Scientific journal
Modern problems of science and education
ISSN 2070-7428
"Перечень" ВАК
ИФ РИНЦ = 0,791

DETERMINATION OF THE PARAMETERS OF MASSIVE CONDUCTORS AT PERIODICALLY CURENTS

Nosov G.V. 1
1 Tomsk Polytechnic University
Предложена методика для аналитического определения эквивалентных параметров массивных проводников с учетом поверхностного эффекта и нагрева в установившемся режиме при периодических токах, которая может использоваться для инженерного расчета обмоток электрических машин, трансформаторов и устройств индукционного нагрева, а также шинопроводов электропитания разнообразных электроэнергетических установок. Периодический ток представляется в виде постоянной составляющей и отдельных гармоник, а поверхностный эффект учитывается от действия этих гармоник при диффузии их электромагнитных полей в проводящее полупространство. При этом определяются такие эквивалентные параметры массивных проводников как толщина скин-слоя и его температура, сопротивление и внутренняя индуктивность. Эти параметры зависят от удельной проводимости и магнитной проницаемости, частоты первой гармоники, постоянной составляющей и действующих значений гармоник тока, периметра и площади поперечного сечения, температурного коэффициента и теплообмена с окружающей средой.
The method proposed for the analytical determination the equivalent parameter of massive conductors with regard of skin effect and heating in the steady state at periodically currents, which can be used for engineering calculations windings of electrical machines, transformers and induction heating devices, as well as various electric power busbar systems. Periodic current is represented as a constant component and individual harmonics, and skin effect is taken into account by the actions of these harmonics with their diffusion of electromagnetic fields in the conducting half space. It identifies the equivalent parameters of massive conductors such as thickness of the skin layer and its temperature, resistance and internal inductance. These parameters depend on the conductivity and permeability, the frequency of the first harmonic component, constant component and valid values of current harmonics, perimeter and cross-sectional area, temperature coefficient and heat transfer with the environment.
the thickness of the skin layer
massive conductor
the magnetic permeability
conductivity
temperature
resistance
inductance

Расчет многих электротехнических устройств предполагает необходимость учета поверхностного эффекта в массивных проводниках в установившемся режиме при периодических токах. В этих устройствах массивными проводниками могут быть обмотки электрических машин, трансформаторов и устройств индукционного нагрева, а также шинопроводы электропитания разнообразных электроэнергетических установок.

Учет поверхностного эффекта существенно упрощается с использованием таких эквивалентных параметров массивных проводников как глубина проникновения электромагнитного поля в проводник (толщина скин-слоя) и его температура, сопротивление и внутренняя индуктивность [1–6].

Поэтому расчет эквивалентных параметров массивных проводников с учетом поверхностного эффекта и нагрева в установившемся режиме при периодических токах представляется актуальной задачей.

Цель данной работы заключается в получении аналитических формул для инженерного расчета эквивалентных параметров массивных проводников с учетом их нагрева в установившемся режиме.

Допущения

Для получения расчетных формул сделаем следующие допущения.

1. Вся толща проводника характеризуется постоянными значениями температуры (°С), магнитной проницаемости (Гн/м) и удельной проводимости (1/Ом·м), причем [6]:

, (1)

где – удельная проводимость при температуре окружающей среды (°С);

– постоянный температурный коэффициент (1/°С).

2. Растекание тока вдоль проводника (краевой эффект) и влияние соседних проводников с токами (эффект близости) учитывать не будем, считая при этом, что площадь поперечного сечения проводника S0 (м2) и его внешний периметр (м) постоянны.

3. Коэффициент теплообмена поверхности проводника с окружающей средой [Вт/(м2 °С)] неизменен и определяется условиями теплоотвода благодаря конвекции и теплоизлучению [6].

4. Размеры массивных проводников и радиусы кривизны их поверхности существенно превосходят глубину проникновения в них электромагнитного поля, изменяющегося c частотой f, поэтому будем исходить из представления о плоской одномерной электромагнитной волне, проникающей в проводящее полупространство перпендикулярно его поверхности и полностью затухающей в его теле [1, 5].

Методика расчета

В самом общем случае периодический ток в проводнике может быть представлен так [3]:

(2)

при активной потребляемой мощности

, (3)

где R0 и Rk – активные сопротивления массивного проводника постоянной составляющей I0 и k-гармонике тока соответственно;

Ik – действующее значение k-гармоники тока;

n – число учитываемых гармоник.

При этом для инженерных вычислений может быть использован метод эквивалентных синусоид [4], когда ток и напряжение, записанные в виде:

(4)

отражают результирующее энергетическое воздействие тока (2) на проводник, характеризуемое активной мощностью:

, (5)

и следующими действующими значениями эквивалентных синусоид:

; , (6)

где R и L – активное сопротивление и внутренняя индуктивность проводника эквивалентной синусоиде тока;

L0 – индуктивность внешнего магнитного поля;

– угловая частота эквивалентной синусоиды (первой гармоники) тока.

Для метода эквивалентных синусоид были бы удобны аналитические выражения для эквивалентных параметров массивных проводников R0, R и L, учитывающие поверхностный эффект и нагрев проводника, а также гармонический состав тока. Для этого подобно синусоидальному режиму [1, 2, 5] запишем для несинусоидального тока (2):

; ; , (7)

где – длина проводника;

ΔR и ΔL – эквивалентная толщина скин-слоя для эквивалентной синусоиды тока и для её магнитной энергии соответственно.

При этом для первой гармоники тока с угловой частотой активное сопротивление и внутренняя индуктивность согласно (7) и [1, 2, 5] составят:

; , (8)

где – эквивалентная глубина проникновения в проводник как проводящее полупространство первой гармоники тока.

Очевидно, при увеличении угловой частоты в k-раз эти величины для гармоник тока составят

; . (9)

Далее воспользуемся активной и реактивной мощностью для эквивалентной синусоиды тока

; , (10)

которые на основании (3, 5, 8, 9) представим так

(11)

С учетом выражений (6, 7, 8, 10, 11) имеем

; , (12)

где через N обозначен безразмерный параметр:

. (13)

Из соотношения (13) нетрудно заметить, что , причем этот параметр тем больше, чем существеннее несинусоидальность тока. Величина N не зависит от начальных фаз гармоник тока, а определяется лишь их действующими значениями. При этом из выражений (12) следует, что чем заметнее несинусоидальность, тем меньше эквивалентная толщина скин-слоя для эквивалентной синусоиды тока ΔR и больше эквивалентная толщина скин-слоя для её магнитной энергии ΔL. Однако, как и для синусоидального тока выполняется известное равенство для проводящего полупространства [5]:

,

т.е. с увеличением несинусоидальности одинаково возрастают активное и индуктивное сопротивления массивного проводника.

Для определения температуры проводника θ воспользуемся уравнением теплового баланса [6]:

(14)

и соотношениями (1, 3, 5, 6, 7, 12, 13), на основании которых при коэффициенте теплообмена

(15)

получаем установившуюся температуру проводника

(16)

при расчетных параметрах

; (17)

и эквивалентной глубине проникновения в проводник первой гармоники тока при температуре проводника, равной температуре окружающей среды :

. (18)

Результаты расчета

По формулам (1–18) для периодических токов с амплитудой (А) и периодом T проведены расчеты эквивалентных параметров массивного проводника из отожженной меди с параметрами [6, 7]: (Гн/м); (°С); (См/м); (1/°С); [Вт/(м2 °С)]; (м); (м); (м2); (Гц); (с); (1/с); (мм).

1. При переменном токе (рис. 1)

и N=1 результаты расчета приведены в табл. 1.

2. Для тока в виде однополярных прямоугольных периодических импульсов длительностью τ (рис. 2) при скважности

и постоянной составляющей

,

для действующих значений гармоник [3]

и результаты расчета приведены в табл. 2.

Рис. 1. Переменный ток: Im – амплитуда; I0 – постоянная составляющая; T – период

Таблица 1

Параметры массивного проводника из отожженной меди при переменном токе с амплитудой (А), при частоте (Гц) и N=1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,999

°С

167

112

85

80

99

157

0,612

0,717

0,783

0,796

0,746

0,630

мм

11,95

11,04

10,56

10,48

10,82

11,77

мм

5,97

5,52

5,28

5,24

5,41

5,88

R0

мкОм

2,82

2,41

2,20

2,17

2,31

2,74

R

мкОм

5,90

5,45

5,21

5,17

5,34

5,81

L

мкГн

0,019

0,017

0,017

0,016

0,017

0,018

Рис. 2. Однополярные прямоугольные периодические импульсы тока: – длительность импульсов

Таблица 2

Параметры массивного проводника из отожженной меди при однополярных прямоугольных периодических импульсах тока с амплитудой (А) и при частоте (Гц)

32

16

8

4

2

1,02

0,031

0,063

0,125

0,250

0,500

0,980

N

3,429

2,542

1,919

1,511

1,334

4,205

°С

45

57

75

103

149

186

0,903

0,862

0,808

0,736

0,643

0,583

мм

2,87

3,96

5,42

7,209

8,74

2,91

мм

16,87

12,80

9,98

8,231

7,77

25,73

R0

мкОм

1,91

2,00

2,14

2,34

2,68

2,96

R

мкОм

16,65

12,63

9,85

8,12

7,67

25,40

L

мкГн

0,053

0,040

0,031

0,026

0,024

0,081

Заключение

1. Предложена методика для аналитического определения эквивалентных параметров массивных проводников с учетом поверхностного эффекта и нагрева в установившемся режиме при периодических токах, которая может использоваться для инженерного расчета обмоток электрических машин, трансформаторов и устройств индукционного нагрева, а также шинопроводов электропитания разнообразных электроэнергетических установок.

2. Температура массивного проводника, эквивалентная толщина скин-слоя для эквивалентной синусоиды тока и для её магнитной энергии, сопротивление и внутренняя индуктивность зависят от удельной проводимости и магнитной проницаемости, частоты первой гармоники, постоянной составляющей и действующих значений гармоник тока, периметра и площади поперечного сечения, температурного коэффициента и теплообмена с окружающей средой.

3. Разработанная методика может использоваться для расчета эквивалентных параметров неферромагнитных и ферромагнитных массивных проводников при постоянной магнитной проницаемости и периодических токах любой формы, в том числе и синусоидальной.

Рецензенты:

Усов Ю.П., д.т.н., профессор кафедры ЭСиЭ ЭНИН ФГАОУ ВО НИ ТПУ, Национальный исследовательский Томский политехнический университет, г. Томск;

Канев Ф.Ю., д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник института оптики атмосферы им. В. Е. Зуева СО РАН, г. Томск.