Расчет многих электротехнических устройств предполагает необходимость учета поверхностного эффекта в массивных проводниках в установившемся режиме при периодических токах. В этих устройствах массивными проводниками могут быть обмотки электрических машин, трансформаторов и устройств индукционного нагрева, а также шинопроводы электропитания разнообразных электроэнергетических установок.

Учет поверхностного эффекта существенно упрощается с использованием таких эквивалентных параметров массивных проводников как глубина проникновения электромагнитного поля в проводник (толщина скин-слоя) и его температура, сопротивление и внутренняя индуктивность [1–6].

Поэтому расчет эквивалентных параметров массивных проводников с учетом поверхностного эффекта и нагрева в установившемся режиме при периодических токах представляется актуальной задачей.

Цель данной работы заключается в получении аналитических формул для инженерного расчета эквивалентных параметров массивных проводников с учетом их нагрева в установившемся режиме.

Допущения

Для получения расчетных формул сделаем следующие допущения.

1. Вся толща проводника характеризуется постоянными значениями температуры (°С), магнитной проницаемости (Гн/м) и удельной проводимости (1/Ом·м), причем [6]:

, (1)

где – удельная проводимость при температуре окружающей среды (°С);

– постоянный температурный коэффициент (1/°С).

2. Растекание тока вдоль проводника (краевой эффект) и влияние соседних проводников с токами (эффект близости) учитывать не будем, считая при этом, что площадь поперечного сечения проводника S0 (м2) и его внешний периметр (м) постоянны.

3. Коэффициент теплообмена поверхности проводника с окружающей средой [Вт/(м2 °С)] неизменен и определяется условиями теплоотвода благодаря конвекции и теплоизлучению [6].

4. Размеры массивных проводников и радиусы кривизны их поверхности существенно превосходят глубину проникновения в них электромагнитного поля, изменяющегося c частотой f, поэтому будем исходить из представления о плоской одномерной электромагнитной волне, проникающей в проводящее полупространство перпендикулярно его поверхности и полностью затухающей в его теле [1, 5].

Методика расчета

В самом общем случае периодический ток в проводнике может быть представлен так [3]:

(2)

при активной потребляемой мощности

, (3)

где R0 и Rk – активные сопротивления массивного проводника постоянной составляющей I0 и k-гармонике тока соответственно;

Ik – действующее значение k-гармоники тока;

n – число учитываемых гармоник.

При этом для инженерных вычислений может быть использован метод эквивалентных синусоид [4], когда ток и напряжение, записанные в виде:

(4)

отражают результирующее энергетическое воздействие тока (2) на проводник, характеризуемое активной мощностью:

, (5)

и следующими действующими значениями эквивалентных синусоид:

; , (6)

где R и L – активное сопротивление и внутренняя индуктивность проводника эквивалентной синусоиде тока;

L0 – индуктивность внешнего магнитного поля;

– угловая частота эквивалентной синусоиды (первой гармоники) тока.

Для метода эквивалентных синусоид были бы удобны аналитические выражения для эквивалентных параметров массивных проводников R0, R и L, учитывающие поверхностный эффект и нагрев проводника, а также гармонический состав тока. Для этого подобно синусоидальному режиму [1, 2, 5] запишем для несинусоидального тока (2):

; ; , (7)

где – длина проводника;

ΔR и ΔL – эквивалентная толщина скин-слоя для эквивалентной синусоиды тока и для её магнитной энергии соответственно.

При этом для первой гармоники тока с угловой частотой активное сопротивление и внутренняя индуктивность согласно (7) и [1, 2, 5] составят:

; , (8)

где – эквивалентная глубина проникновения в проводник как проводящее полупространство первой гармоники тока.

Очевидно, при увеличении угловой частоты в k-раз эти величины для гармоник тока составят

; . (9)

Далее воспользуемся активной и реактивной мощностью для эквивалентной синусоиды тока

; , (10)

которые на основании (3, 5, 8, 9) представим так

(11)

С учетом выражений (6, 7, 8, 10, 11) имеем

; , (12)

где через N обозначен безразмерный параметр:

. (13)

Из соотношения (13) нетрудно заметить, что , причем этот параметр тем больше, чем существеннее несинусоидальность тока. Величина N не зависит от начальных фаз гармоник тока, а определяется лишь их действующими значениями. При этом из выражений (12) следует, что чем заметнее несинусоидальность, тем меньше эквивалентная толщина скин-слоя для эквивалентной синусоиды тока ΔR и больше эквивалентная толщина скин-слоя для её магнитной энергии ΔL. Однако, как и для синусоидального тока выполняется известное равенство для проводящего полупространства [5]:

,

т.е. с увеличением несинусоидальности одинаково возрастают активное и индуктивное сопротивления массивного проводника.

Для определения температуры проводника θ воспользуемся уравнением теплового баланса [6]:

(14)

и соотношениями (1, 3, 5, 6, 7, 12, 13), на основании которых при коэффициенте теплообмена

(15)

получаем установившуюся температуру проводника

(16)

при расчетных параметрах

; (17)

и эквивалентной глубине проникновения в проводник первой гармоники тока при температуре проводника, равной температуре окружающей среды :

. (18)

Результаты расчета

По формулам (1–18) для периодических токов с амплитудой (А) и периодом T проведены расчеты эквивалентных параметров массивного проводника из отожженной меди с параметрами [6, 7]: (Гн/м); (°С); (См/м); (1/°С); [Вт/(м2 °С)]; (м); (м); (м2); (Гц); (с); (1/с); (мм).

1. При переменном токе (рис. 1)

и N=1 результаты расчета приведены в табл. 1.

2. Для тока в виде однополярных прямоугольных периодических импульсов длительностью τ (рис. 2) при скважности

и постоянной составляющей

,

для действующих значений гармоник [3]

и результаты расчета приведены в табл. 2.

Рис. 1. Переменный ток: Im – амплитуда; I0 – постоянная составляющая; T – период

Таблица 1

Параметры массивного проводника из отожженной меди при переменном токе с амплитудой (А), при частоте (Гц) и N=1

Рис. 2. Однополярные прямоугольные периодические импульсы тока: – длительность импульсов

Таблица 2

Параметры массивного проводника из отожженной меди при однополярных прямоугольных периодических импульсах тока с амплитудой (А) и при частоте (Гц)

Заключение

1. Предложена методика для аналитического определения эквивалентных параметров массивных проводников с учетом поверхностного эффекта и нагрева в установившемся режиме при периодических токах, которая может использоваться для инженерного расчета обмоток электрических машин, трансформаторов и устройств индукционного нагрева, а также шинопроводов электропитания разнообразных электроэнергетических установок.

2. Температура массивного проводника, эквивалентная толщина скин-слоя для эквивалентной синусоиды тока и для её магнитной энергии, сопротивление и внутренняя индуктивность зависят от удельной проводимости и магнитной проницаемости, частоты первой гармоники, постоянной составляющей и действующих значений гармоник тока, периметра и площади поперечного сечения, температурного коэффициента и теплообмена с окружающей средой.

3. Разработанная методика может использоваться для расчета эквивалентных параметров неферромагнитных и ферромагнитных массивных проводников при постоянной магнитной проницаемости и периодических токах любой формы, в том числе и синусоидальной.

Рецензенты:

Усов Ю.П., д.т.н., профессор кафедры ЭСиЭ ЭНИН ФГАОУ ВО НИ ТПУ, Национальный исследовательский Томский политехнический университет, г. Томск;

Канев Ф.Ю., д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник института оптики атмосферы им. В. Е. Зуева СО РАН, г. Томск.