Используя понятие С-точной пары [4], мы доказали [2], [4], что условие Коши сходимости числовая последовательность (a) можно записать в эквивалентной и соответствующей определению Э. Вайс-штейна [12, p. 355] следующей форме
(0.1)
Там же предельное значение неограниченной конечным числом последовательности Коши (a) мы назвали бесконечно большим числом Ω(a) и { Ω(a) } Ω.
1. О достаточности необходимого признака сходимости числового ряда
Обозначим символом Zn сумму n первых членов ai числовой последовательности
(а) (a 1, a2, •••, an,....), n ∈N: a 1 +a2 +.....an, а символом Sn - число, равное значению суммы . Так что
∑n+1 = Σn + an+1 и Sn+1 = Sn + an+1 , n ∈N. (1.1)
Определение 1.1. Числовым рядом, определяемым последовательностью (a), назовём пару последовательностей (Σn) и (Sn), заданных посредством (1.1), и будем писать
a 1 +a2 +............... + an+ А. (1.2)
Ниже суммирование у символа Σ предполагается, по умолчанию, от 1 до ∞, что означает неограниченную возможность перехода от суммы Σn к сумме Σn+1. Равенство an = f(n), n ∈N, называют также формулой общего члена ряда А.
Определение 1.2. Числовой ряд А называется сходящимся к числу А, если к этому числу сходится числовая последовательность (Sn) значений Sn частичных сумм Σn этого ряда. Предельное значение А последовательности (Sn) называют суммой ряда А и пишут
limSn = A. (1.3)
Если предел (1.3) не существует или равен ±<х>, то соответствующий ряд А называ-ется в анализе расходящимся. Из множества расходящихся в классическом смысле числовых рядов мы выделяем класс рядов, для каждого из которых числовая последова-тельность (Sn) значений Sn частичных сумм Σn сходится к соответствующему бесконечно большому числу (ББЧ) Ω(a) .
Необходимым для (1.3) является выполнение очевидного равенства
(1.4)
Равенство (1.2) можно записать в следующем виде
(А)= Σ an =(a1+a2 +..........+an) + () Σn + ρn. (1.5)
Бесконечную сумму ρn в (1.5), называемую n-м остатком ряда А, обычно не отличают при записи от её значения rn. Тривиальность предела последовательности ( rn ) значений rn остатков ρn ряда А является как и (1.4) необходимым для существова-ния суммы ряда А, то есть для предельного равенства (1.3):
limrn = 0. (1.3')
Необходимые признаки (1.4) и (1.3') объединяет ниже Теорема 1.1 [1 p. 12].
Теорема 1.1. Для произвольного числового ряда Σan справедлива при n →∞ следующая эквивалентность:
(rn →0)<=>(an →0).
• Так как an = rn-1-rn , то, очевидно, что (rn →0)=>(an →0). Пусть, далее, и , p > k , суть значения соответствующих частичных сумм и Σk ряда (A) и Σk ⊂ Σp. Если ,то для каждого k остаток ряда и . Здесь, не нарушая общности рассуждений, пару (k, p) переменных k и p можно считать С-точной парой [4] и принять, например, p=k+q(K), где 0 < q(k) < C . Поэтому в силу (1.4)
= (ak+1 + ak+2 +... + ak+q(k) ) =0. ■
У другой формулировки Теоремы 1.1 доказательство короче.
Теорема 1.2. Необходимое условие сходимости числового ряда является достаточным условием его сходимости.
• Предельное равенство lim( Sn- Sn_1 )= lim an =0 есть условие (0.1) фундаментальности последовательности (Sn) значении Sn частичных сумм Σ n числового ряда A. Поэтому для такого ряда справедливо предельное равенства (1.3), где А есть либо конечное число, либо равно некоторому ББЧ. И, значит, rn ->0. ■
2. О сходимости знакопеременных рядов
Числовой ряд A = Σ an называется знакопеременным, если количества его как положительных, так и отрицательных слагаемых не ограниченны. Такой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его слагаемых. В противном случае говорят об «условной» или «неабсолютной» сходимости знакопеременного ряда. Очевидно, что абсолютно сходящиеся ряды сходятся «быстрее», чем условно сходящиеся, что мы и покажем на Примере 3.3.
В своей диссертации Бернгард Риман излагает [5, I. XII. 3] одно из свойств знакопеременных рядов следующим образом:
«... бесконечные ряды разделяются на два существенно различных класса, смотря потому, остаются ли они сходя-щимися, если сделать все слагаемые положительными, или же этого нет. В пер-вом случае члены ряда могут быть как угодно переставляемы, во втором же сумма ряда, напротив, зависит от поряд-ка членов. В самом деле, пусть в ряде второго класса положительные члены будут
a 1, a2, a3, ..., а отрицательные -b 1, -b2, -b3, ... . Тогда ясно, что суммы Σa и Σ b должны быть расходящимися; действи-тельно, если бы обе были сходящимися, то и весь данный ряд сходился бы после выравнивания знаков; если бы сходилась только одна, то данный ряд был бы рас-ходящимся. Нетрудно видеть, что при надлежащей перестановки членов ряд может принять любое заданное значение С. В самом деле, станем брать по очереди сначала положительные члены ряда, пока их сумма не превысит С, затем отрица-тельные, пока сумма не станет меньше С; при этом отклонение суммы от С никогда не станет больше, чем абсолютное значение члена, предшествующего последней перемене знака. Но так как величины a и b c возрастанием индекса становятся бесконечно малыми, то отклонения от С при достаточном продолжении ряда ста-нут сколь угодно малыми, а это значит, что ряд сходится к величине С ... ».
Ниже излагается иная точка зрения по этому вопросу, основанная в частности на разделении понятий частичной суммы числового ряда и его остатка на собственно суммы и значения этих сумм.
Следуя почти точно Б. Риману, мы вводим для знакопеременного числового ряда А такие обозначения:
(2.1)
Тогда ∀n ∈ N, Sn = Pm + Ql, и, как доказано ниже (Теорема 2.3), если limPm P∞, lim Ql Q∞, то всегда верно равенство A = Q∞ + P∞ . Вначале докажем для знакопеременного числового ряда А следующее ниже утверждение [1, p. 18].
Теорема 2.1. Ряд В, являющийся произвольной перестановкой знакопеременного не абсолютно сходящегося к некоторому числу А ряда А, сходится к тому же числу А.
- Пусть сходящийся к числу В ряд В:
= (2.2)
получается отображением φ: N → N , φ(k)=j, ak bj , из ряда A:
(2.3)
где k(n) max{k: ak bj , j ≤ n}. Будем шаг за шагом выполнять отображение φ: N -> N, и одновременно строить последовательность () частичных сумм n ряда В и последовательность () значений этих сумм. Получающийся на каждом шаге ряд будем обозначать символом В(n):А->В(1)->В(2)->...->В(n)->.... (2.4)
Следуя [6, 3.52], ряд В(n) называется перестановкой ряда В(n-1). Как результат процесса (2.4), мы получим из тождества
(2.5)
для каждого n ∈ N следующие равенства:
(2.6)
где сумма , ni < k (n), содержит те слагаемые из частичной суммы Σk(n) ряда А, которые не вошли в частичную сумму ряда B (n) и . Эти преобразования иллюстрирует Рисунок 2.1:
Рис. 2.1.
Отметим, что при переходе B (n)->B (n+1) переставляется не более одного из не более чем k(n +1) - n первых слагаемых остатка ряда B (n), а все члены этой суммы, предшествующие переставляемому слагаемому, сдвигаются в на одну позицию «в право». Отметим также ещё, что количества слагаемых в суммах Q(n) и (n) равны. Из (2.6) получаются для всех neN следующие равенства
Обозначая значения сумм и Q(n) символами и s(n), соответственно, получим эквивалентное (2.8) числовое равенство
(2.9)
Равенство (2.8) и, следовательно, (2.9) для каждого n ∈ N можно доказать методом математической индукции, исходя из тождества (2.5).
Так как сумма входит в остаток ρn ряда А, а сумма входит в остаток ряда В(n), то в силу (2.3)-(2.7) и (2.9) , и
Теперь мы получаем из (2.9) при предельном переходе следующий результат:
Таким образом, при n → ∞ в силу предположений → B, Sn → А следует импликация: (→0, rn→0)=>(B=A). ■
В общем случае, из равенства (2.8) следует при Sn->A и rn->0 эквиваленция: ( → B)<=>( →(A-B)), то есть доказано следующее утверждение:
Теорема 2.2. Если для произвольного числа В из членов сходящегося к числу А знакопеременного ряда А построена произвольным образом последовательность (Σn*) сумм Σn* , последовательность значении Sn* которых сходятся к числу В, то последовательностъ (rn* ), получающихся при этом остатков rn* , сходится к числу А-В.
Замечание 2.1. В доказательстве Теоремы 2.1 условие не абсолютной сходимости исходного ряда (А) не использовалось, то есть Теоремы 2.1 и 2.2 справедливы для любого сходящегося ряда. Но в случае не абсолютной сходимости ряда (A) Q∞ и P∞ будут равны соответствующим бесконечно большим числам: Q∞,P∞ ∈ Ω, так как, например, при m →∞ Qm -Qm_1 = qm → 0 . Это предельное равенство является условием (0.1) фунда-ментальности числовой последовательности (Qm). Поэтому Теорему 2.1 следует считать обобщением на знакопеременные ряды соответствующей Теоремы Дирихле о знакоположительных рядах.
Более того, Теорема 2.2 имеет следующее очевидное обобщение.
Теорема 2.3. Если числовая последовательность (a), определяющая сходящийся к числу А числовой ряд А, разбита произвольным образом на две подпоследовательности (a* )и (),
и каждая из этих подпоследовательностей определяет , соответственно, числовые ряды A* и , у которых последовательности (Sn*) и () значении Sn* и частичных сумм Σn* и , соответственно , сходятся к некоторым числам (или к некоторым бесконечно большим числам) A* и , соответственно, тогда A* + =A.
Замечание 2.2. Теорема 2.3 обобщает очевидное свойство неизменности сходимости числового ряда, когда при m → ∞ одна из сумм Σn* и , n + k = m, содержит конечное количество слагаемых.
В [7, IV. 1] дано «описание некоторых возможных типов сходимости ряда элементов xi произвольного линейного векторного пространства» в зависимости от выбора типа суммирования слагаемых ряда, в том числе отмечены: упорядоченная сходи-мость (A), перестановочная сходимость (B), неупорядоченная сходимость (C) и сходи-мость по подпоследовательностям (D). Перестановочная сходимость в [8, с. 4] называется безусловной сходимостью. Как следует из Теорем 2.1-2.3, справедливость которых сохраняется и для рядов элементов произвольного линейного векторного пространства, отмеченные выше типы сходимости эквивалентны.
Более того, если как-то иначе чем в этой статье определённая сходимость числового ряда, не является регулярной (вполне регулярной), то соответствующее определение или его интерпретация или и то, и другое является некорректным.
3. Примеры
Пример 3.1. Пусть А= =А=ln2. Из условно сходящегося ряда А в [9, с.316-319] ряд В(p, q) «получен следующей процедурой»: после каждыхp последовательных положительных слагаемых ряда А ставилось q последовательных отрицательных членов этого ряда. Будем шаг за шагом выполнять, следуя [2, с. 107], указанную выше процедуру и обозначать получающийся на n-м шаге ряд символом Вn (p, q) . Получаемая при этом последовательность () значений частичных сумм рядов сходится к числу В(p, q)=ln(2 ) и при p ≠ q А ≠ В(p, q).
Покажем, однако, что, если, например, p>q, p + q = 2k , то при n=2ks и s=1, 2, 3,... → (А-В(p, q))>0, где - значение остатка . Очевидно, что (см. (2.6))
(3.1)
где
Используя следующие ниже два равенства из [9, с. 316-319]:
(3.2)
где Сe - постоянная Эйлера, а γn →0, мы получим последовательно следующие ниже оценки значений Sn и частичных сумм Σn и , соответственно, и значений r2k и остатков рn и рядов А и :
Оценка остатка в (3.3) получена из (3.1) с помощью равенств (3.2) по формуле
Учитывая (3.3) и (3.4), методом математической индукции можно доказать, что для всех n, n ≥ p+q,
=ln (2 ) - βn, = - ln()+ βn, где βn →0, и lim = - ln( ) = A - B (p, q)), (cp. [11, S. 138-139], [10, VIII. 195]).
Это результат имеет простое объяснение: в остатках рядов при p > q "накап-ливаются" отрицательные слагаемые.
С другой стороны, если рассмотреть без связи с рядом А, например, такой ряд B* 1 +1/3 -1/2 +1/5 +1/7 -1/4 +1/9 +....., то каждая частичная сумма S*n этого ряда будет равна соответствующей частичной сумме ряда , если у последнего взять p=2 и q=1. Поэтому lim Sn* = ln 2 √2 , но, что легко показать, остаток rn* ряда B* стремится к нулю. Это означает, что в отличие от каждого ряда ряд B* не является перестановкой ряда А. Аналитически отображение φ: N → N , которое определило бы переход A →> B* , можно задать следующей формулой:
Очевидно, что данная функция φ не удовлетворяет необходимому предельному условию сюръективности отображения N → N, другими словами, оно является неосуществимым на всём множестве N. Это условие получено автором в работах [1-4].
Пример 3.2. Сложив у ряда А= каждые два очередных слагаемых ряда мы получим следующий сходящийся знакоположительный числовой ряд
А** = = A = ln 2 , здесь n = 2k - 1 ∈ N
Пример 3.3. Выполним над членами ряда А= из Примера 3.1 следующие операции: в каждой последовательной четвёрке слагаемых сложим первый с четвёртым и второй с третьим членом. Так полученный ряд
будет абсолютно сходящимся к тому же числу А=ln2 числовым рядом, и сходящимся «в два раза быстрее» исходного ряда А.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
- 1. Sukhotin A.M. Alternative Analysis Principles.-Tomsk: TPU EPF, 2002.
- 2. Начало высшей математики. Томск: Изд-во ТПУ, 2004.
- 3. Sukhotin A.M. From G. Galilei's paradox to alternative analysis // 4ecm, List of posters, Section 13.13 (Real analysis), Stockholm, 2004.
- 4. Сухотин, А. М. Приложение по-нятия С-точной пары в анализе //Современные проблемы науки и образо-вания, 2007, 5.
- 5. Риман, Б. Сочинения. - М.; Л.: Гостехиздат, 1948.
- 6. Рудин, У. Основы математического анализа. - М.: Мир, 1966.
- 7. Дэй М.М. Нормированные линей-ные пространства. - М.: ИЛ, 1961.
- 8. Кашин, Б. С, Саакян, А. А. Орто-гональные ряды. - М.: АФЦ, 1999.
- 9. Фихтенгольц Г. М. Курс диффе-ренциального и интегрального исчисления..- М.: Наука, 1967.-Т. 2.
- 10 Харди, Г. Г. Курс чистой матема-тики.- М.: Изд-во ИЛ, 1949.
- 11. Knopp K. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. - Berlin: Springer-Verlag, 1922.
- 12. Weisstein Eric W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. 2nd ed. - London-New York: Chapman&Hall/CRC, 2002.
Библиографическая ссылка
Сухотин А.М. О СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ // Современные проблемы науки и образования. – 2007. – № 6-2. ;URL: https://science-education.ru/ru/article/view?id=806 (дата обращения: 02.11.2024).