вектор скорости шарнира О1,  – вектор относительной скорости шарнира О2,  - вектор относительной скорости шарнира Оi-1,  – вектор относительной скорости k-ой точки i-го стержня.

Рис. 2 – Схема к определению вектора скорости

 

Запишем выражение для квадрата скорости

     (7)

Представим выражение (7) в виде

  (8)

Выразим скорость шарнира O1 и относительные скорости через угловые скорости и длины стержней

, ,

, … , ,

,

где rk – расстояние от k-ой точки i-го стержня до полюса Oi-1.

            Подставляя выражения для скоростей в выражение (7) получим

           (9)

            С учетом зависимости (8) выражение (9) может быть записано в сокращенном виде

        (10)

Подставляя (10) в выражение (5), получим выражение для кинетической энергии i-го стержня

(11)

В данном выражении:  – масса i-го стержня,  – статический момент i-го стержня относительно точки Oi-1,  – момент инерции i-го стержня относительно точки Oi-1. Тогда для кинетической энергии i-го стержня получим

                  (12)

            С учетом выражений (2), (3) и (4), кинетическую энергию всей системы представим в виде

,

где Ti определяется по формуле (12).

            Приведем выражение для кинетической энергии системы к виду удобному для упрощения расчетов и возможности их автоматизации

.                                             (13)

Слагаемое A1 определяется выражением:

,

где a1m – коэффициенты, характеризующие инерционные свойства системы, определяемые по формулам:

, , …. , , … , .

Слагаемое A2 определяется выражением:

,

где a2m – коэффициенты, определяемые по формулам:

, , …. ,

, … , .

Слагаемое A3 определяется выражением:

,

где a3m – коэффициенты, определяемые по формулам:

, , …. ,

, … , .

Произвольное слагаемое Ai (для 2 < i < n) определяется выражением

,

где aim – коэффициенты, определяемые по формулам:

, .

Слагаемое An определяется выражением:

.

Результаты и их анализ.

Рассмотрим случай, когда все стержни имеют одинаковые длины (li = l) и массы (mi.=.m). Тогда полученные выражения для Ai упрощаются.

Слагаемое A1 определяется выражением:

,

где a1m – коэффициенты, характеризующие инерционные свойства системы, определяемые по формулам:

, , …. , , … , .

Слагаемое A2 определяется выражением:

,

где a2m – коэффициенты, определяемые по формулам:

, , …. ,, … , .

Слагаемое A3 определяется выражением:

,

где a3m – коэффициенты, определяемые по формулам:

, , …. , , … , .

Произвольное слагаемое Ai (для 2 < i < n) определяется выражением

где aim – коэффициенты, определяемые по формулам:

, .

Слагаемое An определяется выражением:

.

Заключение.

Полученное выражение (13) может быть использовано для определения кинетической энергии механической системы шарнирно-соединенных стержней с конечным числом степеней свободы, для составления дифференциальных уравнений и исследования движения таких систем, а также для разработки методов автоматизации расчетов для задач данного класса.

 

Рецензенты:

Панов А.Ю., д.т.н., заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика», ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева», г. Нижний Новгород;

Иванов А.А., д.т.н., профессор кафедры «Автоматизации машиностроения», ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева», г. Нижний Новгород.